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8. (巴中中考)某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如图所示的示意图. 在点 A 处测得塔顶 D 的仰角为 30°，向前行 40 m 至点 B 处测得塔顶 D 的仰角为 75°，A、B 与电塔底部 C 在同一条直线上. 求：
（1）点 B 到 AD 的距离；
（2）高压电塔 CD 的高度.(保留根号)
（1）点 B 到 AD 的距离；
（2）高压电塔 CD 的高度.(保留根号)
答案
8. （1）如图,过点 B 作 $BE ⊥ AD$ 于点 E. $\because ∠ A=30°$,
$\therefore BE =\sin30°× AB=\dfrac{1}{2}× AB=20(\mathrm{m}). \therefore$点 B 到 AD 的距离为 20 m
（2）由(1),得 $BE=20\mathrm{\ m}. \because ∠ A=30°, \therefore AE=\cos30°× AB=\dfrac{\sqrt{3}}{2}×40=20\sqrt{3}(\mathrm{m}).$ 又 $\because ∠ DBC=75°, \therefore ∠ ADB=∠ DBC-∠ A=75°-30°=45°. \therefore ∠ EDB=90°-45°=45°. \therefore DE=BE=20\mathrm{\ m}. \therefore AD=AE+DE=(20+20\sqrt{3})\mathrm{m}. \because ∠ C=90°, ∠ A=30°, \therefore CD=\sin30°× AD=\dfrac{1}{2}AD=(10+10\sqrt{3})\mathrm{m}.$ 即高压电塔 CD 的高度为 $(10+10\sqrt{3})\mathrm{m}$
解析
【分析】
（1）求点B到AD的距离，根据点到直线距离的定义，需过点B作AD的垂线段BE，构造Rt△ABE。已知AB=40m、∠A=30°，利用直角三角形中30°角的三角函数性质即可求出BE的长度。
（2）求CD的高度，首先利用三角形外角的性质，由∠DBC=75°、∠A=30°算出∠ADB=45°，可得Rt△BED为等腰直角三角形，即DE=BE；再在Rt△ABE中求出AE的长度，得到AD的总长，最后在Rt△ACD中利用30°角的三角函数性质即可求出CD的高度。
【解析】
（1）过点B作$BE ⊥ AD$于点E。
已知$AB=40\mathrm{m}$，$∠ A=30°$，在$\mathrm{Rt}△ ABE$中：
$BE = AB·\sin30° = 40×\dfrac{1}{2}=20(\mathrm{m})$
即点B到AD的距离为20m。
（2）在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ A=30°$，
$AE=AB·\cos30°=40×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}(\mathrm{m})$
根据三角形外角性质，$∠ DBC = ∠ A + ∠ ADB$，已知$∠ DBC=75°$，
$\therefore ∠ ADB = ∠ DBC - ∠ A =75°-30°=45°$
在$\mathrm{Rt}△ BED$中，$∠ EDB=45°$，
$\therefore DE=BE=20\mathrm{m}$
$\therefore AD=AE+DE=(20+20\sqrt{3})\mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore CD=AD·\sin30°=\dfrac{1}{2}×(20+20\sqrt{3})=(10+10\sqrt{3})\mathrm{m}$
即高压电塔CD的高度为$(10+10\sqrt{3})\mathrm{m}$。
【答案】
8. （1）如图,过点 B 作 $BE ⊥ AD$ 于点 E. $\because ∠ A=30°$,
$\therefore BE =\sin30°× AB=\dfrac{1}{2}× AB=20(\mathrm{m}). \therefore$点 B 到 AD 的距离为 20 m
（2）由(1),得 $BE=20\mathrm{\ m}. \because ∠ A=30°, \therefore AE=\cos30°× AB=\dfrac{\sqrt{3}}{2}×40=20\sqrt{3}(\mathrm{m}).$ 又 $\because ∠ DBC=75°, \therefore ∠ ADB=∠ DBC-∠ A=75°-30°=45°. \therefore ∠ EDB=90°-45°=45°. \therefore DE=BE=20\mathrm{\ m}. \therefore AD=AE+DE=(20+20\sqrt{3})\mathrm{m}. \because ∠ C=90°, ∠ A=30°, \therefore CD=\sin30°× AD=\dfrac{1}{2}AD=(10+10\sqrt{3})\mathrm{m}.$ 即高压电塔 CD 的高度为 $(10+10\sqrt{3})\mathrm{m}$
【知识点】
解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，三角形外角性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的典型应用，解题关键是合理作辅助线构造直角三角形，结合特殊角的三角函数值和角度关系逐步推导边长，考查了基础几何知识的应用能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
