典例2 下列命题的逆命题是真命题的是().

A.全等三角形的面积相等
B.如果$a = b$,那么$|a| = |b|$
C.两直线平行,内错角相等
D.两个全等三角形的三对对应角相等

答案C

【分析】
要解决这道题，需分三步思考：①首先回忆逆命题的定义：把原命题的条件和结论互换位置，得到的命题就是原命题的逆命题；②依次将四个选项的原命题拆分为“条件”和“结论”，互换后写出各自的逆命题；③结合已学的代数、几何定理判断每个逆命题的真假，最终选出逆命题为真命题的选项，判断假命题时可以通过举反例快速验证。
【解析】
先明确逆命题改写规则：先将原命题整理为“如果+条件，那么+结论”的形式，互换条件和结论即可得到逆命题，再逐一判断：
选项A：原命题改写为“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”，逆命题为“面积相等的两个三角形全等”。反例：同底等高的两个三角形面积相等，但不一定全等，因此逆命题是假命题，不符合要求。
选项B：原命题逆命题为“如果$|a|=|b|$，那么$a=b$”。反例：$a=3$，$b=-3$时，$|a|=|b|$但$a≠b$，因此逆命题是假命题，不符合要求。
选项C：原命题逆命题为“内错角相等，两直线平行”，这是平行线的判定定理，是经过证明的真命题，符合要求。
选项D：原命题改写为“如果两个三角形全等，那么它们的三对对应角相等”，逆命题为“三对对应角相等的两个三角形全等”。反例：边长分别为1和2的两个等边三角形，对应角都相等，但不全等，因此逆命题是假命题，不符合要求。
综上只有C选项的逆命题是真命题。
【答案】
C
【知识点】
逆命题的定义；真假命题判断；平行线的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握逆命题的改写方法，同时要熟悉常见的几何性质、代数规律，判断假命题时巧用反例可以提高解题效率。
【难度系数】
0.8

举一反三“如果$a=b$，那么$a^2=b^2$”的逆命题是，这个逆命题（填“成立”或“不成立”）。

2.【举一反三】如果$a^2=b^2$,那么$a=b$
不成立

【分析】
解决本题分两步思考：第一步回忆逆命题的定义，逆命题是将原命题的条件和结论互换得到的命题，首先找到原命题“如果$a=b$，那么$a^2=b^2$”的条件是“$a=b$”，结论是“$a^2=b^2$”，互换条件和结论就能得到逆命题；第二步判断逆命题是否成立，要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可，即找到满足$a^2=b^2$但$a≠b$的情况就能说明逆命题不成立。
【解析】
1. 改写逆命题：原命题的条件为“$a=b$”，结论为“$a^2=b^2$”，将条件和结论互换，可得逆命题为：如果$a^2=b^2$，那么$a=b$。
2. 判断逆命题是否成立：举反例，当$a=2$，$b=-2$时，$a^2=4$，$b^2=4$，满足$a^2=b^2$，但$2≠-2$，不满足$a=b$，因此这个逆命题不成立。
【答案】
如果$a^2=b^2$，那么$a=b$；不成立
【知识点】
逆命题改写，命题真假判断，乘方的性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查逆命题的改写方法和假命题的判定方法，解题时注意准确区分原命题的条件和结论，判定假命题时举反例是简便高效的方法。
【难度系数】
0.9

1. 如图，A，B，C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个超市，使它到三个小区的距离相等，则超市应建在()。

