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1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AD$是$BC$边上的高，$E$是$BC$的中点，连结$AE$，则图中的直角三角形共有 （
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先明确直角三角形的判定依据：有一个内角是直角的三角形就是直角三角形。首先从题干给出的已知条件找直角：第一个已知∠BAC=90°，可先确定对应三角形；再根据AD是BC边上的高，可得AD与BC垂直，产生两个直角∠ADB、∠ADC，再依次找出包含这两个直角的所有三角形，逐一计数，避免漏数或多数即可。
【解析】
解：根据直角三角形的定义判断：
1. 已知$∠BAC=90°$，因此$△ ABC$是直角三角形；
2. 因为AD是BC边上的高，所以$AD⊥BC$，可得$∠ADB=∠ADE=∠ADC=90°$；
3. 包含$∠ADB$的直角三角形为$△ ABD$；
4. 包含$∠ADE$的直角三角形为$△ ADE$；
5. 包含$∠ADC$的直角三角形为$△ ADC$。
综上，图中共有$△ ABC$、$△ ABD$、$△ ADE$、$△ ADC$4个直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的判定，三角形高的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是熟练掌握直角三角形的定义，结合图形的垂直条件按顺序计数即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时先明确直角三角形的判定依据：有一个内角是直角的三角形就是直角三角形。首先从题干给出的已知条件找直角：第一个已知∠BAC=90°，可先确定对应三角形；再根据AD是BC边上的高，可得AD与BC垂直，产生两个直角∠ADB、∠ADC，再依次找出包含这两个直角的所有三角形，逐一计数，避免漏数或多数即可。
【解析】
解：根据直角三角形的定义判断：
1. 已知$∠BAC=90°$，因此$△ ABC$是直角三角形；
2. 因为AD是BC边上的高，所以$AD⊥BC$，可得$∠ADB=∠ADE=∠ADC=90°$；
3. 包含$∠ADB$的直角三角形为$△ ABD$；
4. 包含$∠ADE$的直角三角形为$△ ADE$；
5. 包含$∠ADC$的直角三角形为$△ ADC$。
综上，图中共有$△ ABC$、$△ ABD$、$△ ADE$、$△ ADC$4个直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的判定，三角形高的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是熟练掌握直角三角形的定义，结合图形的垂直条件按顺序计数即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
2. 在$△ ABC$中，满足下列条件：①$∠ A=60°$，$∠ C=30°$；②$∠ A+∠ B=∠ C$；③$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$；④$∠ A=90°-∠ C$. 其中能确定$△ ABC$是直角三角形的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.C
解析
【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，核心依据是三角形内角和为180°，且直角三角形有一个内角等于90°。我们只需对每个给出的条件，结合内角和定理计算三个内角的度数，判断是否存在90°的角即可。
【解析】
我们逐个分析4个条件：
1. 条件①：已知∠A=60°，∠C=30°，根据三角形内角和为180°，得∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-30°=90°，因此△ABC是直角三角形，符合要求。
2. 条件②：已知∠A+∠B=∠C，结合∠A+∠B+∠C=180°，将∠A+∠B替换为∠C，可得∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，因此△ABC是直角三角形，符合要求。
3. 条件③：已知∠A:∠B:∠C=3:4:5，总份数为3+4+5=12，每份对应角度为180°÷12=15°，因此三个角分别为3×15°=45°，4×15°=60°，5×15°=75°，没有90°的角，因此△ABC不是直角三角形，不符合要求。
4. 条件④：已知∠A=90°-∠C，移项得∠A+∠C=90°，因此∠B=180°-(∠A+∠C)=180°-90°=90°，因此△ABC是直角三角形，符合要求。
综上，符合要求的条件有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，解题关键是熟练运用三角形内角和定理计算角度，注意不要将角度比和边长比混淆，避免出现惯性思维错误。
【难度系数】
0.7
要判断△ABC是否为直角三角形，核心依据是三角形内角和为180°，且直角三角形有一个内角等于90°。我们只需对每个给出的条件，结合内角和定理计算三个内角的度数，判断是否存在90°的角即可。
【解析】
我们逐个分析4个条件：
1. 条件①：已知∠A=60°，∠C=30°，根据三角形内角和为180°，得∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-30°=90°，因此△ABC是直角三角形，符合要求。
