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8. 若 $ x ＜ 2 $，化简：$\sqrt{x^2 - 4x + 4} + |4 - x|$。小明的解答过程如下：
解：原式$=\sqrt{(x - 2)^2} + (4 - x)$……第一步
$=x - 2 + 4 - x$ ……第二步
$=2.$ ……第三步
（1）小明的解答是从第
（2）写出正确的解答过程。
解：原式$=\sqrt{(x - 2)^2} + (4 - x)$……第一步
$=x - 2 + 4 - x$ ……第二步
$=2.$ ……第三步
（1）小明的解答是从第
二
步出现错误的，错误的原因是用错了性质：$\sqrt{a^2}=-a(a＜0)$
；（2）写出正确的解答过程。
答案
8. (1) 二 $\sqrt{a^2}=-a(a＜0)$ (2) $\because x ＜ 2,\therefore x - 2 ＜ 0,4 - x ＞ 0.\therefore$ 原式$=\sqrt{(x - 2)^2}+(4 - x)=2 - x + 4 - x=6 - 2x$
解析
【分析】
本题考查二次根式的性质与绝对值的化简，解题思路如下：（1）判断错误步骤：回忆二次根式核心性质$\sqrt{a^2}=|a|$，当$a＜0$时$\sqrt{a^2}=-a$，当$a≥0$时$\sqrt{a^2}=a$。已知$x＜2$，可得$x-2＜0$，因此$\sqrt{(x-2)^2}$应化简为$2-x$，小明直接写成$x-2$，故第二步出错，错误原因是误用了$a＜0$时二次根式的化简性质。（2）正确化简：先根据$x＜2$，分别判断$x-2$、$4-x$的正负，再对应应用二次根式、绝对值的性质化简，最后合并同类项即可。
【解析】
（1）第一步小明将根号内多项式因式分解，且根据$x＜2$判断$4-x＞0$，将$|4-x|$化简为$4-x$，步骤正确；第二步化简$\sqrt{(x-2)^2}$时，因$x＜2$，$x-2＜0$，根据$\sqrt{a^2}=-a(a＜0)$的性质，$\sqrt{(x-2)^2}=2-x$，小明错误化简为$x-2$，因此从第二步开始出错，错误原因是用错了性质$\sqrt{a^2}=-a(a＜0)$。
（2）正确解答过程：
$\because x ＜ 2$，
$\therefore x - 2 ＜ 0$，$4 - x ＞ 0$，
$\therefore$原式$=\sqrt{(x - 2)^2} + |4 - x|$
$=|x - 2| + (4 - x)$
$=2 - x + 4 - x$
$=6 - 2x$。
【答案】
(1) 二；$\sqrt{a^2}=-a(a＜0)$
(2) 化简结果为$\boldsymbol{6 - 2x}$
【知识点】
二次根式的性质；绝对值的化简；整式的加减
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，解题核心是先结合给定的未知数取值范围，判断被开方数的底数、绝对值内代数式的正负，再对应应用性质化简，易错点是忽略取值范围，直接套用$a≥0$时的二次根式化简公式。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的性质与绝对值的化简，解题思路如下：（1）判断错误步骤：回忆二次根式核心性质$\sqrt{a^2}=|a|$，当$a＜0$时$\sqrt{a^2}=-a$，当$a≥0$时$\sqrt{a^2}=a$。已知$x＜2$，可得$x-2＜0$，因此$\sqrt{(x-2)^2}$应化简为$2-x$，小明直接写成$x-2$，故第二步出错，错误原因是误用了$a＜0$时二次根式的化简性质。（2）正确化简：先根据$x＜2$，分别判断$x-2$、$4-x$的正负，再对应应用二次根式、绝对值的性质化简，最后合并同类项即可。
【解析】
（1）第一步小明将根号内多项式因式分解，且根据$x＜2$判断$4-x＞0$，将$|4-x|$化简为$4-x$，步骤正确；第二步化简$\sqrt{(x-2)^2}$时，因$x＜2$，$x-2＜0$，根据$\sqrt{a^2}=-a(a＜0)$的性质，$\sqrt{(x-2)^2}=2-x$，小明错误化简为$x-2$，因此从第二步开始出错，错误原因是用错了性质$\sqrt{a^2}=-a(a＜0)$。
（2）正确解答过程：
$\because x ＜ 2$，
$\therefore x - 2 ＜ 0$，$4 - x ＞ 0$，
$\therefore$原式$=\sqrt{(x - 2)^2} + |4 - x|$
$=|x - 2| + (4 - x)$
$=2 - x + 4 - x$
$=6 - 2x$。
【答案】
(1) 二；$\sqrt{a^2}=-a(a＜0)$
(2) 化简结果为$\boldsymbol{6 - 2x}$
【知识点】
二次根式的性质；绝对值的化简；整式的加减
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，解题核心是先结合给定的未知数取值范围，判断被开方数的底数、绝对值内代数式的正负，再对应应用性质化简，易错点是忽略取值范围，直接套用$a≥0$时的二次根式化简公式。
