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9. (永州期末)如图,下列各组条件中,不能判定$△ ABC ∽ △ ADE$的是
【 】
A.$∠ 1=∠ 2, ∠ B=∠ D$
B.$∠ 1=∠ 2, \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$
C.$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$
D.$∠ 1=∠ 2, \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$
【 】
A.$∠ 1=∠ 2, ∠ B=∠ D$
B.$∠ 1=∠ 2, \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$
C.$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$
D.$∠ 1=∠ 2, \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个选项不能判定△ABC∽△ADE，首先回忆相似三角形的三类判定定理：①两角分别相等的两个三角形相似（AA）；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）；③三边对应成比例的两个三角形相似（SSS）。首先推导角的关系：若∠1=∠2，可得∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，这是分析含∠1=∠2选项的前提。接下来逐一将各选项条件和判定定理对照，验证是否满足判定要求即可，注意SAS判定要求相等的角必须是成比例两边的夹角。
【解析】
首先推导角的关系：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即$\boldsymbol{∠BAC=∠DAE}$。
逐一分析选项：
A. 已知∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，满足两角分别相等，根据AA判定可证△ABC∽△ADE，不符合题意；
B. 已知∠BAC=∠DAE，且$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，变形可得$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，满足两边成比例且夹角相等，根据SAS判定可证△ABC∽△ADE，不符合题意；
C. 已知$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，满足三边对应成比例，根据SSS判定可证△ABC∽△ADE，不符合题意；
D. 已知∠BAC=∠DAE，且$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，相等的角∠BAC不是成比例线段AB、BC的夹角，∠DAE也不是成比例线段AD、DE的夹角，不满足SAS判定要求，也没有其他角相等的条件，无法判定△ABC∽△ADE，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的AA判定；相似三角形的SAS判定；相似三角形的SSS判定
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题的关键是先从已知角相等推出两个三角形的对应顶角相等，再结合各选项条件对照判定规则判断，需特别注意SAS判定中“夹角相等”的要求，避免误将非夹角的角相等当作判定依据。
【难度系数】
0.7
要判断哪个选项不能判定△ABC∽△ADE，首先回忆相似三角形的三类判定定理：①两角分别相等的两个三角形相似（AA）；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）；③三边对应成比例的两个三角形相似（SSS）。首先推导角的关系：若∠1=∠2，可得∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，这是分析含∠1=∠2选项的前提。接下来逐一将各选项条件和判定定理对照，验证是否满足判定要求即可，注意SAS判定要求相等的角必须是成比例两边的夹角。
【解析】
首先推导角的关系：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即$\boldsymbol{∠BAC=∠DAE}$。
逐一分析选项：
A. 已知∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，满足两角分别相等，根据AA判定可证△ABC∽△ADE，不符合题意；
B. 已知∠BAC=∠DAE，且$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，变形可得$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，满足两边成比例且夹角相等，根据SAS判定可证△ABC∽△ADE，不符合题意；
C. 已知$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，满足三边对应成比例，根据SSS判定可证△ABC∽△ADE，不符合题意；
D. 已知∠BAC=∠DAE，且$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，相等的角∠BAC不是成比例线段AB、BC的夹角，∠DAE也不是成比例线段AD、DE的夹角，不满足SAS判定要求，也没有其他角相等的条件，无法判定△ABC∽△ADE，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的AA判定；相似三角形的SAS判定；相似三角形的SSS判定