2. 条件②：已知∠A+∠B=∠C，结合∠A+∠B+∠C=180°，将∠A+∠B替换为∠C，可得∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，因此△ABC是直角三角形，符合要求。
3. 条件③：已知∠A:∠B:∠C=3:4:5，总份数为3+4+5=12，每份对应角度为180°÷12=15°，因此三个角分别为3×15°=45°，4×15°=60°，5×15°=75°，没有90°的角，因此△ABC不是直角三角形，不符合要求。
4. 条件④：已知∠A=90°-∠C，移项得∠A+∠C=90°，因此∠B=180°-(∠A+∠C)=180°-90°=90°，因此△ABC是直角三角形，符合要求。
综上，符合要求的条件有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，解题关键是熟练运用三角形内角和定理计算角度，注意不要将角度比和边长比混淆，避免出现惯性思维错误。
【难度系数】
0.7
3.已知等腰直角三角形的斜边长为8，则该三角形的面积为
16
。答案
3.16
解析
【分析】
遇到已知等腰直角三角形斜边长求面积的问题，我们可以从两个方向思考：①利用勾股定理：等腰直角三角形两条直角边长度相等，可先设直角边长为a，根据勾股定理求出a²的值，再代入三角形面积公式计算，无需单独求出a的具体值，可简化计算；②利用等腰直角三角形的特殊性质：等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，直接用“底×高÷2”计算面积。
【解析】
方法一：设该等腰直角三角形的直角边长为a。
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$a^2 + a^2 = 8^2$
合并同类项得：$2a^2 = 64$，即$a^2 = 32$。
三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，此处底和高均为直角边a，因此：
$S=\frac{1}{2}×a×a=\frac{1}{2}a^2$
将$a^2=32$代入得：$S=\frac{1}{2}×32=16$。
方法二：等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，因此该三角形斜边上的高为$8÷2=4$。
将斜边作为底，根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×8×4=16$。
【答案】
16
【知识点】
等腰直角三角形的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对等腰直角三角形相关性质的掌握和灵活应用，解题时可选择更简便的方法，通过整体代入或利用特殊性质减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.85
遇到已知等腰直角三角形斜边长求面积的问题，我们可以从两个方向思考：①利用勾股定理：等腰直角三角形两条直角边长度相等，可先设直角边长为a，根据勾股定理求出a²的值，再代入三角形面积公式计算，无需单独求出a的具体值，可简化计算；②利用等腰直角三角形的特殊性质：等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，直接用“底×高÷2”计算面积。
【解析】
方法一：设该等腰直角三角形的直角边长为a。
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$a^2 + a^2 = 8^2$
合并同类项得：$2a^2 = 64$，即$a^2 = 32$。
三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，此处底和高均为直角边a，因此：
$S=\frac{1}{2}×a×a=\frac{1}{2}a^2$
将$a^2=32$代入得：$S=\frac{1}{2}×32=16$。
方法二：等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，因此该三角形斜边上的高为$8÷2=4$。
将斜边作为底，根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×8×4=16$。
【答案】
16
【知识点】
等腰直角三角形的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对等腰直角三角形相关性质的掌握和灵活应用，解题时可选择更简便的方法，通过整体代入或利用特殊性质减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.85
4.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ B=30°,AB$的垂直平分线$ED$交$AB$于点$E$,交$BC$于点$D$.若$CD=3$,则$BD$的长为
6
.答案
4.6
解析
【分析】
解题时首先观察到ED是AB的垂直平分线，可联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此连接辅助线AD，可得AD=BD，将求BD的长度转化为求AD的长度。接下来结合等腰三角形等边对等角的性质，可得∠BAD=∠B=30°；再根据直角三角形两锐角互余，算出△ABC中∠BAC=60°，进而推出∠DAC=30°；最后在Rt△ADC中，利用30°角所对的直角边等于斜边一半的性质，即可求出AD的长度，也就得到了BD的长。
【解析】
解：连接AD，
∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD = BD，
∴∠BAD = ∠B = 30°，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°，
