7.（淄博期末）如图，在$△ ABC$中，点D在AB上，连结CD.已知$AC=3\mathrm{cm}$，$AD=2\mathrm{cm}$，$BD=\frac{5}{2}\mathrm{cm}$，求证：$△ ACD ∽ △ ABC$. （第7题）

$\because AD=2\ \mathrm{cm},\ BD=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm},\therefore AB=AD+BD=\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}.\ \because AC=3\ \mathrm{cm},\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}.\ \mathrm{又}\ \because ∠ CAD=∠ BAC,\therefore △ ACD∽△ ABC$

【分析】要证明$△ ACD ∽ △ ABC$，首先观察可得两个三角形有公共角$∠ CAD=∠ BAC$，根据相似三角形的判定定理，只需证明夹该公共角的两组对应边成比例即可。首先通过线段和的关系计算$AB$的长度，再分别计算$\frac{AD}{AC}$与$\frac{AC}{AB}$的比值，验证两个比值相等，结合公共角即可完成证明。
【解析】
证明：$\because AD=2\ \mathrm{cm},\ BD=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=AD+BD=2+\frac{5}{2}=\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}$，
$\because AC=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$，$\frac{AC}{AB}=\frac{3}{\frac{9}{2}}=\frac{2}{3}$，即$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
又$\because ∠ CAD=∠ BAC$，
$\therefore △ ACD ∽ △ ABC$。
【答案】
$\because AD=2\ \mathrm{cm},\ BD=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm},\therefore AB=AD+BD=\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}.\ \because AC=3\ \mathrm{cm},\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}.\ \mathrm{又}\ \because ∠ CAD=∠ BAC,\therefore △ ACD∽△ ABC$
【知识点】
1. 相似三角形的SAS判定
2. 线段和差计算
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，解题的核心是先找到两个三角形的公共角，再通过基础计算验证夹公共角的两组边对应成比例，即可结合判定定理完成证明，主要考查学生对相似判定定理的掌握程度和基础运算能力。
【难度系数】
0.8

8. 如图,在$△ ABC$中,点$D$、$E$分别在边$AB$、$AC$上,$∠ AED=∠ B$,线段$AG$分别交线段$DE$、$BC$于点$F$、$G$,且$\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$.
(1) 求证:$△ ADF ∽ △ ACG$;
(2) 若$\frac{AD}{AC}=\frac{4}{9}$,求$\frac{AF}{FG}$的值.

(1) $\because ∠ AED=∠ B,\ ∠ DAE=∠ CAB,\therefore △ AED∽△ ABC.\ \therefore ∠ ADF=∠ C.$ 又 $\because \frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG},\therefore △ ADF∽△ ACG$
(2) $\because △ ADF∽△ ACG,\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AF}{AG}=\frac{4}{9}.\ \mathrm{又}\ \because AG=AF+FG,\therefore \frac{AF}{FG}=\frac{4}{5}$

【分析】
(1) 要证$△ ADF ∽ △ ACG$，已知$\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$，需先证两组边的夹角相等，即$∠ ADF=∠ C$。首先利用已知$∠ AED=∠ B$加公共角$∠ DAE=∠ CAB$，可证$△ AED ∽ △ ABC$，即可得到$∠ ADF=∠ C$，满足两边成比例且夹角相等的相似判定条件，即可得证。
(2) 由(1)得到的相似结论，根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AC}=\frac{4}{9}$，再结合$AG=AF+FG$，代入比例式变形即可求出$\frac{AF}{FG}$的比值。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠ AED=∠ B$，$∠ DAE=∠ CAB$（公共角相等）
$\therefore △ AED ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore ∠ ADF=∠ C$（相似三角形对应角相等）
又$\because \frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$（已知）
$\therefore △ ADF ∽ △ ACG$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
(2) 解：$\because △ ADF ∽ △ ACG$
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AF}{AG}=\frac{4}{9}$（相似三角形对应边成比例）
$\because AG=AF+FG$
$\therefore $设$AF=4k$（$k≠0$），则$AG=9k$，$FG=AG-AF=9k-4k=5k$
$\therefore \frac{AF}{FG}=\frac{4k}{5k}=\frac{4}{5}$
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\frac{4}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例运算
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，解题关键是先通过已知角和公共角得到第一组相似，推导得出第二组相似需要的等角，再结合边成比例完成相似证明；第二问利用相似性质结合线段和差关系即可求解，是相似章节的常规常考题型。
【难度系数】
0.7