7. 把等边三角形ABC的一边AB延长一倍到D，则△ADC是 （）

A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.不能确定

7.B

【分析】
解题时先从已知条件等边三角形入手，回忆等边三角形的核心性质：三边相等、每个内角为60°。第一步，根据“AB延长一倍到D”，得到AB=BD，结合等边三角形AB=BC的结论，可推出BC=BD，由此判定△BCD为等腰三角形；第二步，利用邻补角关系求出△BCD的顶角∠CBD的度数，再根据等腰三角形两底角相等的性质算出底角∠ADC的度数；最后在△ADC中用三角形内角和定理计算第三个角的度数，即可判断三角形形状。
【解析】
已知△ABC是等边三角形，因此：
AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°
∵ AB延长一倍到D，即点D在AB的延长线上，且AB=BD
∴ BD=BC，∠CBD=180°-∠ABC=180°-60°=120°
在等腰△BCD中，∠BDC=∠BCD=(180°-∠CBD)÷2=(180°-120°)÷2=30°
在△ADC中：
∠ACD=180°-∠BAC-∠BDC=180°-60°-30°=90°
因此△ADC是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题的关键是抓住延长线段得到的等长关系，结合等腰、等边三角形的角度性质计算，属于对三角形基础性质应用的常规考察题型。
【难度系数】
0.7

▲8.三个边长为1的小正方形按如图方式叠放在一起，点A,B,C都在小正方形的顶点上，那么∠BAC的度数为。（第8题）

8.$45°$

【分析】
要求∠BAC的度数，我们可以先通过勾股定理计算△ABC三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，结合边长关系推导角度。第一步：设每个小正方形边长为1，分别计算AB、AC、BC三边的平方；第二步：验证三边是否满足勾股定理的逆定理，判断是否为直角三角形；第三步：观察相等的边，判断是否为等腰直角三角形，进而求出∠BAC的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边长度的平方：
1. 计算AC的长度：$AC^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$，即$AC=\sqrt{5}$；
2. 计算BC的长度：$BC^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$，即$BC=\sqrt{5}$；
3. 计算AB的长度：$AB^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$。
由上述计算可得：$AC^2 + BC^2 = 5 + 5 = 10 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
又因为$AC=BC=\sqrt{5}$，所以$△ ABC$是等腰直角三角形，因此$∠ BAC = \frac{180° - 90°}{2} = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是网格中角度计算的典型题型，解题的核心是借助勾股定理量化三角形的边长，通过边长关系判断三角形形状，进而得到对应角度，解题时优先计算边长平方可简化运算。
【难度系数】
0.7

9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ B=45°$,边$BC$在直线$l$上.以点$C$为旋转中心,将直线$l$顺时针旋转到直线$l'$,交$AB$于点$E$,以$CE$为直角边作直角$△ CEF$,使$∠ CEF=90°$,$∠ ECF=30°$,点$F$和点$A$始终在直线$l'$的同侧.设$∠ BCE=α(0°＜α＜90°)$.
(1)当$CE⊥ AB$时,$α=$.
(2)当$α=20°$时,$∠ AEF=$.
(3)当$∠ AEF=30°$时,求$α$的大小.
(4)当$△ CEF$与$△ ABC$重叠部分为直角三角形时,直接写出$α$的取值范围.

9.(1)$45°$ (2)$25°$
(3)当$∠ AEF=30°$时,$∠ AEC=∠ CEF-∠ AEF=90°-30°=60°$,
$\because ∠ AEC=∠ B+∠ BCE,\therefore 60°=45°+α,\therefore α=15°$
(4)过点$C$作$CH⊥ AB$,$\because$在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ B=45°$,
$\therefore △ ABC$为等腰直角三角形,$\therefore ∠ BCH=45°$,
又$\because ∠ CEF=90°$,$\therefore$有三种情况讨论如下：
①,当点$E$在线段$BH$上时,点$F$在$△ ABC$的外部,
$\because$当$△ CEF$与$△ ABC$重叠部分为直角三角形时,$CF$与$CH$重合,
$\because ∠ ECF=30°$,$\therefore α=∠ BCE=∠ BCH-∠ ECF=45°-30°=15°$
②,当点$E$与点$H$重合时,点$F$落在$AB$上,此时$△ CEF$与$△ ABC$重叠部分为$△ CEF$,$\therefore α=∠ BCH=45°$
③当点$E$在线段$HA$上时,此时$△ CEF$与$△ ABC$重叠部分为$△ CEF$或$△ CEF$的一部分,$\therefore 45°＜α＜90°$,
综上所述,当$△ CEF$与$△ ABC$重叠部分为直角三角形时,$α$的取值范围为$α=15°$或$45°≤α＜90°$

