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5. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$O$是$△ ABC$内一点，且$OB=OC$. 求证$AO⊥ BC$.
答案
5. 证明 由 AB=AC,OB=OC,得 AO 垂直平分 BC,从而 AO⊥BC.
解析
【分析】
要证明AO⊥BC，可先推导AO所在直线是BC的垂直平分线。首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。由已知条件AB=AC，可推出点A在BC的垂直平分线上；再由OB=OC，可推出点O也在BC的垂直平分线上。结合“两点确定一条直线”的基本事实，就能得出直线AO是BC的垂直平分线，进而得到AO与BC垂直的结论。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，
∴ 点A在线段BC的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∵ OB=OC，
∴ 点O在线段BC的垂直平分线上，
∴ 直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线），
∴ AO⊥BC。
【答案】
证明：由AB=AC，OB=OC，得AO垂直平分BC，从而AO⊥BC。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定
2. 两点确定一条直线
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查线段垂直平分线判定定理的应用，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定规则，结合直线的基本性质即可快速推导结论，能够帮助学生巩固基础定理的运用逻辑。
【难度系数】
0.8
要证明AO⊥BC，可先推导AO所在直线是BC的垂直平分线。首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。由已知条件AB=AC，可推出点A在BC的垂直平分线上；再由OB=OC，可推出点O也在BC的垂直平分线上。结合“两点确定一条直线”的基本事实，就能得出直线AO是BC的垂直平分线，进而得到AO与BC垂直的结论。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，
∴ 点A在线段BC的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∵ OB=OC，
∴ 点O在线段BC的垂直平分线上，
∴ 直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线），
∴ AO⊥BC。
【答案】
证明：由AB=AC，OB=OC，得AO垂直平分BC，从而AO⊥BC。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定
2. 两点确定一条直线
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查线段垂直平分线判定定理的应用，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定规则，结合直线的基本性质即可快速推导结论，能够帮助学生巩固基础定理的运用逻辑。
【难度系数】
0.8
6.如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，且$OP=2.8$.若点P关于直线l，m对称的点分别是点$P_1$，$P_2$，则点$P_1$，$P_2$之间的距离可能是（
A.0
B.5
C.6
D.7
B
）.A.0
B.5
C.6
D.7
答案
6. B 解析 如图，连接$OP_1,OP_2$,$P_1P_2,PP_1,PP_2$.
∵点 P 关于直线 l,m 的对称点分别是点$P_1,P_2$，
∴直线 l 垂直平分$PP_1$,直线 m 垂直平分$PP_2$，
∴$OP_1=OP=OP_2=2.8$.
根据三角形三边关系定理可知$OP_1−OP_2＜P_1P_2,P_1P_2＜OP_1+OP_2$，即$0＜P_1P_2＜5.6$,故选 B.
解析
【分析】
解题时先回忆轴对称的相关性质：点关于直线对称时，对称轴是对应点连线的垂直平分线，因此对称轴上的任意点到两个对称点的距离相等。我们可以先连接$OP_1$、$OP_2$，推导得出$OP_1$、$OP_2$的长度，再结合三角形三边关系确定$P_1P_2$的取值范围，最后对比选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
如图，连接$OP_1,OP_2,P_1P_2,PP_1,PP_2$.
∵点P关于直线l、m的对称点分别是点$P_1,P_2$，
∴直线l垂直平分$PP_1$，直线m垂直平分$PP_2$，
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$OP_1=OP=2.8$，$OP_2=OP=2.8$，即$OP_1=OP_2=2.8$。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得$OP_1-OP_2 ＜ P_1P_2 ＜ OP_1+OP_2$，代入数值计算得$0 ＜ P_1P_2 ＜ 5.6$。
观察选项，只有5在该取值范围内，故选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系
【点评】
本题将轴对称性质和三角形三边关系结合考查，解题的突破口是利用对称性质得到两条等长线段，再通过三边关系确定未知线段的范围，能较好地考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆轴对称的相关性质：点关于直线对称时，对称轴是对应点连线的垂直平分线，因此对称轴上的任意点到两个对称点的距离相等。我们可以先连接$OP_1$、$OP_2$，推导得出$OP_1$、$OP_2$的长度，再结合三角形三边关系确定$P_1P_2$的取值范围，最后对比选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
如图，连接$OP_1,OP_2,P_1P_2,PP_1,PP_2$.
∵点P关于直线l、m的对称点分别是点$P_1,P_2$，
∴直线l垂直平分$PP_1$，直线m垂直平分$PP_2$，
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$OP_1=OP=2.8$，$OP_2=OP=2.8$，即$OP_1=OP_2=2.8$。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得$OP_1-OP_2 ＜ P_1P_2 ＜ OP_1+OP_2$，代入数值计算得$0 ＜ P_1P_2 ＜ 5.6$。
观察选项，只有5在该取值范围内，故选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系
【点评】
本题将轴对称性质和三角形三边关系结合考查，解题的突破口是利用对称性质得到两条等长线段，再通过三边关系确定未知线段的范围，能较好地考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,BE平分$∠ ABC$,交AC于点E,$AM⊥ BC$于点M,交BE于点G,AD平分$∠ MAC$,交BC于点D,交BE于点F.求证:线段BF垂直平分线段AD.
