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7.定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是
两个角相等的三角形是等腰三角形
.答案
7.两个角相等的三角形是等腰三角形
解析
【分析】
要得到一个定理的逆定理，首先需要明确逆定理的定义：将原定理的条件和结论互换，若得到的新命题是真命题，则该新命题就是原定理的逆定理。解题第一步先把原定理改写为“如果……那么……”的形式，拆分出条件和结论，再互换两者，验证得到的命题为真后，整理为通顺简洁的表述即可。
【解析】
首先将原定理“等腰三角形的两个底角相等”改写为标准的条件+结论形式：
如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等。
拆分得：
题设（条件）：一个三角形是等腰三角形
结论：这个三角形的两个底角相等
将题设和结论互换，得到新命题：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
该命题已被证明为真命题，因此就是原定理的逆定理，简化表述为：两个角相等的三角形是等腰三角形。
【答案】
两个角相等的三角形是等腰三角形
【知识点】
逆定理的概念、等腰三角形的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握逆定理的求解方法，易错点是拆分原命题的条件和结论时出错，或忽略逆命题需要为真命题的要求。
【难度系数】
0.8
要得到一个定理的逆定理，首先需要明确逆定理的定义：将原定理的条件和结论互换，若得到的新命题是真命题，则该新命题就是原定理的逆定理。解题第一步先把原定理改写为“如果……那么……”的形式，拆分出条件和结论，再互换两者，验证得到的命题为真后，整理为通顺简洁的表述即可。
【解析】
首先将原定理“等腰三角形的两个底角相等”改写为标准的条件+结论形式：
如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等。
拆分得：
题设（条件）：一个三角形是等腰三角形
结论：这个三角形的两个底角相等
将题设和结论互换，得到新命题：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
该命题已被证明为真命题，因此就是原定理的逆定理，简化表述为：两个角相等的三角形是等腰三角形。
【答案】
两个角相等的三角形是等腰三角形
【知识点】
逆定理的概念、等腰三角形的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握逆定理的求解方法，易错点是拆分原命题的条件和结论时出错，或忽略逆命题需要为真命题的要求。
【难度系数】
0.8
▲8.我们学习了很多定理,例如:①两直线平行,同位角相等;②全等三角形的对应角相等;③等腰三角形的两个底角相等;④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等.在上述定理中,存在逆定理的是
①③④⑤
(填序号).答案
8.①③④⑤
解析
【分析】
要判断定理是否存在逆定理，首先要明确逆定理的判定规则：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么这个逆命题就是原定理的逆定理。解题时我们先逐个写出每个定理的逆命题，再判断逆命题的真假，逆命题为真的对应原定理就存在逆定理，反之则不存在。
【解析】
先明确逆定理的判定标准：定理的逆命题为真命题时，该定理存在逆定理，逐个分析如下：
①原定理：两直线平行，同位角相等。逆命题为“同位角相等，两直线平行”，是平行线的判定定理，属于真命题，故①存在逆定理。
②原定理：全等三角形的对应角相等。逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，仅对应角相等的三角形只能证明是相似三角形，不一定全等，逆命题是假命题，故②不存在逆定理。
③原定理：等腰三角形的两个底角相等。逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，是等腰三角形的判定定理，属于真命题，故③存在逆定理。
④原定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。逆命题为“到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，是线段垂直平分线的判定定理，属于真命题，故④存在逆定理。
⑤原定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。逆命题为“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，是角平分线的判定定理，属于真命题，故⑤存在逆定理。
综上，存在逆定理的是①③④⑤。
【答案】
①③④⑤
【知识点】
逆命题与逆定理；平行线性质与判定；特殊几何线性质判定
【点评】
本题重点考查逆定理的判断逻辑，解题核心是掌握逆命题的写法和真假命题的判断方法，需要同学们熟练区分常见几何定理的性质和判定的对应关系，尤其要注意全等三角形和相似三角形的判定差异，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.7
要判断定理是否存在逆定理，首先要明确逆定理的判定规则：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么这个逆命题就是原定理的逆定理。解题时我们先逐个写出每个定理的逆命题，再判断逆命题的真假，逆命题为真的对应原定理就存在逆定理，反之则不存在。
【解析】
先明确逆定理的判定标准：定理的逆命题为真命题时，该定理存在逆定理，逐个分析如下：
①原定理：两直线平行，同位角相等。逆命题为“同位角相等，两直线平行”，是平行线的判定定理，属于真命题，故①存在逆定理。
②原定理：全等三角形的对应角相等。逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，仅对应角相等的三角形只能证明是相似三角形，不一定全等，逆命题是假命题，故②不存在逆定理。
③原定理：等腰三角形的两个底角相等。逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，是等腰三角形的判定定理，属于真命题，故③存在逆定理。
④原定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。逆命题为“到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，是线段垂直平分线的判定定理，属于真命题，故④存在逆定理。
⑤原定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。逆命题为“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，是角平分线的判定定理，属于真命题，故⑤存在逆定理。
综上，存在逆定理的是①③④⑤。
【答案】
①③④⑤
【知识点】
逆命题与逆定理；平行线性质与判定；特殊几何线性质判定
【点评】
本题重点考查逆定理的判断逻辑，解题核心是掌握逆命题的写法和真假命题的判断方法，需要同学们熟练区分常见几何定理的性质和判定的对应关系，尤其要注意全等三角形和相似三角形的判定差异，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.7
9. 如图，$△ ABC$是等边三角形.