A.AC，BC 的两条高线的交点处
B.∠A，∠B 两内角平分线的交点处
C.AC，BC 两边中线的交点处
D.AC，BC 两条边垂直平分线的交点处

1. D

【分析】
解题时首先明确题目的核心要求：找到一个点，到A、B、C三个顶点的距离相等。首先回忆线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。由此可知，要同时到三个点距离相等，该点需要同时在任意两条边的垂直平分线上，也就是两条边垂直平分线的交点。接下来再逐一分析各选项对应交点的性质，排除不符合要求的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 首先明确目标：超市到A、B、C三点的距离相等。
根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点，在该线段的垂直平分线上。
到A、C两点距离相等的点，都在AC边的垂直平分线上；
到B、C两点距离相等的点，都在BC边的垂直平分线上；
因此AC、BC两条边垂直平分线的交点，同时满足到A、B、C三点的距离相等，符合要求。
再分析其他错误选项：
选项A：AC、BC高线的交点是三角形的垂心，没有到三个顶点距离相等的性质，不符合要求；
选项B：∠A、∠B内角平分线的交点是三角形的内心，性质是到三角形三边的距离相等，并非到三个顶点距离相等，不符合要求；
选项C：AC、BC两边中线的交点是三角形的重心，性质是到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不符合到三个顶点等距的要求。
综上，只有D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的判定、三角形外心的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊交点的性质，要注意辨析“到三个顶点距离相等”和“到三边距离相等”的不同条件：前者对应三角形的外心，是三边垂直平分线的交点；后者对应三角形的内心，是内角平分线的交点，不要混淆两类性质。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$△ ABC$ 的边AB 的垂直平分线交AC 于点 D，连接
BD.若 $AC=8,CD=5$，则 BD 的长度为.

2. 3

【分析】
解题时先观察已知条件，看到AB的垂直平分线，首先想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得BD=AD，因此只需要先求出AD的长度即可得到BD的长度，AD可通过AC与CD的长度差计算得到。
【解析】
解：已知$AC=8$，$CD=5$，
∴ $AD = AC - CD = 8 - 5 = 3$，
∵ 点D在AB的垂直平分线上，
∴ 根据线段垂直平分线的性质，可得$BD = AD = 3$。
【答案】
3
【知识点】
线段垂直平分线的性质、线段的和差计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练运用线段垂直平分线的性质，将未知线段BD转化为可通过已知条件计算的AD，进而求出结果。
【难度系数】
0.9

3. 命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是
.

3. 如果两个角相等,那么这两个角是同一个角的补角

【分析】
要写出一个命题的逆命题，首先要明确原命题的题设和结论。对于“如果……那么……”形式的命题，“如果”后面的内容是题设，“那么”后面的内容是结论。根据逆命题的定义，只要将原命题的题设和结论互换位置，再整理成通顺的“如果……那么……”的表述即可。本题中原命题的题设是“两个角是同一个角的补角”，结论是“这两个角相等”，互换二者位置就能得到对应的逆命题。
【解析】
1. 拆分原命题结构：
原命题题设：两个角是同一个角的补角
原命题结论：这两个角相等
2. 根据逆命题的定义，将题设和结论互换，整理为规范的“如果……那么……”形式，即可得到逆命题。
【答案】
如果两个角相等,那么这两个角是同一个角的补角
【知识点】
逆命题的改写；命题的构成
【点评】
本题属于基础题型，考查逆命题的改写方法，解题核心是准确区分原命题的题设与结论，改写时注意语句通顺、逻辑合理即可。
【难度系数】
0.9

4.如图，在$△ ABC$中，$DE$是$AC$的垂直平分线，$AE = 5\ \mathrm{cm}$，$△ ABC$的周长为$26\ \mathrm{cm}$，求$△ ABD$的周长.

4. 解
∵DE 是 AC 的垂直平分线，AE=5 cm，
∴AD=CD,AC=2AE=10 cm.
∵△ABC 的周长为 26 cm，
∴AB+BC=26−AC=16(cm)，
∴△ABD 的周长 = AB + (BD + AD)=AB+BC=16(cm).

【分析】
解题时首先从已知条件“DE是AC的垂直平分线”入手，回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，且垂直平分线平分对应线段，因此可以得到AD=CD、AC=2AE，先算出AC的长度。接下来观察所求△ABD的周长构成：AB+BD+AD，结合前面得到的AD=CD，可将AD替换为CD，此时△ABD的周长就转化为AB+BD+CD，也就是AB+BC。最后结合△ABC的周长，用总周长减去AC的长度就能得到AB+BC的值，即△ABD的周长。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，AE=5 cm，
∴AD=CD，AC=2AE=2×5=10 cm，
∵△ABC的周长为26 cm，即AB+BC+AC=26 cm，
∴AB+BC=26-AC=26-10=16 cm，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=16 cm。
【答案】
16 cm
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算；等量代换
【点评】
本题核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，将未知三角形的周长转化为已知周长相关的线段和，体现了几何计算中的转化思想，掌握垂直平分线的性质是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.8