（1）求点B到AD的距离，根据点到直线距离的定义，需过点B作AD的垂线段BE，构造Rt△ABE。已知AB=40m、∠A=30°，利用直角三角形中30°角的三角函数性质即可求出BE的长度。
（2）求CD的高度，首先利用三角形外角的性质，由∠DBC=75°、∠A=30°算出∠ADB=45°，可得Rt△BED为等腰直角三角形，即DE=BE；再在Rt△ABE中求出AE的长度，得到AD的总长，最后在Rt△ACD中利用30°角的三角函数性质即可求出CD的高度。
【解析】
（1）过点B作$BE ⊥ AD$于点E。
已知$AB=40\mathrm{m}$，$∠ A=30°$，在$\mathrm{Rt}△ ABE$中：
$BE = AB·\sin30° = 40×\dfrac{1}{2}=20(\mathrm{m})$
即点B到AD的距离为20m。
（2）在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ A=30°$，
$AE=AB·\cos30°=40×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}(\mathrm{m})$
根据三角形外角性质，$∠ DBC = ∠ A + ∠ ADB$，已知$∠ DBC=75°$，
$\therefore ∠ ADB = ∠ DBC - ∠ A =75°-30°=45°$
在$\mathrm{Rt}△ BED$中，$∠ EDB=45°$，
$\therefore DE=BE=20\mathrm{m}$
$\therefore AD=AE+DE=(20+20\sqrt{3})\mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore CD=AD·\sin30°=\dfrac{1}{2}×(20+20\sqrt{3})=(10+10\sqrt{3})\mathrm{m}$
即高压电塔CD的高度为$(10+10\sqrt{3})\mathrm{m}$。
【答案】
8. （1）如图,过点 B 作 $BE ⊥ AD$ 于点 E. $\because ∠ A=30°$,
$\therefore BE =\sin30°× AB=\dfrac{1}{2}× AB=20(\mathrm{m}). \therefore$点 B 到 AD 的距离为 20 m
（2）由(1),得 $BE=20\mathrm{\ m}. \because ∠ A=30°, \therefore AE=\cos30°× AB=\dfrac{\sqrt{3}}{2}×40=20\sqrt{3}(\mathrm{m}).$ 又 $\because ∠ DBC=75°, \therefore ∠ ADB=∠ DBC-∠ A=75°-30°=45°. \therefore ∠ EDB=90°-45°=45°. \therefore DE=BE=20\mathrm{\ m}. \therefore AD=AE+DE=(20+20\sqrt{3})\mathrm{m}. \because ∠ C=90°, ∠ A=30°, \therefore CD=\sin30°× AD=\dfrac{1}{2}AD=(10+10\sqrt{3})\mathrm{m}.$ 即高压电塔 CD 的高度为 $(10+10\sqrt{3})\mathrm{m}$
【知识点】
解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，三角形外角性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的典型应用，解题关键是合理作辅助线构造直角三角形，结合特殊角的三角函数值和角度关系逐步推导边长，考查了基础几何知识的应用能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别),如图为其示意图,摄像头A的仰角、俯角均为$15°$,高度OA为160 cm.人笔直站在离摄像头水平距离100 cm的点B处,若此人要能被摄像头识别,其身高不能超过(参考数据:$\sin15°\approx0.26$, $\cos15°\approx0.97$, $\tan15°\approx0.27$) 【 】
A.186 cm
B.187 cm
C.197 cm
D.217 cm
（第9题）
A.186 cm
B.187 cm
C.197 cm
D.217 cm
（第9题）答案
B
解析
【分析】
这是一道解直角三角形在实际生活中的应用题，解题思路如下：首先明确已知条件：摄像头高度OA=160cm，人与摄像头的水平距离为100cm，摄像头仰角为15°。要计算能被识别的最大身高，需构造直角三角形：过摄像头A作水平线，与过人站立点B的竖直线相交得到直角三角形，利用仰角的正切值求出人高出摄像头高度的部分，再加上摄像头的离地高度，即可得到最大身高。
【解析】
过点A作水平线AC，过点B作竖直直线与AC交于点C，由题意得：
AC = 100cm，∠CAB = 15°，∠ACB = 90°，OA = 160cm。
在Rt△ACB中，$\tan∠ CAB=\frac{BC}{AC}$，
则$BC = AC · \tan15° \approx 100 × 0.27 = 27\mathrm{cm}$。
因此最大身高为$OA + BC = 160 + 27 = 187\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形应用，仰角俯角问题，正切三角函数
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的相关知识，解题的关键是根据仰角的定义构造出合适的直角三角形，准确找到边角对应关系代入三角函数计算即可，贴近生活场景，注重知识的实际运用。