(1)D，E分别为BC，AC上一点，AD，BE交于F，且$∠ AFE=60°$.求证:$AD=BE$.
(2)第(1)题的逆命题成立吗？若成立，请证明；若不成立，请用反例说明.
(1)D，E分别为BC，AC上一点，AD，BE交于F，且$∠ AFE=60°$.求证:$AD=BE$.
(2)第(1)题的逆命题成立吗？若成立，请证明；若不成立，请用反例说明.
答案
9.(1)证明略 (2)第(1)题的逆命题不成立 证明略
解析
【分析】
(1) 要证AD=BE，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先利用等边三角形的性质得到边相等、角为60°，再结合∠AFE=60°，利用三角形外角的性质推导角相等，即可证明△ABD和△BCE全等，得到对应边AD=BE。
(2) 先写出原命题的逆命题：若D在BC上、E在AC上，AD与BE交于点F且AD=BE，那么∠AFE=60°。要判断逆命题的真假，可构造反例：以B为圆心、AD的长度为半径画弧，和AC所在直线有两个交点，仅其中一个交点能满足∠AFE=60°，另一个交点对应的BE长度等于AD，但夹角不等于60°，因此逆命题不成立。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=∠ABC=60°。
∵∠AFE是△ABF的外角，
∴∠AFE=∠BAD+∠ABF=60°，
又
∵∠ABF+∠CBE=∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠CBE（等量代换）。
在△ABD和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠CBE \\AB=BC \\∠ABD=∠C\end{array} $
∴△ABD≌△BCE（ASA），
∴AD=BE。
(2) 第(1)题的逆命题为：若D在BC上，E在AC上，AD、BE交于点F，且AD=BE，那么∠AFE=60°。
该逆命题不成立，反例：以点B为圆心，AD的长度为半径作弧，与AC所在直线交于两个点，其中一个点是满足(1)中条件的E，另一个点记为E'，此时BE'=AD，但BE'与AD的夹角∠AF'E'≠60°，因此逆命题不成立。
【答案】
(1)证明略
(2)第(1)题的逆命题不成立 证明略
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，逆命题的判断
【点评】
本题综合考查了等边三角形性质、全等三角形的证明以及逆命题真假的判断，证明线段相等常转化为证明线段所在三角形全等，判断假命题只需举出一个反例即可，解题时需要灵活运用角的等量代换推导关系。
【难度系数】
0.7
(1) 要证AD=BE，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先利用等边三角形的性质得到边相等、角为60°，再结合∠AFE=60°，利用三角形外角的性质推导角相等，即可证明△ABD和△BCE全等，得到对应边AD=BE。
(2) 先写出原命题的逆命题：若D在BC上、E在AC上，AD与BE交于点F且AD=BE，那么∠AFE=60°。要判断逆命题的真假，可构造反例：以B为圆心、AD的长度为半径画弧，和AC所在直线有两个交点，仅其中一个交点能满足∠AFE=60°，另一个交点对应的BE长度等于AD，但夹角不等于60°，因此逆命题不成立。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=∠ABC=60°。
∵∠AFE是△ABF的外角，
∴∠AFE=∠BAD+∠ABF=60°，
又
∵∠ABF+∠CBE=∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠CBE（等量代换）。
在△ABD和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠CBE \\AB=BC \\∠ABD=∠C\end{array} $
∴△ABD≌△BCE（ASA），
∴AD=BE。
(2) 第(1)题的逆命题为：若D在BC上，E在AC上，AD、BE交于点F，且AD=BE，那么∠AFE=60°。
该逆命题不成立，反例：以点B为圆心，AD的长度为半径作弧，与AC所在直线交于两个点，其中一个点是满足(1)中条件的E，另一个点记为E'，此时BE'=AD，但BE'与AD的夹角∠AF'E'≠60°，因此逆命题不成立。
【答案】
(1)证明略
(2)第(1)题的逆命题不成立 证明略
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，逆命题的判断
【点评】
本题综合考查了等边三角形性质、全等三角形的证明以及逆命题真假的判断，证明线段相等常转化为证明线段所在三角形全等，判断假命题只需举出一个反例即可，解题时需要灵活运用角的等量代换推导关系。
【难度系数】
0.7
10.已知命题“P是等边三角形ABC内的一点，若点P到三边的距离相等，则PA=PB=PC”.