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题的关键是先从已知角相等推出两个三角形的对应顶角相等，再结合各选项条件对照判定规则判断，需特别注意SAS判定中“夹角相等”的要求，避免误将非夹角的角相等当作判定依据。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在三角形纸片中,∠A=80°,AB=6,AC=8. 将△ABC分别沿图示①②③④中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形相似的是 【 】
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
答案
B
解析
【分析】
要判断阴影三角形与原△ABC是否相似，可结合相似三角形的判定定理逐一分析：首先明确原△ABC的已知条件：∠A=80°，AB=6，AC=8。再分别对4种剪开情况，验证是否满足“两角分别相等”或“两边成比例且夹角相等”的相似判定条件即可：
①阴影三角形有公共角∠C，且另有一个角为80°，和原三角形的∠A相等，满足两角对应相等，故相似；
②阴影三角形有公共角∠B，且另有一个角为80°，和原三角形的∠A相等，满足两角对应相等，故相似；
③阴影三角形夹∠B的两边长为3、4，原三角形夹∠B的两边为AB=6和BC（长度未知），无法证明两边对应成比例，且3/6=4/8的比例对应的夹角是∠A而非∠B，不满足相似判定条件，故不相似；
④阴影三角形夹∠A的两边长分别为6-2=4、8-5=3，原三角形夹∠A的两边为AB=6、AC=8，计算得3/6=4/8=1/2，两边成比例且夹角都是∠A=80°，满足相似判定条件，故相似。
【解析】
解：已知△ABC中，∠A=80°，AB=6，AC=8，逐个分析如下：
1. 图①：阴影三角形与原三角形有公共角∠C，且阴影中80°角与∠A相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得两三角形相似；
2. 图②：阴影三角形与原三角形有公共角∠B，且阴影中80°角与∠A相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得两三角形相似；
3. 图③：阴影三角形中夹∠B的两边长为3、4，原三角形中夹∠B的两边为AB=6、BC，BC长度未知，无法证明两边对应成比例，且3/6=4/8对应的夹角为∠A，与∠B不相等，故两三角形不相似；
4. 图④：阴影三角形夹∠A的两边长为6-2=4、8-5=3，原三角形夹∠A的两边为AB=6、AC=8，
∵ $\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，且夹角均为∠A=80°，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得两三角形相似。
综上，①②④的阴影三角形与原三角形相似。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的实际应用，解题时要准确找到两个三角形的对应角、对应边，结合判定条件逐一验证即可，注意两边成比例时必须保证夹角相等才符合判定要求。
【难度系数】
0.7
要判断阴影三角形与原△ABC是否相似，可结合相似三角形的判定定理逐一分析：首先明确原△ABC的已知条件：∠A=80°，AB=6，AC=8。再分别对4种剪开情况，验证是否满足“两角分别相等”或“两边成比例且夹角相等”的相似判定条件即可：
①阴影三角形有公共角∠C，且另有一个角为80°，和原三角形的∠A相等，满足两角对应相等，故相似；
②阴影三角形有公共角∠B，且另有一个角为80°，和原三角形的∠A相等，满足两角对应相等，故相似；
③阴影三角形夹∠B的两边长为3、4，原三角形夹∠B的两边为AB=6和BC（长度未知），无法证明两边对应成比例，且3/6=4/8的比例对应的夹角是∠A而非∠B，不满足相似判定条件，故不相似；
④阴影三角形夹∠A的两边长分别为6-2=4、8-5=3，原三角形夹∠A的两边为AB=6、AC=8，计算得3/6=4/8=1/2，两边成比例且夹角都是∠A=80°，满足相似判定条件，故相似。
【解析】
解：已知△ABC中，∠A=80°，AB=6，AC=8，逐个分析如下：
1. 图①：阴影三角形与原三角形有公共角∠C，且阴影中80°角与∠A相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得两三角形相似；
2. 图②：阴影三角形与原三角形有公共角∠B，且阴影中80°角与∠A相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得两三角形相似；
3. 图③：阴影三角形中夹∠B的两边长为3、4，原三角形中夹∠B的两边为AB=6、BC，BC长度未知，无法证明两边对应成比例，且3/6=4/8对应的夹角为∠A，与∠B不相等，故两三角形不相似；
4. 图④：阴影三角形夹∠A的两边长为6-2=4、8-5=3，原三角形夹∠A的两边为AB=6、AC=8，
∵ $\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，且夹角均为∠A=80°，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得两三角形相似。
综上，①②④的阴影三角形与原三角形相似。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的实际应用，解题时要准确找到两个三角形的对应角、对应边，结合判定条件逐一验证即可，注意两边成比例时必须保证夹角相等才符合判定要求。
【难度系数】
0.7
