4. 如图,在矩形ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,E,F分别是边BM,CM的中点,当AB:AD=时,四边形MENF是正方形。

4. 1:2

【分析】
首先我们先判断四边形MENF的基础形状：利用三角形中位线定理可证四边形MENF是平行四边形，再结合矩形性质可证BM=CM，进而得到平行四边形MENF是菱形；要让菱形变为正方形，需要满足有一个内角为90°，即∠BMC=90°，结合等腰直角三角形的性质即可推导出AB和AD的比例关系。
【解析】
1. 先证四边形MENF是菱形：
∵N是BC中点，E、F分别是BM、CM的中点，
∴EN是△BCM的中位线，得$EN// CM$，$EN=\frac{1}{2}CM$，
同理$FN// BM$，$FN=\frac{1}{2}BM$，
∴四边形MENF是平行四边形。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB=CD$，$∠A=∠D=90°$，
又
∵M是AD中点，
∴$AM=DM$，
∴$△ ABM≌△ DCM(SAS)$，得$BM=CM$，
∴$ME=\frac{1}{2}BM=\frac{1}{2}CM=MF$，
∴平行四边形MENF是菱形。
2. 要使菱形MENF为正方形，需$∠BMC=90°$：
∵$BM=CM$，$∠BMC=90°$，
∴△BMC是等腰直角三角形，$∠MBC=45°$，
∵矩形ABCD中$∠ABC=90°$，
∴$∠ABM=90°-45°=45°$，
∴△ABM是等腰直角三角形，得$AB=AM$，
∵M是AD中点，
∴$AM=\frac{1}{2}AD$，
∴$AB=\frac{1}{2}AD$，即$AB:AD=1:2$。
【答案】
$1:2$
【知识点】
矩形的性质，正方形的判定，三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的性质和判定，解题的核心是理清平行四边形、菱形、正方形的递进判定条件，结合等腰直角三角形的特征推导边长比例。
【难度系数】
0.65

1. 如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$,$AD ⊥ BC$,垂足为点$D$,$AN$是$△ ABC$外角$∠ CAM$的平分线,$CE ⊥ AN$,垂足为点$E$。
(1)求证:四边形$ADCE$是矩形。
(2)当$△ ABC$满足什么条件时,四边形$ADCE$是正方形?请给出证明。

(1)
∵ AB = AC, AD ⊥ BC,
∴ ∠BAD = ∠DAC。
∵ AN是△ABC的外角∠CAM的平分线,
∴ ∠MAE = ∠CAE。
∴ ∠DAC + ∠CAE = ∠BAD + ∠MAE。
∵ ∠DAC + ∠CAE + ∠BAD + ∠MAE = 180°,
∴ ∠DAE = ∠DAC + ∠CAE = 90°。
∵ AD ⊥ BC, CE ⊥ AN,
∴ ∠ADC = ∠CEA = 90°。
∴ 四边形ADCE是矩形
(2) 答案不唯一。如:当△ABC是等腰直角三角形时,四边形ADCE是一个正方形。证明:
∵ AB = AC, ∠BAC = 90°,
∴ ∠ACB = ∠B = 45°。
∵ AD ⊥ BC,
∴ ∠CAD = ∠ACD = 45°,
∴ DC = AD。
∵ 四边形ADCE是矩形,
∴ 矩形ADCE是正方形。故当△ABC是等腰直角三角形时,四边形ADCE是正方形

【分析】
(1)要证明四边形ADCE是矩形，可依据“三个内角为直角的四边形是矩形”的判定定理推导。首先利用等腰三角形三线合一的性质可得AD平分∠BAC，再结合AN是外角∠CAM的平分线，可推出∠DAE为直角；加上已知AD⊥BC、CE⊥AN得到的两个直角，即可完成证明。
(2)矩形要转化为正方形，需满足一组邻边相等，因此要找到使AD=DC的△ABC的条件。结合等腰三角形性质，当∠BAC=90°时，△ABC为等腰直角三角形，此时斜边上的高AD与DC长度相等，满足邻边相等的要求，即可证明四边形ADCE是正方形。
【解析】
(1)证明：
∵ $AB = AC$，$AD ⊥ BC$，
∴ $∠BAD = ∠DAC$（等腰三角形三线合一）。
∵ AN是$△ABC$的外角$∠CAM$的平分线，
∴ $∠MAE = ∠CAE$。
∴ $∠DAC + ∠CAE = ∠BAD + ∠MAE$。
又
∵ $∠DAC + ∠CAE + ∠BAD + ∠MAE = 180°$（平角的定义），
∴ $∠DAE = ∠DAC + ∠CAE = 90°$。
∵ $AD ⊥ BC$，$CE ⊥ AN$，
∴ $∠ADC = ∠CEA = 90°$。
∴ 四边形ADCE有三个内角为直角，故四边形ADCE是矩形。
(2)当$△ABC$是等腰直角三角形（$∠BAC=90°$）时，四边形ADCE是正方形，证明如下：
∵ $AB = AC$，$∠BAC = 90°$，
∴ $∠ACB = ∠B = 45°$。
∵ $AD ⊥ BC$，
∴ $∠CAD = ∠ACD = 45°$，
∴ $DC = AD$。
由(1)已证四边形ADCE是矩形，
∴ 一组邻边相等的矩形ADCE是正方形。
【答案】
(1) 四边形ADCE是矩形，证明见解析；
(2) 当$△ABC$为等腰直角三角形（$∠BAC=90°$）时，四边形ADCE是正方形，证明见解析（答案不唯一）。
【知识点】
等腰三角形的性质；矩形的判定；正方形的判定
【点评】
本题是特殊三角形与特殊四边形的综合基础题，解题核心是熟练掌握等腰三角形的性质，以及矩形、正方形的判定定理，结合已知条件逐步推导即可得出结论。
【难度系数】
0.7