【难度系数】
0.7
这是一道解直角三角形在实际生活中的应用题，解题思路如下：首先明确已知条件：摄像头高度OA=160cm，人与摄像头的水平距离为100cm，摄像头仰角为15°。要计算能被识别的最大身高，需构造直角三角形：过摄像头A作水平线，与过人站立点B的竖直线相交得到直角三角形，利用仰角的正切值求出人高出摄像头高度的部分，再加上摄像头的离地高度，即可得到最大身高。
【解析】
过点A作水平线AC，过点B作竖直直线与AC交于点C，由题意得：
AC = 100cm，∠CAB = 15°，∠ACB = 90°，OA = 160cm。
在Rt△ACB中，$\tan∠ CAB=\frac{BC}{AC}$，
则$BC = AC · \tan15° \approx 100 × 0.27 = 27\mathrm{cm}$。
因此最大身高为$OA + BC = 160 + 27 = 187\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形应用，仰角俯角问题，正切三角函数
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的相关知识，解题的关键是根据仰角的定义构造出合适的直角三角形，准确找到边角对应关系代入三角函数计算即可，贴近生活场景，注重知识的实际运用。
【难度系数】
0.7
10. 如图,为了测量某建筑物AB的高度,在C处测得建筑物顶端A的仰角为$30°$.沿CB方向前进12 m到达D处,在D处测得建筑物顶端A的仰角为$45°$,则建筑物AB的高度等于
【 】
A.$6(\sqrt{3}+1)\ \mathrm{m}$
B.$6(\sqrt{3}-1)\ \mathrm{m}$
C.$12(\sqrt{3}+1)\ \mathrm{m}$
D.$12(\sqrt{3}-1)\ \mathrm{m}$
【 】
A.$6(\sqrt{3}+1)\ \mathrm{m}$
B.$6(\sqrt{3}-1)\ \mathrm{m}$
C.$12(\sqrt{3}+1)\ \mathrm{m}$
D.$12(\sqrt{3}-1)\ \mathrm{m}$
答案
A
解析
【分析】
本题为仰角测高类问题，解题核心是利用两个共直角边AB的直角三角形的边角关系建立方程求解。首先观察Rt△ABD，已知仰角为45°，可推出AB=BD，我们可以设AB的高度为x，则BD的长度也为x；再看Rt△ABC，BC的长度为CD与BD之和，即12+x，结合30°角的正切值即可建立关于x的方程，解方程就能求出AB的高度。
【解析】
设建筑物AB的高度为$x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=45°$，$∠ ABD=90°$，
$\therefore ∠ BAD=45°$，可得$BD=AB=x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=30°$，$∠ ABC=90°$，$BC=CD+BD=(12+x)\ \mathrm{m}$，
根据三角函数的定义：$\tan C=\frac{AB}{BC}$，即$\tan30°=\frac{x}{12+x}$。
$\because \tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x}{12+x}$，
交叉相乘得：$\sqrt{3}(12+x)=3x$，
展开整理得：$12\sqrt{3}+\sqrt{3}x=3x$，
移项得：$3x-\sqrt{3}x=12\sqrt{3}$，
提取公因式得：$x(3-\sqrt{3})=12\sqrt{3}$，
解得：$x=\frac{12\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$，对其分母有理化，分子分母同乘$3+\sqrt{3}$：
$x=\frac{12\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\frac{36\sqrt{3}+36}{9-3}=\frac{36\sqrt{3}+36}{6}=6\sqrt{3}+6=6(\sqrt{3}+1)\ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形应用，仰角问题，特殊角三角函数
【点评】
本题是仰角测高的基础典型题，通过两个有公共直角边的直角三角形的边长关系建立方程求解，熟练掌握特殊角的三角函数值和分母有理化运算即可快速解答。
【难度系数】
0.7
本题为仰角测高类问题，解题核心是利用两个共直角边AB的直角三角形的边角关系建立方程求解。首先观察Rt△ABD，已知仰角为45°，可推出AB=BD，我们可以设AB的高度为x，则BD的长度也为x；再看Rt△ABC，BC的长度为CD与BD之和，即12+x，结合30°角的正切值即可建立关于x的方程，解方程就能求出AB的高度。
【解析】
设建筑物AB的高度为$x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=45°$，$∠ ABD=90°$，
$\therefore ∠ BAD=45°$，可得$BD=AB=x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=30°$，$∠ ABC=90°$，$BC=CD+BD=(12+x)\ \mathrm{m}$，
根据三角函数的定义：$\tan C=\frac{AB}{BC}$，即$\tan30°=\frac{x}{12+x}$。
$\because \tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x}{12+x}$，