11. $△ ABC$ 的三边长分别为 2、$\sqrt{2}$、$\sqrt{10}$，$△ A_{1}B_{1}C_{1}$ 的两边长分别为 1 和$\sqrt{5}$，当$△ A_{1}B_{1}C_{1}$ 的第三边长为________时，$△ ABC ∽ △ A_{1}B_{1}C_{1}$。
答案
$\sqrt{2}$
解析
【分析】
要判定两个三角形相似，已知边长相关条件，优先选用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理。解题时首先将△ABC的三边长按从小到大排序，再将△A₁B₁C₁的已知边长和△ABC的边长对比，找到比值相等的两组对应边，确定相似比，最后根据相似比计算未知的第三边长即可。
【解析】
解：要使△ABC ∽ △A₁B₁C₁，需满足三边对应成比例。
第一步：将△ABC的三边长从小到大排序：$\sqrt{2} ＜ 2 ＜ \sqrt{10}$。
第二步：对比△A₁B₁C₁的已知两边1和$\sqrt{5}$，计算对应边的比值：
$\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$，可得两个三角形的相似比为$\sqrt{2}$。
第三步：设△A₁B₁C₁的第三边长为$x$，其对应△ABC中长度为2的边，列比例式：
$\frac{2}{x}=\sqrt{2}$
解得：$x=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。
经检验，此时两个三角形三边对应成比例，满足相似条件。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
1. 三边成比例证相似
2. 相似比计算
3. 二次根式化简
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定方法，解题关键是通过对边长排序找准对应边，确定相似比，避免因对应边匹配错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
要判定两个三角形相似，已知边长相关条件，优先选用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理。解题时首先将△ABC的三边长按从小到大排序，再将△A₁B₁C₁的已知边长和△ABC的边长对比，找到比值相等的两组对应边，确定相似比，最后根据相似比计算未知的第三边长即可。
【解析】
解：要使△ABC ∽ △A₁B₁C₁，需满足三边对应成比例。
第一步：将△ABC的三边长从小到大排序：$\sqrt{2} ＜ 2 ＜ \sqrt{10}$。
第二步：对比△A₁B₁C₁的已知两边1和$\sqrt{5}$，计算对应边的比值：
$\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$，可得两个三角形的相似比为$\sqrt{2}$。
第三步：设△A₁B₁C₁的第三边长为$x$，其对应△ABC中长度为2的边，列比例式：
$\frac{2}{x}=\sqrt{2}$
解得：$x=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。
经检验，此时两个三角形三边对应成比例，满足相似条件。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
1. 三边成比例证相似
2. 相似比计算
3. 二次根式化简
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定方法，解题关键是通过对边长排序找准对应边，确定相似比，避免因对应边匹配错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
12. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B = 90°$，点$D$、$E$在$BC$上，且$AB = BD = EC = DE$，求证：
(1) $△ ADE ∽ △ CDA$；
(2) $∠ C + ∠ AEB = 45°$。
(1) $△ ADE ∽ △ CDA$；
(2) $∠ C + ∠ AEB = 45°$。
答案
(1) $\because ∠ B=90°,\ AB=BD,\therefore AD=\sqrt{2}AB.\ \therefore \frac{DE}{AD}=\frac{AD}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ 又 $\because ∠ ADE=∠ CDA,\therefore △ ADE∽△ CDA$
(2) $\because △ ADE∽△ CDA,\therefore ∠ C=∠ EAD.\ \because ∠ EAD+∠ AEB=45°,\therefore ∠ C+∠ AEB=45°$
(2) $\because △ ADE∽△ CDA,\therefore ∠ C=∠ EAD.\ \because ∠ EAD+∠ AEB=45°,\therefore ∠ C+∠ AEB=45°$
解析
【分析】
(1) 要证明$△ ADE ∽ △ CDA$，首先观察图形可发现两个三角形有公共角$∠ ADE=∠ CDA$，根据相似三角形的判定定理，只需要证明夹公共角的两组边对应成比例即可。我们可以先利用等腰直角三角形的性质求出$AD$的长度，再结合已知的线段相等关系，计算对应边的比值验证比例相等，即可完成相似证明。
(2) 要证明$∠ C + ∠ AEB = 45°$，可以先利用第一问的相似结论得到对应角相等，将$∠ C$转化为$∠ EAD$，再结合$△ ABD$是等腰直角三角形得到$∠ ADB=45°$，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，将角度代换即可推导得出结论。
