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14. 如图,认真分析下列各式,然后解答问题.
$(\sqrt{1})^2 + 1 = 2, S_1 = \frac{\sqrt{1}}{2}$;
$(\sqrt{2})^2 + 1 = 3, S_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
$(\sqrt{3})^2 + 1 = 4, S_3 = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
……
(1) 试用含有$n$($n$为正整数)的等式表示上述变化规律;
(2) 推算出$OA_{10}$的长;
(3) 求出$S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 + \dots + S_{10}^2$的值.
$(\sqrt{1})^2 + 1 = 2, S_1 = \frac{\sqrt{1}}{2}$;
$(\sqrt{2})^2 + 1 = 3, S_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
$(\sqrt{3})^2 + 1 = 4, S_3 = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
……
(1) 试用含有$n$($n$为正整数)的等式表示上述变化规律;
(2) 推算出$OA_{10}$的长;
(3) 求出$S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 + \dots + S_{10}^2$的值.
答案
(1) 由图形知，$OA_1^2 + A_1A_2^2 = OA_2^2$，取$(\sqrt{1})^2 + 1 = 2$，$S_1 = \dfrac{1}{2}OA_1 · A_1A_2 = \dfrac{\sqrt{1}}{2}$. 以此类推，可知$(\sqrt{n})^2 + 1 = n + 1$，$S_n = \dfrac{\sqrt{n}}{2}$ (2) $\because OA_1=1,OA_2=\sqrt{2},OA_3=\sqrt{3},\dots,\therefore OA_{10}=\sqrt{10}$ (3) $S_1^2 + S_2^2 + \dots + S_{10}^2 = (\dfrac{\sqrt{1}}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2 + \dots + (\dfrac{\sqrt{10}}{2})^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4} + \dots + \dfrac{10}{4} = \dfrac{1}{4}(1 + 2 + \dots + 10) = \dfrac{55}{4}$
解析
【分析】
(1) 观察给出的等式和面积表达式，n=1时对应第一个式子，n=2时对应第二个式子，以此类推，总结第n个式子的通用形式即可。
(2) 结合勾股定理计算前几个$OA_n$的长度，归纳得到$OA_n$的规律，代入n=10即可求解。
(3) 先由$S_n$的表达式推导$S_n^2$的形式，再提取公因式，利用等差数列求和公式计算总和即可。
【解析】
(1) 观察已知条件：
当$n=1$时，$(\sqrt{1})^2+1=1+1=2$，$S_1=\frac{\sqrt{1}}{2}$；
当$n=2$时，$(\sqrt{2})^2+1=2+1=3$，$S_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当$n=3$时，$(\sqrt{3})^2+1=3+1=4$，$S_3=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
……
由此可得规律：$\boldsymbol{(\sqrt{n})^2 + 1 = n + 1}$，$\boldsymbol{S_n = \frac{\sqrt{n}}{2}}$（n为正整数）。
(2) 根据勾股定理：
$OA_1=\sqrt{1}=1$，$OA_2=\sqrt{OA_1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$OA_3=\sqrt{OA_2^2+1^2}=\sqrt{3}$，……，可归纳得$OA_n=\sqrt{n}$，
当$n=10$时，$OA_{10}=\sqrt{10}$。
(3) 由$S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}$，得$S_n^2=(\frac{\sqrt{n}}{2})^2=\frac{n}{4}$，则：
$\begin{aligned}S_1^2 + S_2^2 + \dots + S_{10}^2 &= (\frac{\sqrt{1}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \dots + (\frac{\sqrt{10}}{2})^2 \\&= \frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\dots+\frac{10}{4} \\&= \frac{1}{4}×(1+2+\dots+10) \\&= \frac{1}{4}×\frac{10×(10+1)}{2} \\&= \frac{55}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1) $(\sqrt{n})^2 + 1 = n + 1$，$S_n = \frac{\sqrt{n}}{2}$（n为正整数）
(2) $OA_{10}=\sqrt{10}$
(3) $\frac{55}{4}$
【知识点】勾股定理；二次根式运算；规律探究
【点评】本题结合几何图形考查规律探究能力，需要先从特例中归纳出通用规律，再结合代数式运算求解，解题时要注意观察式子和图形的对应关系，避免规律归纳错误。
【难度系数】
0.7
(1) 观察给出的等式和面积表达式，n=1时对应第一个式子，n=2时对应第二个式子，以此类推，总结第n个式子的通用形式即可。
(2) 结合勾股定理计算前几个$OA_n$的长度，归纳得到$OA_n$的规律，代入n=10即可求解。
(3) 先由$S_n$的表达式推导$S_n^2$的形式，再提取公因式，利用等差数列求和公式计算总和即可。
【解析】
(1) 观察已知条件：
当$n=1$时，$(\sqrt{1})^2+1=1+1=2$，$S_1=\frac{\sqrt{1}}{2}$；
当$n=2$时，$(\sqrt{2})^2+1=2+1=3$，$S_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当$n=3$时，$(\sqrt{3})^2+1=3+1=4$，$S_3=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
……
由此可得规律：$\boldsymbol{(\sqrt{n})^2 + 1 = n + 1}$，$\boldsymbol{S_n = \frac{\sqrt{n}}{2}}$（n为正整数）。
(2) 根据勾股定理：
$OA_1=\sqrt{1}=1$，$OA_2=\sqrt{OA_1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$OA_3=\sqrt{OA_2^2+1^2}=\sqrt{3}$，……，可归纳得$OA_n=\sqrt{n}$，
当$n=10$时，$OA_{10}=\sqrt{10}$。
(3) 由$S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}$，得$S_n^2=(\frac{\sqrt{n}}{2})^2=\frac{n}{4}$，则：
$\begin{aligned}S_1^2 + S_2^2 + \dots + S_{10}^2 &= (\frac{\sqrt{1}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \dots + (\frac{\sqrt{10}}{2})^2 \\&= \frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\dots+\frac{10}{4} \\&= \frac{1}{4}×(1+2+\dots+10) \\&= \frac{1}{4}×\frac{10×(10+1)}{2} \\&= \frac{55}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1) $(\sqrt{n})^2 + 1 = n + 1$，$S_n = \frac{\sqrt{n}}{2}$（n为正整数）
(2) $OA_{10}=\sqrt{10}$
(3) $\frac{55}{4}$
【知识点】勾股定理；二次根式运算；规律探究
【点评】本题结合几何图形考查规律探究能力，需要先从特例中归纳出通用规律，再结合代数式运算求解，解题时要注意观察式子和图形的对应关系，避免规律归纳错误。
【难度系数】
0.7