2. 如图,在正方形ABCD中,$AB=3\sqrt{2}$,点E是对角线AC上一动点,连接DE,过点E作$EF ⊥ DE$,交BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG。
(1)求证:矩形DEFG是正方形。
(2)探究:$CE + CG$的值是不是定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由。

2. (1) 如图,作 EM ⊥ BC 于点 M, EN ⊥ CD 于点 N,则∠MEN = 90°。
∵ E 是正方形ABCD对角线上的点,
∴ EM = EN。
∵ ∠DEF = 90°,
∴ ∠DEN = ∠MEF。在△DEN 和 △FEM 中,∠DNE = ∠FME, EN = EM,∠DEN = ∠FEM,
∴ △DEN ≅ △FEM ( ASA )。
∴ DE = EF。
∵ 四边形 DEFG 是矩形,
∴ 矩形 DEFG 是正方形
(2) CE + CG 的值是定值,值是6。在正方形 DEFG 和正方形 ABCD 中,DE = DG,AD = DC。
∵ ∠CDG + ∠CDE = ∠ADE + ∠CDE = 90°,
∴ ∠CDG = ∠ADE。在△ADE 和 △CDG 中,AD = CD, ∠ADE = ∠CDG, DE = DG,
∴ △ADE≅ △CDG ( SAS ),
∴ AE = CG。
∴ CE + CG = CE + AE = AC = √2 AB = √2 × 3√2 = 6,
∴ CE + CG 的值是定值,值是6

【分析】
(1) 要证明矩形DEFG是正方形，只需证明矩形的一组邻边相等即DE=EF。首先过E作BC、CD的垂线，利用正方形对角线的性质可得两条垂线段长度相等，再结合垂直关系推导相等的角，证明两个直角三角形全等即可得到DE=EF。
(2) 探究CE+CG是否为定值，可通过全等三角形转化线段：先证△ADE和△CDG全等，将CG替换为AE，那么CE+CG就转化为CE+AE=AC，再根据正方形边长计算对角线AC的长度，即可得到定值。
【解析】
(1) 证明：如图，作$EM ⊥ BC$于点M，$EN ⊥ CD$于点N，则$∠ MEN = 90°$。
∵ E是正方形ABCD对角线上的点，
∴ $EM = EN$。
∵ $∠ DEF = 90°$，
∴ $∠ DEN + ∠ NEF = ∠ MEF + ∠ NEF = 90°$，即$∠ DEN = ∠ MEF$。
在$△ DEN$和$△ FEM$中：
$\begin{cases}∠ DNE = ∠ FME = 90° \\EN = EM \\∠ DEN = ∠ MEF\end{cases}$
∴ $△ DEN ≌ △ FEM \ (\mathrm{ASA})$，
∴ $DE = EF$。
∵ 四边形DEFG是矩形，
∴ 矩形DEFG是正方形。
(2) 解：$CE + CG$的值是定值，推导如下：
在正方形DEFG和正方形ABCD中，$DE = DG$，$AD = DC$，$∠ ADC = ∠ EDG = 90°$，
∴ $∠ ADE + ∠ CDE = ∠ CDG + ∠ CDE = 90°$，即$∠ ADE = ∠ CDG$。
在$△ ADE$和$△ CDG$中：
$\begin{cases}AD = CD \\∠ ADE = ∠ CDG \\DE = DG\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CDG \ (\mathrm{SAS})$，
∴ $AE = CG$。
∴ $CE + CG = CE + AE = AC$。
∵ 正方形ABCD中$AB = 3\sqrt{2}$，
∴ $AC = \sqrt{2} AB = \sqrt{2} × 3\sqrt{2} = 6$，
即$CE + CG$的值是定值，为6。
【答案】
(1) 矩形DEFG是正方形，证明见解析；
(2) $CE + CG$的值是定值，定值为$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形对角线的性质
【点评】
本题是四边形综合类题型，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形，运用转化思想将未知线段和转化为已知的定长线段求解，对全等三角形的证明能力有一定要求，是四边形章节的典型考查题。
【难度系数】
0.7