12.（遂宁中考）如图，在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度$CF$，在点$A$处用高为$1.6\ \mathrm{m}$的测角仪$AD$测得摩天轮顶端$C$的仰角$α=37°$，再向摩天轮方向前进$30\ \mathrm{m}$至点$B$处，又测得摩天轮顶端$C$的仰角$β=50°$。求摩天轮$CF$的高度.（精确到$0.1\ \mathrm{m}$.参考数据：$\sin37°\approx0.60$，$\cos37°\approx0.80$，$\tan37°\approx0.75$，$\sin50°\approx0.77$，$\cos50°\approx0.64$，$\tan50°\approx1.19$）

12. 如图,连结 DE,并延长 DE 交 CF 于点 G. $\therefore DG ⊥ CF. \because DA ⊥ AF, BE ⊥ AF, CF ⊥ AF, \therefore$ 四边形 DEBA 和四边形 EGFB 是矩形. $\therefore DE=AB=30\mathrm{\ m}, BE=GF=1.6\mathrm{\ m}.$ 设 $CG=x\mathrm{\ m}.$ 在 $\mathrm{Rt}△ CEG$ 中, $\tan∠ CEG=\tanβ=\dfrac{CG}{EG}. \therefore EG=\dfrac{CG}{\tanβ}\approx\dfrac{x}{1.19}\mathrm{\ m}. \therefore DG=DE+EG=(30+\dfrac{x}{1.19})\mathrm{\ m}.$ 在 $\mathrm{Rt}△ CDG$ 中, $\tan∠ CDG=\tanα=\dfrac{CG}{DG}. \therefore \tan37°=\dfrac{x}{30+\dfrac{x}{1.19}}\approx0.75.$ 解得 $x\approx60.85.$ 经检验, $x$ 是方程的解. $\therefore CF=CG+GF=60.85+1.6=62.45\approx62.5(\mathrm{m}).$ 即摩天轮 $CF$ 的高度约为 $62.5\mathrm{\ m}$

【分析】
这是利用仰角测量物体高度的实际问题，解题思路如下：首先作辅助线构造包含两个仰角的直角三角形，利用矩形的性质将已知的前进距离AB、测角仪高度转化为直角三角形的相关线段长度；设公共直角边CG的长度为x，分别在两个直角三角形中用含x的代数式表示出EG、DG的长度；再结合37°角的正切值列方程求解x，最后将CG的长度与测角仪高度相加即可得到摩天轮的总高度。
【解析】
解：如图，连结DE，并延长DE交CF于点G，易得$DG ⊥ CF$。
$\because DA ⊥ AF$，$BE ⊥ AF$，$CF ⊥ AF$，
$\therefore$ 四边形DEBA和四边形EGFB都是矩形，
$\therefore DE=AB=30\ \mathrm{m}$，$GF=BE=AD=1.6\ \mathrm{m}$。
设$CG=x\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ CEG$中，$∠ CEG=β=50°$，
由$\tanβ=\frac{CG}{EG}$，得$EG=\frac{CG}{\tanβ}\approx\frac{x}{1.19}\ \mathrm{m}$，
$\therefore DG=DE+EG=(30+\frac{x}{1.19})\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ CDG$中，$∠ CDG=α=37°$，
由$\tanα=\frac{CG}{DG}$，得$0.75=\frac{x}{30+\frac{x}{1.19}}$，
解得$x\approx60.85$，经检验$x$是原方程的解。
$\therefore CF=CG+GF\approx60.85+1.6=62.45\approx62.5(\mathrm{m})$。
【答案】
摩天轮$CF$的高度约为$62.5\ \mathrm{m}$

【知识点】
解直角三角形应用，仰角，矩形的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，将实际测量问题转化为直角三角形计算问题，结合方程思想即可求解，解题的关键是正确构造直角三角形，理清各线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.7