(1)证明这个命题.
★(2)写出它的逆命题，并判断其逆命题是否成立.若成立，请给出证明.
(1)证明这个命题.
★(2)写出它的逆命题，并判断其逆命题是否成立.若成立，请给出证明.
答案
10.(1)如图,P是等边三角形ABC内的一点,$PD⊥AB$于点D,$PE⊥BC$于点E,$PF⊥AC$于点F,$PD=PE=PF$.求证:$PA=PB=PC$.
证明:$\because PD⊥AB$于点D,$PE⊥BC$于点E,$PD=PE$,
$\therefore BP$平分$∠ABC$.$\because BA=BC$,$\therefore BP$是AC的垂直平分线.
同理,AP是BC的垂直平分线,CP是AB的垂直平分线,
$\therefore P$是$△ABC$三边垂直平分线的交点,$\therefore PA=PB=PC$
(2)逆命题:P是等边三角形ABC内的一点,若$PA=PB=PC$,则点P到$△ABC$三边的距离相等,其逆命题成立.
证明:$\because PA=PB$,$\therefore$点P在AB的垂直平分线上.
$\because AC=BC$,$\therefore$点C在AB的垂直平分线上,
$\therefore CP$是AB的垂直平分线,
$\therefore CP$平分$∠ACB$.同理,$BP$平分$∠ABC$,$AP$平分$∠BAC$,
$\therefore P$是$△ABC$三个角的平分线的交点,$\therefore PD=PE=PF$
解析
【分析】
(1) 要证明$PA=PB=PC$，首先根据已知“点P到三边距离相等”，结合角平分线的判定定理，可推出点P是$△ ABC$三个内角的角平分线交点；再利用等边三角形“三线合一”的性质，可知等边三角形的角平分线与对应边的垂直平分线重合，因此P也是三边垂直平分线的交点，最后根据线段垂直平分线的性质，即可证得$PA=PB=PC$。
(2) 写逆命题只需将原命题的条件和结论互换，原命题条件为“等边三角形内点P到三边距离相等”，结论为“$PA=PB=PC$”，互换后得到逆命题；要证明逆命题成立，先由$PA=PB=PC$结合线段垂直平分线的判定定理，推出P是三边垂直平分线的交点，再结合等边三角形三线合一的性质，得到P是三个内角的角平分线交点，最后根据角平分线的性质，即可证得P到三边距离相等。
【解析】
(1) 先明确已知与求证：已知P是等边三角形ABC内的一点，$PD⊥AB$于D，$PE⊥BC$于E，$PF⊥AC$于F，$PD=PE=PF$，求证$PA=PB=PC$。
证明：$\because PD⊥AB$，$PE⊥BC$，且$PD=PE$，
$\therefore$ 点P在$∠ ABC$的角平分线上，即BP平分$∠ ABC$。
又$\because △ ABC$是等边三角形，$BA=BC$，等边三角形三线合一，
$\therefore$ BP所在直线是AC的垂直平分线。
同理可证，AP是BC的垂直平分线，CP是AB的垂直平分线，
即P是$△ ABC$三边垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质，可得$PA=PB=PC$。
(2) 逆命题：P是等边三角形ABC内的一点，若$PA=PB=PC$，则点P到$△ ABC$三边的距离相等，该逆命题成立。
证明：$\because PA=PB$，
$\therefore$ 点P在AB的垂直平分线上。
又$\because △ ABC$是等边三角形，$AC=BC$，
$\therefore$ 点C也在AB的垂直平分线上，因此CP是AB的垂直平分线。
结合等边三角形三线合一的性质，可得CP平分$∠ ACB$。
同理可证，BP平分$∠ ABC$，AP平分$∠ BAC$，
即P是$△ ABC$三个角的平分线的交点，根据角平分线的性质，可得$PD=PE=PF$。
【答案】
10.(1)如图,P是等边三角形ABC内的一点,$PD⊥AB$于点D,$PE⊥BC$于点E,$PF⊥AC$于点F,$PD=PE=PF$.求证:$PA=PB=PC$.
证明:$\because PD⊥AB$于点D,$PE⊥BC$于点E,$PD=PE$,
$\therefore BP$平分$∠ABC$.$\because BA=BC$,$\therefore BP$是AC的垂直平分线.
同理,AP是BC的垂直平分线,CP是AB的垂直平分线,
$\therefore P$是$△ABC$三边垂直平分线的交点,$\therefore PA=PB=PC$
(2)逆命题:P是等边三角形ABC内的一点,若$PA=PB=PC$,则点P到$△ABC$三边的距离相等,其逆命题成立.