【难度系数】
0.7
9. 已知$ab＜0$，且$(\sqrt{a})^2=5$，$\sqrt{b^2}=3$，则$a+b$结果是 【 】
A.8
B.2
C.-2
D.-8
A.8
B.2
C.-2
D.-8
答案
B
解析
【分析】
解题时先回忆二次根式的相关性质：1. 二次根式$\sqrt{a}$有意义的前提是$a≥0$，且$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$）；2. $\sqrt{b^2}=|b|$。首先利用$(\sqrt{a})^2=5$求出$a$的值并确定$a$的符号，再利用$\sqrt{b^2}=3$得到$b$的可能取值，结合$ab＜0$（即$a、b$异号）的条件确定$b$的具体值，最后代入计算$a+b$的结果即可。
【解析】
解：① 根据二次根式的性质：$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），已知$(\sqrt{a})^2=5$，可得$a=5$，且$a=5＞0$；
② 根据二次根式的性质：$\sqrt{b^2}=|b|$，已知$\sqrt{b^2}=3$，可得$|b|=3$，即$b=3$或$b=-3$；
③ 已知$ab＜0$，说明$a、b$符号相反，因为$a=5＞0$，因此$b＜0$，即$b=-3$；
④ 计算得$a+b=5+(-3)=2$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次根式的性质 2.绝对值的化简 3.有理数的运算
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定$a$的取值，再结合符号限制条件求出$b$的取值，易错点是容易忽略$ab＜0$的符号限制，或混淆$(\sqrt{a})^2$与$\sqrt{a^2}$的适用条件。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆二次根式的相关性质：1. 二次根式$\sqrt{a}$有意义的前提是$a≥0$，且$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$）；2. $\sqrt{b^2}=|b|$。首先利用$(\sqrt{a})^2=5$求出$a$的值并确定$a$的符号，再利用$\sqrt{b^2}=3$得到$b$的可能取值，结合$ab＜0$（即$a、b$异号）的条件确定$b$的具体值，最后代入计算$a+b$的结果即可。
【解析】
解：① 根据二次根式的性质：$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），已知$(\sqrt{a})^2=5$，可得$a=5$，且$a=5＞0$；
② 根据二次根式的性质：$\sqrt{b^2}=|b|$，已知$\sqrt{b^2}=3$，可得$|b|=3$，即$b=3$或$b=-3$；
③ 已知$ab＜0$，说明$a、b$符号相反，因为$a=5＞0$，因此$b＜0$，即$b=-3$；
④ 计算得$a+b=5+(-3)=2$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次根式的性质 2.绝对值的化简 3.有理数的运算
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定$a$的取值，再结合符号限制条件求出$b$的取值，易错点是容易忽略$ab＜0$的符号限制，或混淆$(\sqrt{a})^2$与$\sqrt{a^2}$的适用条件。
【难度系数】
0.7
10. 若2、5、n为三角形的三边长，则化简$\sqrt{(3-n)^2}+\sqrt{(8-n)^2}$的结果为 【 】
A.5
B.$2n - 11$
C.$11 - 2n$
D.$-5$
A.5
B.$2n - 11$
C.$11 - 2n$
D.$-5$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先利用三角形三边关系确定n的取值范围，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$将原式转化为绝对值的和，最后根据n的范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后合并化简即可得到结果。
【解析】
第一步：根据三角形三边关系求n的取值范围
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知三边长为2、5、n，因此：
$5-2 ＜ n ＜ 5+2$，即$3 ＜ n ＜ 7$。
第二步：利用二次根式的性质转化原式
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(3-n)^2}+\sqrt{(8-n)^2}=|3-n|+|8-n|$
第三步：去绝对值并化简