13.（青岛中考）学校综合实践小组测量博学楼的高度.如图,点A、B、C、D、E在同一平面内,点B、C、D在同一水平线上,一组成员从19m高的厚德楼顶部点A处测得博学楼的顶部点E的俯角为$22°$,另一组成员沿BD方向从厚德楼底部点B处向博学楼走15m到达点C处,在点C处测得博学楼顶部点E的仰角为$42°$.求博学楼DE的高度.
（参考数据：$\sin22°\approx\frac{3}{8},\cos22°\approx\frac{15}{16},\tan22°\approx\frac{2}{5},\sin42°\approx\frac{27}{40},\cos42°\approx\frac{3}{4},\tan42°\approx\frac{9}{10}$）

13. 如图,过点 E 作 $EF ⊥ AB$,垂足为 F. 由题意,得 $EF=BD, BF=DE, BC=15\mathrm{\ m}, AG // EF. \therefore ∠ GAE=∠ AEF=22°.$ 设 $CD=x\mathrm{\ m}$, 则 $EF=BD=BC+CD=(x+15)\mathrm{m}.$ 在 $\mathrm{Rt}△ DCE$ 中, $∠ ECD=42°, \therefore DE=CD · \tan42° \approx \dfrac{9}{10}x(\mathrm{m}). \therefore DE=BF=\dfrac{9}{10}x\mathrm{\ m}.$ 在 $\mathrm{Rt}△ AEF$ 中, $∠ AEF=22°, \therefore AF=EF · \tan22° \approx \dfrac{2}{5}(x+15)\mathrm{m}. \because AF+BF=AB, \therefore \dfrac{2}{5}(x+15)+\dfrac{9}{10}x=19.$ 解得 $x=10. \therefore DE=\dfrac{9}{10}x=9(\mathrm{m}).$ 即博学楼 DE 的高度约为 9 m

【分析】
这是仰角俯角相关的解直角三角形实际应用题，解题核心是构造直角三角形整合已知条件。首先过点E作EF⊥AB于F，可得四边形BDEF为矩形，即BF=DE、EF=BD。设CD的长度为未知数，先在Rt△DCE中利用42°的正切值表示出DE（即BF）的长度，再在Rt△AEF中利用22°的正切值表示出AF的长度，最后根据AF+BF=AB=19m的等量关系列方程求解，即可得到DE的高度。
【解析】
过点 E 作 $EF ⊥ AB$，垂足为 F。
由题意得：$EF=BD$，$BF=DE$，$BC=15\mathrm{\ m}$，$AG // EF$，因此 $∠GAE=∠AEF=22°$。
设 $CD=x\mathrm{\ m}$，则 $EF=BD=BC+CD=(x+15)\mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△DCE$ 中，$∠ECD=42°$，$\tan42°\approx\frac{9}{10}$，因此 $DE=CD · \tan42° \approx \dfrac{9}{10}x(\mathrm{m})$，即 $BF=\dfrac{9}{10}x\mathrm{\ m}$。
在 $\mathrm{Rt}△AEF$ 中，$∠AEF=22°$，$\tan22°\approx\frac{2}{5}$，因此 $AF=EF · \tan22° \approx \dfrac{2}{5}(x+15)\mathrm{m}$。
根据$AF+BF=AB=19\mathrm{\ m}$，可列方程：$\dfrac{2}{5}(x+15)+\dfrac{9}{10}x=19$
解方程得：
$\begin{aligned}4(x+15)+9x&=190\\13x&=130\\x&=10\end{aligned}$
因此 $DE=\dfrac{9}{10}x=\dfrac{9}{10}×10=9(\mathrm{m})$。
【答案】
博学楼DE的高度约为9 m

【知识点】
仰角俯角应用，解直角三角形，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的常考题型，解题关键是通过辅助线构造直角三角形，将实际场景中的角度、长度关系转化为数学中的边角关系，结合方程思想求解，能够考察学生的建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6