【解析】
(1) 设$AB=BD=DE=EC=a$，
$\because ∠ B=90°$，$AB=BD=a$，
$\therefore △ ABD$为等腰直角三角形，由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{2}a$，
$\because DE=a$，$CD=DE+EC=2a$，
$\therefore \frac{DE}{AD}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AD}{CD}=\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{DE}{AD}=\frac{AD}{CD}$，
又$\because ∠ ADE=∠ CDA$（公共角），
$\therefore △ ADE ∽ △ CDA$。
(2) 由(1)得$△ ADE ∽ △ CDA$，
$\therefore ∠ C=∠ EAD$（相似三角形对应角相等），
$\because △ ABD$是等腰直角三角形，$\therefore ∠ ADB=45°$，
$\because ∠ ADB$是$△ ADE$的外角，$\therefore ∠ ADB=∠ EAD+∠ AEB=45°$，
将$∠ EAD$替换为$∠ C$，可得$∠ C+∠ AEB=45°$。
【答案】
(1) $\because ∠ B=90°,\ AB=BD,\therefore AD=\sqrt{2}AB.\ \therefore \frac{DE}{AD}=\frac{AD}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ 又 $\because ∠ ADE=∠ CDA,\therefore △ ADE∽△ CDA$
(2) $\because △ ADE∽△ CDA,\therefore ∠ C=∠ EAD.\ \because ∠ EAD+∠ AEB=45°,\therefore ∠ C+∠ AEB=45°$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，解题的核心是挖掘图形中的公共角、特殊三角形的隐含条件，先通过线段比例关系证明相似，再利用相似的性质完成角度代换，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解决此类题目的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$△ ADE ∽ △ CDA$，首先观察图形可发现两个三角形有公共角$∠ ADE=∠ CDA$，根据相似三角形的判定定理，只需要证明夹公共角的两组边对应成比例即可。我们可以先利用等腰直角三角形的性质求出$AD$的长度，再结合已知的线段相等关系，计算对应边的比值验证比例相等，即可完成相似证明。
(2) 要证明$∠ C + ∠ AEB = 45°$，可以先利用第一问的相似结论得到对应角相等，将$∠ C$转化为$∠ EAD$，再结合$△ ABD$是等腰直角三角形得到$∠ ADB=45°$，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，将角度代换即可推导得出结论。
【解析】
(1) 设$AB=BD=DE=EC=a$，
$\because ∠ B=90°$，$AB=BD=a$，
$\therefore △ ABD$为等腰直角三角形，由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{2}a$，
$\because DE=a$，$CD=DE+EC=2a$，
$\therefore \frac{DE}{AD}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AD}{CD}=\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{DE}{AD}=\frac{AD}{CD}$，
又$\because ∠ ADE=∠ CDA$（公共角），
$\therefore △ ADE ∽ △ CDA$。
(2) 由(1)得$△ ADE ∽ △ CDA$，
$\therefore ∠ C=∠ EAD$（相似三角形对应角相等），
$\because △ ABD$是等腰直角三角形，$\therefore ∠ ADB=45°$，
$\because ∠ ADB$是$△ ADE$的外角，$\therefore ∠ ADB=∠ EAD+∠ AEB=45°$，
将$∠ EAD$替换为$∠ C$，可得$∠ C+∠ AEB=45°$。
【答案】
(1) $\because ∠ B=90°,\ AB=BD,\therefore AD=\sqrt{2}AB.\ \therefore \frac{DE}{AD}=\frac{AD}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ 又 $\because ∠ ADE=∠ CDA,\therefore △ ADE∽△ CDA$
(2) $\because △ ADE∽△ CDA,\therefore ∠ C=∠ EAD.\ \because ∠ EAD+∠ AEB=45°,\therefore ∠ C+∠ AEB=45°$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，解题的核心是挖掘图形中的公共角、特殊三角形的隐含条件，先通过线段比例关系证明相似，再利用相似的性质完成角度代换，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解决此类题目的关键。
【难度系数】
0.7
