6.已知$AB // CD$，AD与BC相交于点O。
如果$\frac{OB}{OC}=\frac{1}{2}$，$AD = 12$，那么下列结论错误的是 ……………………【 】

A.$OA = 4$
B.$BC = 3OB$
C.$OD = 2OA$
D.$OC = 8$

6. D.

【分析】
首先由AB//CD可得△AOB和△DOC相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，可推出OA与OD的比等于OB与OC的比1:2，再结合AD总长为12可求出OA、OD的具体长度，然后逐一核对四个选项，找出无法推导得到的错误结论即可。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C（两直线平行，内错角相等），
∴△AOB∽△DOC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}=\frac{1}{2}$。
1. 验证选项C：由$\frac{OA}{OD}=\frac{1}{2}$可得OD=2OA，结论正确，不符合题意；
2. 验证选项A：已知AD=OA+OD=12，将OD=2OA代入得OA+2OA=12，解得OA=4，结论正确，不符合题意；
3. 验证选项B：由$\frac{OB}{OC}=\frac{1}{2}$可得OC=2OB，$BC=OB+OC=OB+2OB=3OB$，结论正确，不符合题意；
4. 验证选项D：题干仅给出OB与OC的比例关系，未给出OB或BC的具体长度，无法计算出OC的具体数值，故OC=8的结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，相似三角形的判定与性质，线段和差计算
【点评】
本题是平行线与相似三角形结合的基础题，解题核心是利用平行线得到相似三角形，进而得到对应边的比例关系，注意仅知道线段比例、无对应线段总长时无法求出线段的具体长度。
【难度系数】
0.75

7.已知线段$a,b$,求作线段$x=\frac{2b^2}{a}$,下列给出的四种作法中,正确的是 ………【 】

7. C.

【分析】
要判断正确的作图，首先需将待求线段的表达式$x=\frac{2b^2}{a}$转化为比例式，结合平行线分线段成比例定理分析。先通过交叉相乘将原式变形为$ax=2b^2$，再整理为符合平行线截线段规律的比例形式$\frac{a}{2b}=\frac{b}{x}$，最后逐一核对各选项中平行线截得的对应线段比例是否与该式一致即可。
【解析】
1. 关系式变形：由$x=\frac{2b^2}{a}$，两边同乘$a$得$ax=2b^2$，整理为比例式：$\frac{a}{2b}=\frac{b}{x}$，即两条射线上，靠近顶点的两条线段的比等于后续两条对应线段的比。
2. 根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，逐一分析选项：
A选项：上边两段为$2b$、$b$，下边两段为$a$、$x$，对应比例为$\frac{2b}{b}=\frac{a}{x}$，解得$x=\frac{a}{2}$，不符合要求，错误；
B选项：上边两段为$2b$、$a$，下边两段为$x$、$b$，对应线段位置与推导的比例式不匹配，错误；
C选项：上边靠近顶点的线段为$a$，后续段为$b$；下边靠近顶点的线段为$2b$，后续段为$x$，对应比例为$\frac{a}{2b}=\frac{b}{x}$，变形得$x=\frac{2b^2}{a}$，符合要求，正确；
D选项：上边两段为$b$、$x$，下边两段为$2b$、$a$，对应比例为$\frac{b}{2b}=\frac{x}{a}$，解得$x=\frac{a}{2}$，不符合要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例，比例式变形
【点评】
本题考查平行线分线段成比例定理在作图中的应用，解题的核心是将待求线段的代数式转化为符合定理特征的比例式，同时要注意截得的线段需对应，避免混淆线段的位置关系。
【难度系数】
0.6

8.如图3-1-11,在$△ ABC$中,$DE // BC$,$EF // AB$,下列比例关系错误的是…【 】

A.$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$
B.$\frac{BF}{BC}=\frac{AE}{AC}$
C.$\frac{AD}{BD}=\frac{BF}{CF}$
D.$\frac{EF}{AB}=\frac{DE}{BC}$

图3-1-11

8. D.

【分析】
解决本题首先利用已知的两组平行条件，结合平行线分线段成比例定理、相似三角形的预备定理（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），对四个选项逐一验证即可找出错误的比例式。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：
∵$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$，故A选项比例式正确，不符合题意。
选项B：
∵$EF// AB$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{BF}{BC}=\frac{AE}{AC}$，也可通过$△ CEF ∽ △ CAB$对应边成比例推导得出该式，故B选项比例式正确，不符合题意。
选项C：由$DE// BC$得$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$，由$EF// AB$得$\frac{BF}{CF}=\frac{AE}{CE}$，等量代换可得$\frac{AD}{BD}=\frac{BF}{CF}$，故C选项比例式正确，不符合题意。
选项D：由$EF// AB$得$\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{AC}$，由$DE// BC$得$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，一般情况下$CE≠ AE$，因此$\frac{EF}{AB}≠ \frac{DE}{BC}$，故D选项比例式错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形性质；平行四边形性质
【点评】
本题重点考查平行线背景下的线段比例关系推导，解题时要注意对应边的匹配，不要混淆不同相似三角形的对应边比例。
【难度系数】
0.7

9.如图3-1-12，在等边$△ ABC$中，点E在BA的延长线上，$EF // AC$，交BC的延长线于点F，点D在BC边上，且$DE = CE$。如果$AB = 4$，$AE = 2$，那么BD等于 …【 】