因为$3 ＜ n ＜7$，所以$3-n ＜ 0$，$8-n ＞ 8-7=1＞0$，
根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，可得：
$|3-n|=n-3$，$|8-n|=8-n$
因此原式$=(n-3)+(8-n)=n-3+8-n=5$。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简的常见题型，解题的核心是先结合隐含条件确定未知数的取值范围，再根据绝对值的性质正确去绝对值符号，计算难度不大，需要注意取值范围的判断不能出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用三角形三边关系确定n的取值范围，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$将原式转化为绝对值的和，最后根据n的范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后合并化简即可得到结果。
【解析】
第一步：根据三角形三边关系求n的取值范围
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知三边长为2、5、n，因此：
$5-2 ＜ n ＜ 5+2$，即$3 ＜ n ＜ 7$。
第二步：利用二次根式的性质转化原式
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(3-n)^2}+\sqrt{(8-n)^2}=|3-n|+|8-n|$
第三步：去绝对值并化简
因为$3 ＜ n ＜7$，所以$3-n ＜ 0$，$8-n ＞ 8-7=1＞0$，
根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，可得：
$|3-n|=n-3$，$|8-n|=8-n$
因此原式$=(n-3)+(8-n)=n-3+8-n=5$。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简的常见题型，解题的核心是先结合隐含条件确定未知数的取值范围，再根据绝对值的性质正确去绝对值符号，计算难度不大，需要注意取值范围的判断不能出错。
【难度系数】
0.7
11. 化简$\sqrt{(x - 3)^2} - (\sqrt{x - 4})^2$的结果为
1
.答案
11. 1
解析
【分析】
化简本题需先确定二次根式有意义的x的取值范围，再结合二次根式的性质分别化简两个部分，最后计算结果。步骤如下：①先根据√(x-4)的被开方数非负，求出x的取值范围；②根据√a²=|a|的性质，结合x的范围判断x-3的符号，去掉绝对值化简第一个项；③根据(√a)²=a（a≥0）的性质化简第二个项；④将化简后的式子相减得到最终结果。
【解析】
要使二次根式√(x-4)有意义，则被开方数满足：
$x-4≥0$，解得$x≥4$，
∴$x-3≥4-3=1＞0$，
根据二次根式的性质化简：
$\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|=x-3$，
$(\sqrt{x-4})^2=x-4$，
代入原式计算：
原式$=(x-3)-(x-4)=x-3-x+4=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题核心考查二次根式性质的灵活应用，解题的易错点是忽略先确定x的取值范围，直接对$\sqrt{(x-3)^2}$去符号导致出错，掌握二次根式的相关性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
化简本题需先确定二次根式有意义的x的取值范围，再结合二次根式的性质分别化简两个部分，最后计算结果。步骤如下：①先根据√(x-4)的被开方数非负，求出x的取值范围；②根据√a²=|a|的性质，结合x的范围判断x-3的符号，去掉绝对值化简第一个项；③根据(√a)²=a（a≥0）的性质化简第二个项；④将化简后的式子相减得到最终结果。
【解析】
要使二次根式√(x-4)有意义，则被开方数满足：
$x-4≥0$，解得$x≥4$，
∴$x-3≥4-3=1＞0$，
根据二次根式的性质化简：
$\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|=x-3$，
$(\sqrt{x-4})^2=x-4$，
代入原式计算：
原式$=(x-3)-(x-4)=x-3-x+4=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题核心考查二次根式性质的灵活应用，解题的易错点是忽略先确定x的取值范围，直接对$\sqrt{(x-3)^2}$去符号导致出错，掌握二次根式的相关性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
12. 若$|a - \sqrt{2}| + (b - \sqrt{3})^2 + \sqrt{c - 2026} = 0$，求$(a^2 - b^2)^c$的值.