∴∠DAC = ∠BAC - ∠BAD = 60° - 30° = 30°，
∵在Rt△ADC中，∠C=90°，∠DAC=30°，
∴CD = $\frac{1}{2}$AD，
∴AD = 2CD = 2×3 = 6，
又
∵AD = BD，
∴BD = 6。
【答案】
6
【知识点】
线段垂直平分线的性质；直角三角形30°角的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是通过作辅助线AD将未知线段和已知线段建立联系，解题过程中用到的都是几何基础性质，熟练掌握相关性质的应用即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到ED是AB的垂直平分线，可联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此连接辅助线AD，可得AD=BD，将求BD的长度转化为求AD的长度。接下来结合等腰三角形等边对等角的性质，可得∠BAD=∠B=30°；再根据直角三角形两锐角互余，算出△ABC中∠BAC=60°，进而推出∠DAC=30°；最后在Rt△ADC中，利用30°角所对的直角边等于斜边一半的性质，即可求出AD的长度，也就得到了BD的长。
【解析】
解：连接AD，
∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD = BD，
∴∠BAD = ∠B = 30°，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°，
∴∠DAC = ∠BAC - ∠BAD = 60° - 30° = 30°，
∵在Rt△ADC中，∠C=90°，∠DAC=30°，
∴CD = $\frac{1}{2}$AD，
∴AD = 2CD = 2×3 = 6，
又
∵AD = BD，
∴BD = 6。
【答案】
6
【知识点】
线段垂直平分线的性质；直角三角形30°角的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是通过作辅助线AD将未知线段和已知线段建立联系，解题过程中用到的都是几何基础性质，熟练掌握相关性质的应用即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图，已知$CD// AE$，$∠ DCA$与$∠ CAE$的平分线相交于点$B$. 判断$△ ABC$是否直角三角形，并证明你的结论. 
答案
5.$△ABC$为直角三角形 证明略
解析
【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，只需证明该三角形有一个内角为90°即可。首先根据CD//AE，利用平行线的性质可得∠DCA与∠CAE互补，和为180°；再结合角平分线的定义，可推出△ABC中∠BCA与∠BAC的和为90°；最后根据三角形内角和定理即可求出∠B的度数，进而判断三角形的形状。
【解析】
△ABC是直角三角形，证明如下：
∵ CD//AE
∴ ∠DCA + ∠CAE = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵ CB平分∠DCA，AB平分∠CAE
∴ ∠BCA = $\frac{1}{2}$∠DCA，∠BAC = $\frac{1}{2}$∠CAE
∴ ∠BCA + ∠BAC = $\frac{1}{2}$(∠DCA + ∠CAE) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°
在△ABC中，∠B = 180° - (∠BCA + ∠BAC) = 180° - 90° = 90°
∴ △ABC是直角三角形
【答案】
△ABC是直角三角形
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心是将平行线的性质、角平分线的定义与三角形内角和定理结合运用，解题的关键是推导出两个锐角的和为90°，这类题型能够很好地考查学生对基础几何定理的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断△ABC是否为直角三角形，只需证明该三角形有一个内角为90°即可。首先根据CD//AE，利用平行线的性质可得∠DCA与∠CAE互补，和为180°；再结合角平分线的定义，可推出△ABC中∠BCA与∠BAC的和为90°；最后根据三角形内角和定理即可求出∠B的度数，进而判断三角形的形状。
【解析】
△ABC是直角三角形，证明如下：
∵ CD//AE
∴ ∠DCA + ∠CAE = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵ CB平分∠DCA，AB平分∠CAE
∴ ∠BCA = $\frac{1}{2}$∠DCA，∠BAC = $\frac{1}{2}$∠CAE
∴ ∠BCA + ∠BAC = $\frac{1}{2}$(∠DCA + ∠CAE) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°
在△ABC中，∠B = 180° - (∠BCA + ∠BAC) = 180° - 90° = 90°
∴ △ABC是直角三角形
【答案】
△ABC是直角三角形
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心是将平行线的性质、角平分线的定义与三角形内角和定理结合运用，解题的关键是推导出两个锐角的和为90°，这类题型能够很好地考查学生对基础几何定理的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
6.在图中找出所有的格点C,使△ABC为等腰直角三角形,并指出这样的点C有几个(格点:图案中小正方形的顶点叫做格点)?
