12.已知线段AB，请将线段AB五等分。
（先画出线段AB，再对线段等分）

12. 提示:作射线 $AC$(直线 $AB$,$BC$ 不重合)；在射线 $AC$ 上依次取 $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$；连结 $A_5B$；分别过点 $A_1,A_2,A_3,A_4$ 作 $A_5B$ 的平行线,交 $AB$ 于点 $B_1,B_2,B_3,B_4$。点 $B_1,B_2,B_3,B_4$ 为线段 $AB$ 的五等分点.

【分析】
要将线段AB五等分，可利用平行线分线段成比例的性质求解：首先构造一条不与AB重合的辅助射线，在射线上截取5段长度相等的线段，得到五等份的参考长度；再将射线的最后一个截点与线段AB的端点B连接，通过作这条连线的平行线，即可将射线上的等长比例关系传递到线段AB上，从而实现AB的五等分。
【解析】
1. 首先画出已知线段AB；
2. 从点A出发作射线AC，保证射线AC与线段AB不共线（即AC与AB的夹角不为0°或180°）；
3. 使用圆规在射线AC上从点A开始依次截取长度相等的线段，使得$AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$；
4. 连接点$A_5$与点$B$，得到线段$A_5B$；
5. 分别过点$A_1、A_2、A_3、A_4$作$A_5B$的平行线，四条平行线依次交AB于点$B_1、B_2、B_3、B_4$。
依据平行线分线段成比例定理，可得$AB_1:B_1B_2:B_2B_3:B_3B_4:B_4B = AA_1:A_1A_2:A_2A_3:A_3A_4:A_4A_5 = 1:1:1:1:1$，即点$B_1、B_2、B_3、B_4$为线段AB的五等分点。
【答案】
按如下步骤作图即可完成五等分：①作射线$AC$(与AB不共线)；②在射线$AC$上依次取$AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$；③连结$A_5B$；④分别过点$A_1,A_2,A_3,A_4$作$A_5B$的平行线，交$AB$于点$B_1,B_2,B_3,B_4$，点$B_1,B_2,B_3,B_4$即为线段$AB$的五等分点。
【知识点】
平行线分线段成比例；尺规作图；线段等分
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用类题型，通过构造辅助线将等分需求转化为比例传递问题，该方法可拓展到任意n等分线段的操作中，掌握核心逻辑即可举一反三解决同类作图问题。
【难度系数】
0.8

13.如图3-1-15,在$△ ABC$中,点D在BC的延长线上,E是AC边的中点,DE的延长线交AB于点F.
(1)若$CD = BC$,求$\frac{AF}{BF}$.
(2)若$\frac{CD}{BC}=\frac{n}{m}$,求$\frac{AF}{BF}$.

图3-1-15
本书中,为引导学生思考,部分图形添加了辅助线.

13. 提示:(1) 如图,过点 $C$ 作 $CG // DF$ 交 $AB$ 于 $G$. 则 $\frac{FG}{BG}=\frac{CD}{BC}$，$\frac{FG}{AF}=\frac{CE}{AE}$，
$\therefore AF = FG = BG$.
(2) 仿照(1) 可证得 $\frac{AF}{BF}=\frac{n}{m+n}$.

【分析】
本题是求线段比例的问题，核心思路是通过构造平行辅助线，利用平行线分线段成比例定理建立已知线段比例和所求线段比例的关联：
1. 首先观察图形，已知E是AC中点，要求AF与BF的比值，可过点C作CG平行于DF交AB于G，构造出两组符合平行线分线段成比例的三角形模型；
2. 第一问中CD=BC，先在△BFD中利用CG//DF得到FG和BG的关系，再在△ACG中利用E是AC中点得到AF和FG的关系，进而推导AF和BF的比值；
3. 第二问将CD与BC的比值换为n/m，沿用第一问的推导思路，代入比例计算即可得到结果。
【解析】
(1) 过点$C$作$CG // DF$交$AB$于点$G$：
① 因为$CG // DF$，在$△ BFD$中，由平行线分线段成比例定理可得：$\frac{FG}{BG}=\frac{CD}{BC}$，已知$CD=BC$，所以$\frac{FG}{BG}=1$，即$FG=BG$；
② 又因为$CG // EF$（$EF$是$DF$的一部分），在$△ ACG$中，E是AC中点即$CE=AE$，由平行线分线段成比例定理可得：$\frac{FG}{AF}=\frac{CE}{AE}=1$，即$AF=FG$；
③ 综上可得$AF=FG=BG$，而$BF=BG+FG=2AF$，因此$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{2}$。
(2) 沿用(1)的辅助线$CG // DF$：
① 同理可得$\frac{FG}{BG}=\frac{CD}{BC}=\frac{n}{m}$，即$BG=\frac{m}{n}FG$，且$AF=FG$；
② $BF=BG+FG=\frac{m}{n}FG + FG=\frac{m+n}{n}FG=\frac{m+n}{n}AF$，整理得$\frac{AF}{BF}=\frac{n}{m+n}$。
【答案】
13. 提示:(1) 如图,过点 $C$ 作 $CG // DF$ 交 $AB$ 于 $G$. 则 $\frac{FG}{BG}=\frac{CD}{BC}$，$\frac{FG}{AF}=\frac{CE}{AE}$，
$\therefore AF = FG = BG$.
(2) 仿照(1) 可证得 $\frac{AF}{BF}=\frac{n}{m+n}$.
【知识点】
平行线分线段成比例、比例线段计算、中点性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例的典型应用题型，核心解题技巧是构造平行辅助线，将已知的线段比例关系转化到目标线段所在的线段组中，该方法是求解线段比例类问题的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7