答案
12. $\because |a - \sqrt{2}| + (b - \sqrt{3})^2 + \sqrt{c - 2026} = 0$，$|a - \sqrt{2}| ≥ 0$，$(b - \sqrt{3})^2 ≥ 0$，$\sqrt{c - 2026} ≥ 0$，$\therefore |a - \sqrt{2}|=(b - \sqrt{3})^2=\sqrt{c - 2026}=0. \therefore a - \sqrt{2}=0$，$b - \sqrt{3}=0$，$c - 2026=0. \therefore a = \sqrt{2}$，$b = \sqrt{3}$，$c = 2026. \therefore (a^2 - b^2)^c = [(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2]^{2026}=1$
解析
【分析】
本题需利用非负数的性质求解，首先观察等式左边的三个组成部分：绝对值、平方数、算术平方根，三者均属于非负数（取值大于等于0），根据“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质，可分别列出方程求出a、b、c的值，再将三者代入待求代数式，结合二次根式的乘方运算、有理数乘方法则计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because |a - \sqrt{2}| ≥ 0$，$(b - \sqrt{3})^2 ≥ 0$，$\sqrt{c - 2026} ≥ 0$，且$|a - \sqrt{2}| + (b - \sqrt{3})^2 + \sqrt{c - 2026} = 0$，
$\therefore |a - \sqrt{2}|=(b - \sqrt{3})^2=\sqrt{c - 2026}=0$，
即$a - \sqrt{2}=0$，$b - \sqrt{3}=0$，$c - 2026=0$，
解得：$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$，$c=2026$，
将a、b、c代入$(a^2 - b^2)^c$得：
$\begin{aligned}(a^2 - b^2)^c&=[(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2]^{2026}\\&=(2 - 3)^{2026}\\&=(-1)^{2026}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
$1$
【知识点】
非负数的性质；二次根式的性质；有理数乘方运算
【点评】
本题是典型的非负数性质应用类题型，解题核心是明确绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性，再结合二次根式的运算规则即可顺利求解，属于代数部分的常考基础题型，需熟练掌握该类题型的解题思路。
【难度系数】
0.8
本题需利用非负数的性质求解，首先观察等式左边的三个组成部分：绝对值、平方数、算术平方根，三者均属于非负数（取值大于等于0），根据“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质，可分别列出方程求出a、b、c的值，再将三者代入待求代数式，结合二次根式的乘方运算、有理数乘方法则计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because |a - \sqrt{2}| ≥ 0$，$(b - \sqrt{3})^2 ≥ 0$，$\sqrt{c - 2026} ≥ 0$，且$|a - \sqrt{2}| + (b - \sqrt{3})^2 + \sqrt{c - 2026} = 0$，
$\therefore |a - \sqrt{2}|=(b - \sqrt{3})^2=\sqrt{c - 2026}=0$，
即$a - \sqrt{2}=0$，$b - \sqrt{3}=0$，$c - 2026=0$，
解得：$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$，$c=2026$，
将a、b、c代入$(a^2 - b^2)^c$得：
$\begin{aligned}(a^2 - b^2)^c&=[(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2]^{2026}\\&=(2 - 3)^{2026}\\&=(-1)^{2026}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
$1$
【知识点】
非负数的性质；二次根式的性质；有理数乘方运算
【点评】
本题是典型的非负数性质应用类题型，解题核心是明确绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性，再结合二次根式的运算规则即可顺利求解，属于代数部分的常考基础题型，需熟练掌握该类题型的解题思路。
【难度系数】
0.8
13. 已知$-1＜a＜0$，化简：
答案