答案
6.这样的点C有6个
解析
【分析】
要找出所有满足条件的格点C，需按等腰直角三角形的直角顶点位置分类讨论：1. 直角顶点为点A，此时AB为直角边，AC⊥AB且AC=AB；2. 直角顶点为点B，此时AB为直角边，BC⊥AB且BC=AB；3. 直角顶点为点C，此时AB为斜边，满足AC=BC且∠ACB=90°。分别在网格中排查符合要求的格点，避免漏解或重复计数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由图可知A、B在同一水平线上，AB的长度为4。
1. 当AB为直角边、A为直角顶点时：过A作AB的垂线（竖直线），在垂线上找到与A距离为4的格点，共2个（AB上方1个，下方1个）；
2. 当AB为直角边、B为直角顶点时：过B作AB的垂线（竖直线），在垂线上找到与B距离为4的格点，共2个（AB上方1个，下方1个）；
3. 当AB为斜边时：直角顶点C在AB的垂直平分线上，且到AB的距离为AB长度的一半（即2），在垂直平分线上找到符合要求的格点，共2个（AB上方1个，下方1个）。
综上，符合条件的点C共有2+2+2=6个。
【答案】
这样的点C有6个
【知识点】
1. 等腰直角三角形的判定 2. 分类讨论思想 3. 勾股定理的应用
【点评】
本题是网格类几何的典型题型，解题核心是按照直角顶点的不同位置分类讨论，逐一排查符合条件的格点，需注意避免遗漏AB作为斜边的情况，有助于培养思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
要找出所有满足条件的格点C，需按等腰直角三角形的直角顶点位置分类讨论：1. 直角顶点为点A，此时AB为直角边，AC⊥AB且AC=AB；2. 直角顶点为点B，此时AB为直角边，BC⊥AB且BC=AB；3. 直角顶点为点C，此时AB为斜边，满足AC=BC且∠ACB=90°。分别在网格中排查符合要求的格点，避免漏解或重复计数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由图可知A、B在同一水平线上，AB的长度为4。
1. 当AB为直角边、A为直角顶点时：过A作AB的垂线（竖直线），在垂线上找到与A距离为4的格点，共2个（AB上方1个，下方1个）；
2. 当AB为直角边、B为直角顶点时：过B作AB的垂线（竖直线），在垂线上找到与B距离为4的格点，共2个（AB上方1个，下方1个）；
3. 当AB为斜边时：直角顶点C在AB的垂直平分线上，且到AB的距离为AB长度的一半（即2），在垂直平分线上找到符合要求的格点，共2个（AB上方1个，下方1个）。
综上，符合条件的点C共有2+2+2=6个。
【答案】
这样的点C有6个
【知识点】
1. 等腰直角三角形的判定 2. 分类讨论思想 3. 勾股定理的应用
【点评】
本题是网格类几何的典型题型，解题核心是按照直角顶点的不同位置分类讨论，逐一排查符合条件的格点，需注意避免遗漏AB作为斜边的情况，有助于培养思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