答案
7. 证明 在△ABC 中，
∵∠BAC=90°,
∴∠ABC+∠C=90°.
∵AM⊥BC,
∴∠AMB=90°,
∴∠ABC+∠BAM=90°,
∴∠C=∠BAM.
∵BE 平分∠ABC,AD 平分∠MAC，
∴∠ABF=∠DBF,∠MAD=∠CAD，
∴∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD.
∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠BAD = ∠ADB. 在△ABF 和△DBF 中,$\begin{cases} ∠BAF=∠BDF, \\ ∠ABF=∠DBF, \\ BF=BF, \end{cases}$
∴△ABF≌△DBF(AAS)，
∴AF=DF,∠AFB=∠DFB.
又
∵∠AFB+∠DFB=180°，
∴∠DFB=90°,
∴BF⊥AD，
∴线段 BF 垂直平分线段 AD.
∵∠BAC=90°,
∴∠ABC+∠C=90°.
∵AM⊥BC,
∴∠AMB=90°,
∴∠ABC+∠BAM=90°,
∴∠C=∠BAM.
∵BE 平分∠ABC,AD 平分∠MAC，
∴∠ABF=∠DBF,∠MAD=∠CAD，
∴∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD.
∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠BAD = ∠ADB. 在△ABF 和△DBF 中,$\begin{cases} ∠BAF=∠BDF, \\ ∠ABF=∠DBF, \\ BF=BF, \end{cases}$
∴△ABF≌△DBF(AAS)，
∴AF=DF,∠AFB=∠DFB.
又
∵∠AFB+∠DFB=180°，
∴∠DFB=90°,
∴BF⊥AD，
∴线段 BF 垂直平分线段 AD.
解析
【分析】
要证明线段BF垂直平分AD，需证明两点：①BF⊥AD；②BF平分AD（即AF=DF）。解题时先从已知直角条件入手：已知∠BAC=90°，AM⊥BC，根据同角的余角相等可推出∠BAM=∠C；再结合BE平分∠ABC、AD平分∠MAC的条件，通过角的和差关系以及三角形外角的性质，可推导得到∠BAD=∠ADB，即△ABD为等腰三角形。之后通过证明△ABF和△DBF全等，得到对应边相等、对应角相等，即可得出BF垂直且平分AD的结论。
【解析】
证明：在△ABC 中，
∵∠BAC=90°,
∴∠ABC+∠C=90°.
∵AM⊥BC,
∴∠AMB=90°,
∴∠ABC+∠BAM=90°,
∴∠C=∠BAM.
∵BE 平分∠ABC，AD 平分∠MAC，
∴∠ABF=∠DBF，∠MAD=∠CAD，
∴∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD.
∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠BAD = ∠ADB.
在△ABF 和△DBF 中,
$\begin{cases} ∠BAF=∠BDF, \\ ∠ABF=∠DBF, \\ BF=BF, \end{cases}$
∴△ABF≌△DBF(AAS)，
∴AF=DF，∠AFB=∠DFB.
又
∵∠AFB+∠DFB=180°，
∴∠DFB=90°,
∴BF⊥AD，
∴线段 BF 垂直平分线段 AD.
【答案】
线段BF垂直平分线段AD
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是线段垂直平分线证明的典型题型，综合考查了角的等量代换、三角形外角性质、全等三角形判定等知识，解题的突破口是利用同角的余角相等得到角的等量关系，进而推导出等角对等边的结论，能较好地考查学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
要证明线段BF垂直平分AD，需证明两点：①BF⊥AD；②BF平分AD（即AF=DF）。解题时先从已知直角条件入手：已知∠BAC=90°，AM⊥BC，根据同角的余角相等可推出∠BAM=∠C；再结合BE平分∠ABC、AD平分∠MAC的条件，通过角的和差关系以及三角形外角的性质，可推导得到∠BAD=∠ADB，即△ABD为等腰三角形。之后通过证明△ABF和△DBF全等，得到对应边相等、对应角相等，即可得出BF垂直且平分AD的结论。
【解析】
证明：在△ABC 中，
∵∠BAC=90°,
∴∠ABC+∠C=90°.
∵AM⊥BC,
∴∠AMB=90°,
∴∠ABC+∠BAM=90°,
∴∠C=∠BAM.
∵BE 平分∠ABC，AD 平分∠MAC，
∴∠ABF=∠DBF，∠MAD=∠CAD，
∴∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD.
∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠BAD = ∠ADB.
在△ABF 和△DBF 中,
$\begin{cases} ∠BAF=∠BDF, \\ ∠ABF=∠DBF, \\ BF=BF, \end{cases}$
∴△ABF≌△DBF(AAS)，
∴AF=DF，∠AFB=∠DFB.
又
∵∠AFB+∠DFB=180°，
∴∠DFB=90°,
∴BF⊥AD，
∴线段 BF 垂直平分线段 AD.
【答案】
线段BF垂直平分线段AD
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是线段垂直平分线证明的典型题型，综合考查了角的等量代换、三角形外角性质、全等三角形判定等知识，解题的突破口是利用同角的余角相等得到角的等量关系，进而推导出等角对等边的结论，能较好地考查学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