【分析】
(1) 第一问已知CE垂直AB，△ABC中∠B=45°，在Rt△BEC中利用直角三角形两锐角互余，即可求出∠BCE也就是α的度数。
(2) 第二问已知α=20°，先利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，求出∠AEC的度数，再结合∠CEF=90°，即可求出∠AEF的度数。
(3) 第三问已知∠AEF=30°，先结合∠CEF=90°求出∠AEC的度数，再利用三角形外角的性质建立关于α的等式，求解即可得到α的值。
(4) 第四问先作CH⊥AB，由△ABC是等腰直角三角形可得∠BCH=45°，再根据点E在AB上的位置分三种情况讨论：①点E在线段BH上时，②点E与点H重合时，③点E在线段HA上时，分别求出对应情况下α的取值或范围，最后汇总结果即可。
【解析】
(1) 当CE⊥AB时，∠BEC=90°，
在△BEC中，∠B=45°，根据三角形内角和为180°，
得∠BCE=180°-∠BEC-∠B=180°-90°-45°=45°，即α=45°。
(2) 当α=20°时，∠AEC是△BCE的外角，
根据三角形外角性质，得∠AEC=∠B+∠BCE=45°+20°=65°，
∵∠CEF=90°，
∴∠AEF=∠CEF-∠AEC=90°-65°=25°。
(3) 当∠AEF=30°时，
∵∠CEF=90°，
∴∠AEC=∠CEF-∠AEF=90°-30°=60°，
又
∵∠AEC是△BCE的外角，
∴∠AEC=∠B+∠BCE，即60°=45°+α，
解得α=15°。
(4) 过点C作CH⊥AB，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BCH=45°，
又
∵∠CEF=90°，分三种情况讨论：
①，当点E在线段BH上时，点F在△ABC的外部，
若△CEF与△ABC重叠部分为直角三角形，则CF与CH重合，
∵∠ECF=30°，
∴α=∠BCE=∠BCH-∠ECF=45°-30°=15°；
②，当点E与点H重合时，点F落在AB上，此时△CEF与△ABC重叠部分为△CEF，
∴α=∠BCH=45°；
③当点E在线段HA上时，此时△CEF与△ABC重叠部分为△CEF或△CEF的一部分，
∴45°＜α＜90°。
综上，α的取值范围为α=15°或45°≤α＜90°。
【答案】
(1)$45°$
(2)$25°$
(3)当$∠ AEF=30°$时,$∠ AEC=∠ CEF-∠ AEF=90°-30°=60°$,
$\because ∠ AEC=∠ B+∠ BCE,\therefore 60°=45°+α,\therefore α=15°$
(4)过点$C$作$CH⊥ AB$,$\because$在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ B=45°$,
$\therefore △ ABC$为等腰直角三角形,$\therefore ∠ BCH=45°$,
又$\because ∠ CEF=90°$,$\therefore$有三种情况讨论如下：
①,当点$E$在线段$BH$上时,点$F$在$△ ABC$的外部,
$\because$当$△ CEF$与$△ ABC$重叠部分为直角三角形时,$CF$与$CH$重合,
$\because ∠ ECF=30°$,$\therefore α=∠ BCE=∠ BCH-∠ ECF=45°-30°=15°$
②,当点$E$与点$H$重合时,点$F$落在$AB$上,此时$△ CEF$与$△ ABC$重叠部分为$△ CEF$,$\therefore α=∠ BCH=45°$
③当点$E$在线段$HA$上时,此时$△ CEF$与$△ ABC$重叠部分为$△ CEF$或$△ CEF$的一部分,$\therefore 45°＜α＜90°$,
综上所述,当$△ CEF$与$△ ABC$重叠部分为直角三角形时,$α$的取值范围为$α=15°$或$45°≤α＜90°$
【知识点】
等腰直角三角形性质；三角形外角性质；分类讨论思想
【点评】
本题结合旋转变化考查直角三角形的相关性质，解题时需灵活运用三角形内角和、外角定理求解角度，对于重叠部分的图形需结合点的位置分情况讨论，要注意考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6

10. 在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，方法是(如图)：画线段AB，分别以点A，B为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧相交于点C，连结AC；再以点C为圆心，以AC长为半径画弧，交AC延长线于点D，连结DB.则$△ ABD$就是直角三角形.
(1)请你说明其中的道理.
★(2)请利用上述方法作一个直角三角形，使其一个锐角为$30°$(不写作法，保留作图痕迹).