证明:$\because PA=PB$,$\therefore$点P在AB的垂直平分线上.
$\because AC=BC$,$\therefore$点C在AB的垂直平分线上,
$\therefore CP$是AB的垂直平分线,
$\therefore CP$平分$∠ACB$.同理,$BP$平分$∠ABC$,$AP$平分$∠BAC$,
$\therefore P$是$△ABC$三个角的平分线的交点,$\therefore PD=PE=PF$
【知识点】
角平分线的性质与判定；线段垂直平分线的性质与判定；逆命题与逆定理
【点评】
本题依托等边三角形考查了几何基础定理的综合应用，同时训练了互逆命题的书写和证明逻辑，解题核心是熟练掌握等边三角形三线合一的特性，理清角平分线、线段垂直平分线的判定和性质的对应关系，能灵活进行正向、逆向推导。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$PA=PB=PC$，首先根据已知“点P到三边距离相等”，结合角平分线的判定定理，可推出点P是$△ ABC$三个内角的角平分线交点；再利用等边三角形“三线合一”的性质，可知等边三角形的角平分线与对应边的垂直平分线重合，因此P也是三边垂直平分线的交点，最后根据线段垂直平分线的性质，即可证得$PA=PB=PC$。
(2) 写逆命题只需将原命题的条件和结论互换，原命题条件为“等边三角形内点P到三边距离相等”，结论为“$PA=PB=PC$”，互换后得到逆命题；要证明逆命题成立，先由$PA=PB=PC$结合线段垂直平分线的判定定理，推出P是三边垂直平分线的交点，再结合等边三角形三线合一的性质，得到P是三个内角的角平分线交点，最后根据角平分线的性质，即可证得P到三边距离相等。
【解析】
(1) 先明确已知与求证：已知P是等边三角形ABC内的一点，$PD⊥AB$于D，$PE⊥BC$于E，$PF⊥AC$于F，$PD=PE=PF$，求证$PA=PB=PC$。
证明：$\because PD⊥AB$，$PE⊥BC$，且$PD=PE$，
$\therefore$ 点P在$∠ ABC$的角平分线上，即BP平分$∠ ABC$。
又$\because △ ABC$是等边三角形，$BA=BC$，等边三角形三线合一，
$\therefore$ BP所在直线是AC的垂直平分线。
同理可证，AP是BC的垂直平分线，CP是AB的垂直平分线，
即P是$△ ABC$三边垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质，可得$PA=PB=PC$。
(2) 逆命题：P是等边三角形ABC内的一点，若$PA=PB=PC$，则点P到$△ ABC$三边的距离相等，该逆命题成立。
证明：$\because PA=PB$，
$\therefore$ 点P在AB的垂直平分线上。
又$\because △ ABC$是等边三角形，$AC=BC$，
$\therefore$ 点C也在AB的垂直平分线上，因此CP是AB的垂直平分线。
结合等边三角形三线合一的性质，可得CP平分$∠ ACB$。
同理可证，BP平分$∠ ABC$，AP平分$∠ BAC$，
即P是$△ ABC$三个角的平分线的交点，根据角平分线的性质，可得$PD=PE=PF$。
【答案】
10.(1)如图,P是等边三角形ABC内的一点,$PD⊥AB$于点D,$PE⊥BC$于点E,$PF⊥AC$于点F,$PD=PE=PF$.求证:$PA=PB=PC$.
证明:$\because PD⊥AB$于点D,$PE⊥BC$于点E,$PD=PE$,
$\therefore BP$平分$∠ABC$.$\because BA=BC$,$\therefore BP$是AC的垂直平分线.
同理,AP是BC的垂直平分线,CP是AB的垂直平分线,
$\therefore P$是$△ABC$三边垂直平分线的交点,$\therefore PA=PB=PC$
(2)逆命题:P是等边三角形ABC内的一点,若$PA=PB=PC$,则点P到$△ABC$三边的距离相等,其逆命题成立.
证明:$\because PA=PB$,$\therefore$点P在AB的垂直平分线上.
$\because AC=BC$,$\therefore$点C在AB的垂直平分线上,
$\therefore CP$是AB的垂直平分线,
$\therefore CP$平分$∠ACB$.同理,$BP$平分$∠ABC$,$AP$平分$∠BAC$,
$\therefore P$是$△ABC$三个角的平分线的交点,$\therefore PD=PE=PF$
【知识点】
角平分线的性质与判定；线段垂直平分线的性质与判定；逆命题与逆定理
【点评】
本题依托等边三角形考查了几何基础定理的综合应用，同时训练了互逆命题的书写和证明逻辑，解题核心是熟练掌握等边三角形三线合一的特性，理清角平分线、线段垂直平分线的判定和性质的对应关系，能灵活进行正向、逆向推导。
【难度系数】
0.7