交叉相乘得：$\sqrt{3}(12+x)=3x$，
展开整理得：$12\sqrt{3}+\sqrt{3}x=3x$，
移项得：$3x-\sqrt{3}x=12\sqrt{3}$，
提取公因式得：$x(3-\sqrt{3})=12\sqrt{3}$，
解得：$x=\frac{12\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$，对其分母有理化，分子分母同乘$3+\sqrt{3}$：
$x=\frac{12\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\frac{36\sqrt{3}+36}{9-3}=\frac{36\sqrt{3}+36}{6}=6\sqrt{3}+6=6(\sqrt{3}+1)\ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形应用，仰角问题，特殊角三角函数
【点评】
本题是仰角测高的基础典型题，通过两个有公共直角边的直角三角形的边长关系建立方程求解，熟练掌握特殊角的三角函数值和分母有理化运算即可快速解答。
【难度系数】
0.7
11. 如图，小明用无人机测量教学楼AB的高度时，将无人机垂直上升至距地面30 m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为$37°$，再将无人机沿教学楼方向水平飞行28.3 m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为$45°$，则教学楼AB的高度约为
18
m.（精确到1 m.答案
11. 18
解析
【分析】
这是解直角三角形中俯角的应用问题，解题思路如下：1. 明确无人机水平飞行时P、Q两点距地面高度均为30m，结合已知俯角构造两个直角三角形；2. 先利用点P处37°的俯角，通过正切三角函数求出点P到教学楼的水平距离；3. 结合PQ的水平飞行距离，求出点Q到教学楼的水平距离；4. 利用点Q处45°俯角对应的等腰直角三角形性质，求出教学楼顶端到PQ水平线的竖直距离，最终计算得到教学楼高度，计算时可使用tan37°≈0.75的近似值。
【解析】
解：设教学楼AB的高度为$x$ m。
∵ 无人机从P水平飞行到Q，
∴ P、Q两点距地面高度均为30 m，$PQ=28.3\ \mathrm{m}$且PQ为水平线段。
延长AB交PQ所在水平线于点E，则$QE⊥ BE$，$BE=(30-x)\ \mathrm{m}$。
① 在点P处，测得A的俯角为37°，在对应的直角三角形中：
$\tan37°=\frac{\mathrm{竖直高度}}{\mathrm{水平距离}}=\frac{30}{\mathrm{P到A的水平距离}}$，取$\tan37°\approx0.75$，
解得P到A的水平距离$\approx\frac{30}{0.75}=40\ \mathrm{m}$。
② 点Q到A的水平距离 = P到A的水平距离$-PQ\approx40-28.3=11.7\ \mathrm{m}$，即$QE\approx11.7\ \mathrm{m}$。
③ 在$\mathrm{Rt}△ QEB$中，测得B的俯角为45°，故$△ QEB$为等腰直角三角形，$BE=QE$，
即$30-x\approx11.7$，解得$x\approx30-11.7\approx18$（精确到1 m）。
【答案】
18
【知识点】
解直角三角形应用；俯角问题；等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查俯角相关的解直角三角形知识，解题核心是根据俯角构造对应直角三角形，理清各线段的和差关系，需掌握常见角度的三角函数近似值。
【难度系数】
0.65
这是解直角三角形中俯角的应用问题，解题思路如下：1. 明确无人机水平飞行时P、Q两点距地面高度均为30m，结合已知俯角构造两个直角三角形；2. 先利用点P处37°的俯角，通过正切三角函数求出点P到教学楼的水平距离；3. 结合PQ的水平飞行距离，求出点Q到教学楼的水平距离；4. 利用点Q处45°俯角对应的等腰直角三角形性质，求出教学楼顶端到PQ水平线的竖直距离，最终计算得到教学楼高度，计算时可使用tan37°≈0.75的近似值。
【解析】
解：设教学楼AB的高度为$x$ m。
∵ 无人机从P水平飞行到Q，
∴ P、Q两点距地面高度均为30 m，$PQ=28.3\ \mathrm{m}$且PQ为水平线段。
延长AB交PQ所在水平线于点E，则$QE⊥ BE$，$BE=(30-x)\ \mathrm{m}$。
① 在点P处，测得A的俯角为37°，在对应的直角三角形中：
$\tan37°=\frac{\mathrm{竖直高度}}{\mathrm{水平距离}}=\frac{30}{\mathrm{P到A的水平距离}}$，取$\tan37°\approx0.75$，
解得P到A的水平距离$\approx\frac{30}{0.75}=40\ \mathrm{m}$。
② 点Q到A的水平距离 = P到A的水平距离$-PQ\approx40-28.3=11.7\ \mathrm{m}$，即$QE\approx11.7\ \mathrm{m}$。
③ 在$\mathrm{Rt}△ QEB$中，测得B的俯角为45°，故$△ QEB$为等腰直角三角形，$BE=QE$，
即$30-x\approx11.7$，解得$x\approx30-11.7\approx18$（精确到1 m）。
【答案】
18
【知识点】
解直角三角形应用；俯角问题；等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查俯角相关的解直角三角形知识，解题核心是根据俯角构造对应直角三角形，理清各线段的和差关系，需掌握常见角度的三角函数近似值。
【难度系数】
0.65