(1) 解：
由作图方法可知：
分别以点A，B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧交于点C，因此 $AC=BC$；
再以点C为圆心，$AC$ 长为半径画弧交$AC$延长线于点D，因此 $AC=CD$。
由此可得 $AC=BC=CD$，即：
- $△ ABC$ 中，$AC=BC$，故 $∠ A = ∠ ABC$；
- $△ BCD$ 中，$BC=CD$，故 $∠ D = ∠ CBD$。
在$△ ABD$中，根据三角形内角和定理：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ D + ∠ CBD = 180°$
将$∠ A = ∠ ABC$、$∠ D = ∠ CBD$代入得：
$2∠ ABC + 2∠ CBD = 180°$
化简得 $∠ ABC + ∠ CBD = 90°$，即 $∠ ABD = 90°$，因此 $△ ABD$ 是直角三角形。
(2) 作图说明：
1. 作线段$AB$，使$AB$的长度等于所求直角三角形的一条直角边；
2. 分别以点$A$、$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧交于点$C$，此时$AC=BC$；
3. 以点$C$为圆心，$AC$长为半径画弧，在远离点$A$的一侧交$AC$的延长线于点$D$，满足$AC=CD=BC$；
4. 连接$BD$，得到的$\mathrm{Rt}△ ABD$中，直角边$AB=\frac{1}{2}AD$，因此$∠ D=30°$，即为所求的含$30°$锐角的直角三角形，保留所有作图的弧痕即可。

【分析】
(1) 要证明$△ ABD$是直角三角形，核心是推导$∠ ABD=90°$。首先从作图步骤中提取线段等量关系：第一步作弧可得$AC=BC$，第二步作弧可得$AC=CD$，因此$AC=BC=CD$。再结合等腰三角形“等边对等角”的性质得到两组等角，最后代入三角形内角和公式，即可推导出$∠ ABD$为直角。
(2) 要作含$30°$锐角的直角三角形，可利用直角三角形的性质：$30°$角所对的直角边等于斜边的一半。因此只需让所作直角三角形的一条直角边等于斜边的$\frac{1}{2}$，作图时令第一步的线段$AB$与$AC$长度相等，即可满足$AB=\frac{1}{2}AD$，对应的$∠ D$就是$30°$。
【解析】
(1) 由作图方法可知：
分别以点$A$，$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧交于点$C$，因此 $AC=BC$；
再以点$C$为圆心，$AC$ 长为半径画弧交$AC$延长线于点$D$，因此 $AC=CD$。
由此可得 $AC=BC=CD$，即：
$△ ABC$中，$AC=BC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ A = ∠ ABC$；
$△ BCD$中，$BC=CD$，同理得$∠ D = ∠ CBD$。
在$△ ABD$中，根据三角形内角和定理：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ D + ∠ CBD = 180°$
将$∠ A = ∠ ABC$、$∠ D = ∠ CBD$代入得：
$2∠ ABC + 2∠ CBD = 180°$
化简得 $∠ ABC + ∠ CBD = 90°$，即 $∠ ABD = 90°$，因此 $△ ABD$ 是直角三角形。
(2) 作图方法：
1. 作线段$AB$，使$AB$的长度等于所求$30°$角所对的直角边长度；
2. 分别以点$A$、$B$为圆心，$AB$长为半径画弧，两弧交于点$C$，此时$AC=BC=AB$；
3. 以点$C$为圆心，$AC$长为半径画弧，在远离点$A$的一侧交$AC$的延长线于点$D$，此时$AD=2AC=2AB$；
4. 连接$BD$，所得$\mathrm{Rt}△ ABD$中$∠ D=30°$，保留所有作图弧痕即可。
【答案】
(1) 通过作图得$AC=BC=CD$，结合等腰三角形性质和三角形内角和定理可证$∠ ABD=90°$，故$△ ABD$是直角三角形；
(2) 按上述方法作图，保留作图痕迹，所得$△ ABD$即为含$30°$锐角的直角三角形。
【知识点】
等腰三角形性质；三角形内角和定理；尺规作图
【点评】
本题将尺规作图与几何证明相结合，既考查了从作图步骤中提取几何等量关系的能力，也考查了等腰三角形、三角形内角和、直角三角形性质的综合运用，第二问需要逆向运用直角三角形$30°$角的性质设计作图，能有效锻炼逻辑推理和实践操作能力。
【难度系数】
0.7