原式$=\sqrt{(a - \dfrac{1}{a})^2} - \sqrt{(a + \dfrac{1}{a})^2}$. $\because -1 ＜ a ＜ 0$，$\therefore \dfrac{1}{a} ＜ 0$，且$\left|\dfrac{1}{a}\right| ＞ |a|$. $\therefore \sqrt{(a - \dfrac{1}{a})^2} - \sqrt{(a + \dfrac{1}{a})^2} = a - \dfrac{1}{a} - (-a - \dfrac{1}{a})=a - \dfrac{1}{a} + a + \dfrac{1}{a}=2a$
解析
【分析】
要化简该二次根式式子，第一步先观察根号内的多项式结构，其符合完全平方公式的特征，可先将根号内的式子配方为完全平方形式；第二步根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为含绝对值的式子；第三步结合给定的$a$的取值范围，判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：先对根号内的式子配方：
原式$=\sqrt{(a - \dfrac{1}{a})^2} - \sqrt{(a + \dfrac{1}{a})^2}$
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
原式$=\left|a - \dfrac{1}{a}\right| - \left|a + \dfrac{1}{a}\right|$
已知$-1 ＜ a ＜ 0$，则$\dfrac{1}{a} ＜ -1 ＜ 0$，且$\left|\dfrac{1}{a}\right| ＞ |a|$：
1. 对于$a - \dfrac{1}{a}$：两个负数比较大小，绝对值小的数更大，因此$a ＞ \dfrac{1}{a}$，即$a - \dfrac{1}{a} ＞ 0$，故$\left|a - \dfrac{1}{a}\right|=a - \dfrac{1}{a}$；
2. 对于$a + \dfrac{1}{a}$：两个负数相加，和为负数，因此$a + \dfrac{1}{a} ＜ 0$，故$\left|a + \dfrac{1}{a}\right|=-(a + \dfrac{1}{a})=-a - \dfrac{1}{a}$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=a - \dfrac{1}{a} - (-a - \dfrac{1}{a})\\&=a - \dfrac{1}{a} + a + \dfrac{1}{a}\\&=2a\end{aligned}$
【答案】
$2a$
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简的经典题型，解题核心是先通过配方将根号内的式子转化为完全平方形式，再结合字母的取值范围准确判断绝对值内式子的正负，避免忽略取值范围直接去根号导致符号错误。
【难度系数】
0.6
要化简该二次根式式子，第一步先观察根号内的多项式结构，其符合完全平方公式的特征，可先将根号内的式子配方为完全平方形式；第二步根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为含绝对值的式子；第三步结合给定的$a$的取值范围，判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：先对根号内的式子配方：
原式$=\sqrt{(a - \dfrac{1}{a})^2} - \sqrt{(a + \dfrac{1}{a})^2}$
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
原式$=\left|a - \dfrac{1}{a}\right| - \left|a + \dfrac{1}{a}\right|$
已知$-1 ＜ a ＜ 0$，则$\dfrac{1}{a} ＜ -1 ＜ 0$，且$\left|\dfrac{1}{a}\right| ＞ |a|$：
1. 对于$a - \dfrac{1}{a}$：两个负数比较大小，绝对值小的数更大，因此$a ＞ \dfrac{1}{a}$，即$a - \dfrac{1}{a} ＞ 0$，故$\left|a - \dfrac{1}{a}\right|=a - \dfrac{1}{a}$；
2. 对于$a + \dfrac{1}{a}$：两个负数相加，和为负数，因此$a + \dfrac{1}{a} ＜ 0$，故$\left|a + \dfrac{1}{a}\right|=-(a + \dfrac{1}{a})=-a - \dfrac{1}{a}$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=a - \dfrac{1}{a} - (-a - \dfrac{1}{a})\\&=a - \dfrac{1}{a} + a + \dfrac{1}{a}\\&=2a\end{aligned}$
【答案】
$2a$
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简的经典题型，解题核心是先通过配方将根号内的式子转化为完全平方形式，再结合字母的取值范围准确判断绝对值内式子的正负，避免忽略取值范围直接去根号导致符号错误。
【难度系数】
0.6