14. 如图3-1-16,在$□ ABCD$中,E为AB的中点,点F在AD上,EF交AC于点G.已知$EG:FG=3:2,AG=3$.
(1) 求AC的长.

(2) 试结合图3-1-17,联想用到的知识和方法,选择你喜欢的方法求$\frac{AF}{DF}$的值.

(1) 提示:过点 $E$ 作 $EH // AD$,交 $AC$ 于点 $H$.
$\therefore EH // AD // BC$. 由此可得
$\frac{AG}{GH}=\frac{FG}{EG}$，$\frac{AH}{CH}=\frac{AE}{BE}$.
$\therefore GH = \frac{AG · EG}{FG} = \frac{9}{2}$，
$AH = CH$.
$\therefore AC = 2(AG + GH) = 15$.
(2) 方法一:过点 $F$ 作 $FK // AB$ 交 $AC$ 于点 $K$.
$\therefore FK // AB // CD$. 由此可得
$\frac{AG}{GK}=\frac{EG}{FG}$，$\frac{AK}{CK}=\frac{AF}{DF}$.
$\therefore GK = 2$，$AK = 5$.
由(1) 知 $AC = 15$.
$\therefore CK = 10$. $\therefore \frac{AF}{DF}=\frac{AK}{CK}=\frac{1}{2}$.
方法二:过点 $B$ 作 $BM // EF$,交 $AD$ 于点 $M$,交 $AC$ 于点 $P$；过点 $D$ 作 $DN // EF$,交 $BC$ 于点 $N$,交 $AC$ 于点 $Q$.
易证 $△ CDQ ≌ △ ABP$，
$\therefore CQ = AP$.
由 $AE = BE$ 可得 $GP = AG = 3$,$AP = 6$.
由(1) 知 $AC = 15$,从而可得 $PQ = 3$.
由此可推出 $AF = FM = DM$.
$\therefore DF = 2AF$, 即 $\frac{AF}{DF}=\frac{1}{2}$.

【分析】
(1) 要求AC的长度，已知AG的长度，可通过构造平行线转化已知比例关系求解：过E作$EH // AD$交AC于H，先利用平行线分线段成比例结合$EG:FG=3:2$求出GH的长度，再结合E是AB中点的条件得到$AH=CH$，即可求出AC的总长。
(2) 求$\frac{AF}{DF}$的值，同样通过构造平行线转化比例：过F作$FK // AB$交AC于K，先根据$EG:FG$的比例求出GK的长度，得到AK的长度，再结合(1)中AC的长度求出CK的长度，最后利用平行线分线段成比例得到$\frac{AF}{DF}=\frac{AK}{CK}$，即可求出比值。
【解析】
(1) 过点E作$EH // AD$，交AC于点H。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD // BC$，
∴$EH // AD // BC$。
由$EH // AD$，可得$\frac{AG}{GH}=\frac{FG}{EG}$，
已知$EG:FG=3:2$，$AG=3$，代入得$\frac{3}{GH}=\frac{2}{3}$，解得$GH=\frac{9}{2}$。
又
∵E为AB的中点，$EH // BC$，
∴$\frac{AH}{CH}=\frac{AE}{BE}=1$，即$AH=CH$。
∴$AH=AG+GH=3+\frac{9}{2}=\frac{15}{2}$，
∴$AC=2AH=15$。
(2) 过点F作$FK // AB$交AC于点K。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB // CD$，
∴$FK // AB // CD$。
由$FK // AB$，可得$\frac{AG}{GK}=\frac{EG}{FG}$，
已知$EG:FG=3:2$，$AG=3$，代入得$\frac{3}{GK}=\frac{3}{2}$，解得$GK=2$。
∴$AK=AG+GK=3+2=5$。
由(1)知$AC=15$，
∴$CK=AC-AK=15-5=10$。
由$FK // CD$，可得$\frac{AF}{DF}=\frac{AK}{CK}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $AC=15$
(2) $\frac{AF}{DF}=\frac{1}{2}$
【知识点】
平行四边形的性质；平行线分线段成比例；比例线段计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例在平行四边形中的典型应用，解题核心是通过作平行辅助线，将已知线段比例关系转化为待求线段的比例关系，既考查了对基础定理的掌握，也锻炼了构造辅助线的几何思维能力。
【难度系数】
0.6