A.2
B.3
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$

9. A.

【分析】
解题时先从已知的等边△ABC入手，利用等边三角形三边相等、内角为60°的性质得到BC的长度和∠B、∠ACB的度数；再结合EF//AC的条件，由平行线同位角相等推出∠F=60°，判定△EBF为等边三角形，求出BF的长度进而得到CF的长；最后根据DE=CE得到角相等，证明△EDB和△ECF全等，利用全等三角形对应边相等即可求出BD的长度。
【解析】
解：
1.
∵△ABC是等边三角形，$AB=4$，
∴$AB=BC=4$，$∠ B=∠ ACB=60°$。
2.
∵$EF// AC$，
∴$∠ F=∠ ACB=60°$，
∴$∠ B=∠ F=60°$，即$△ EBF$为等边三角形，
∴$BE=BF$。
3. 已知$AE=2$，
∴$BE=AB+AE=4+2=6$，
∴$BF=6$，
∴$CF=BF-BC=6-4=2$。
4.
∵$DE=CE$，
∴$∠ EDC=∠ ECD$，
∴$180°-∠ EDC=180°-∠ ECD$，即$∠ EDB=∠ ECF$。
5. 在$△ EDB$和$△ ECF$中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ F\\∠ EDB=∠ ECF\\DE=CE\end{array} $
∴$△ EDB≌△ ECF$（AAS），
∴$BD=CF=2$。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心是通过平行线性质得到等边三角形，再构造全等三角形转化线段关系，解题时要注意挖掘等腰、等边图形隐含的角相等、边相等的条件。
【难度系数】
0.7

10.如图3-1-13，直线$a // b // c$，直线$m,n$与直线$a,b,c$分别交于点$A,C,E$和点$B,D,F$，且$AC=4$，$CE=6$，$BD=3$，求$BF$的长.

图3-1-13

10. 提示:由平行线分线段成比例可得$\frac{AC}{AE}=\frac{BD}{BF}$，即 $\frac{4}{10}=\frac{3}{BF}$，则 $BF = \frac{15}{2}$.

【分析】
首先观察图形特征，已知三条互相平行的直线a、b、c截两条直线m、n，符合平行线分线段成比例定理的使用条件。解题时第一步先计算线段AE的总长度，第二步根据平行线分线段成比例的性质，找准对应线段列出比例式，第三步代入已知数值解比例式即可求出BF的长。
【解析】
解：
∵$a// b// c$，直线m、n分别与a、b、c相交
∴由平行线分线段成比例定理可得：$\frac{AC}{AE}=\frac{BD}{BF}$
由线段和的关系可得：$AE=AC+CE=4+6=10$
将$AC=4$，$AE=10$，$BD=3$代入比例式：
$\frac{4}{10}=\frac{3}{BF}$
交叉相乘得：$4BF=3×10=30$
解得：$BF=\frac{30}{4}=\frac{15}{2}$
【答案】
$\frac{15}{2}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理；解比例方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是考查平行线分线段成比例定理的应用，解题关键是准确找到成比例的对应线段，避免对应关系混淆，计算过程难度较低，掌握定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

11.如图3-1-14，D为AB上任意一点，M，N，P分别为AB，CD，BC的中点，Q为MN的中点，PQ的延长线与AB相交于点E。
（1）求证：四边形NEMP是平行四边形。
（2）求证：AE = DE。

图3-1-14

11. 提示:(1) 由M,N,P分别为AB,CD,BC的中点可得 $MP // AC$，$NP // AB$。由Q为MN的中点,及平行线分线段成比例可得 $PQ = EQ$。$\therefore$ 四边形 $NEMP$ 为平行四边形。
(2) 由(1)知,$EN // MP$。$\therefore EN // AC$。
又 $\because N$ 是 $CD$ 的中点，由平行线分线段成比例可得 $E$ 是 $AD$ 的中点，即 $AE = DE$.

【分析】
（1）要证四边形NEMP是平行四边形，首先利用中点条件结合三角形中位线定理：M、P分别为AB、BC的中点，可得MP是△ABC的中位线，即MP//AC；N、P分别为CD、BC的中点，可得NP是△BCD的中位线，即NP//AB，因此NP//EM。再结合Q是MN的中点，可通过证明三角形全等得到PQ=EQ，即四边形对角线互相平分，即可判定为平行四边形。
（2）要证AE=DE，先推导平行关系：由（1）中平行四边形的性质可得EN//MP，结合MP//AC，推出EN//AC。再根据N是CD的中点，利用平行线分线段成比例的推论，即可得到E是AD的中点，从而证得AE=DE。
【解析】
（1）证明：
∵M、P分别是AB、BC的中点，
∴MP是△ABC的中位线，
∴$MP // AC$。
∵N、P分别是CD、BC的中点，
∴NP是△BCD的中位线，
∴$NP // AB$，即$NP // EM$，
∴$∠ PNQ = ∠ EMQ$，$∠ NPQ = ∠ MEQ$。
∵Q为MN的中点，
∴$NQ = MQ$。
在$△ NPQ$和$△ MEQ$中：
$\begin{cases}∠ PNQ = ∠ EMQ \\∠ NPQ = ∠ MEQ \\NQ = MQ\end{cases}$
∴$△ NPQ ≌ △ MEQ$（AAS），
∴$PQ = EQ$。
又
∵$NQ = MQ$，即四边形NEMP的对角线互相平分，
∴四边形NEMP是平行四边形。
（2）证明：
由（1）知四边形NEMP是平行四边形，
∴$EN // MP$。
又
∵$MP // AC$，
∴$EN // AC$。
在$△ ACD$中，N是CD的中点，$EN // AC$，
根据平行线分线段成比例的推论，可得E为AD的中点，
∴$AE = DE$。
【答案】
（1）四边形NEMP是平行四边形，得证；（2）$AE=DE$，得证。
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，平行线分线段成比例
【点评】
本题综合考查了中位线性质、平行四边形判定和平行线分线段成比例的应用，解题的关键是充分利用中点条件构造中位线得到平行关系，再结合相关定理逐步推导结论，是几何中典型的中点类综合题。
【难度系数】
0.65