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☆问题解决活动:作内嵌于正方形的正八边形
本节课按照“理解问题→拟订计划→实施计划→回顾反思”的研究路径,找到了作一个正八边形内嵌于正方形的方法。爱动脑筋的小明提出了一个问题:能用一张正方形纸折出一个正八边形吗?
【理解问题】
正八边形有哪些具体特征?
边:
角:
对称性:
【拟订计划】
(1)根据正八边形的特点,思考在折纸的过程中,正八边形可能会经过正方形的哪些特殊点,折出的正八边形的边长和正方形的边长有什么数量关系?
(2)根据你的分析,整理自己的思路并与同伴交流。
【实施计划】
简要写一写你的实施步骤。
【回顾反思】
(1)根据折纸过程,请说一说你得到的图形是正八边形的理由。
(2)在探索方法的过程中,你积累了哪些经验?
【思维拓展】
请你在下面两个问题中任选一个解答:
(1)根据教材上的研究路径,请你用尺规作内嵌于正方形的正十二边形。
(2)请你试一试,能否用一张正方形的纸折出一个正十二边形。
本节课按照“理解问题→拟订计划→实施计划→回顾反思”的研究路径,找到了作一个正八边形内嵌于正方形的方法。爱动脑筋的小明提出了一个问题:能用一张正方形纸折出一个正八边形吗?
【理解问题】
正八边形有哪些具体特征?
边:
八条边全部相等;对边互相平行
;角:
八个内角都相等,每个内角的度数是135°;八个外角都相等,每个外角的度数是45°
;对称性:
既是轴对称图形,也是中心对称图形
。【拟订计划】
(1)根据正八边形的特点,思考在折纸的过程中,正八边形可能会经过正方形的哪些特殊点,折出的正八边形的边长和正方形的边长有什么数量关系?
(2)根据你的分析,整理自己的思路并与同伴交流。
【实施计划】
简要写一写你的实施步骤。
【回顾反思】
(1)根据折纸过程,请说一说你得到的图形是正八边形的理由。
(2)在探索方法的过程中,你积累了哪些经验?
【思维拓展】
请你在下面两个问题中任选一个解答:
(1)根据教材上的研究路径,请你用尺规作内嵌于正方形的正十二边形。
(2)请你试一试,能否用一张正方形的纸折出一个正十二边形。
答案
边 八条边全部相等;对边互相平行
角 八个内角都相等,每个内角的度数是135°;八个外角都相等,每个外角的度数是45°
对称性 既是轴对称图形,也是中心对称图形
(1) 正八边形4个顶点在正方形四条边的中点,另外4个顶点是折角折痕与正方形边的交点;整个图形以正方形中心为对称中心,依托正方形对称轴、对角线定位。边长关系:正八边形的边长=(√2 -1)正方形边长
(2) 略
角 八个内角都相等,每个内角的度数是135°;八个外角都相等,每个外角的度数是45°
对称性 既是轴对称图形,也是中心对称图形
(1) 正八边形4个顶点在正方形四条边的中点,另外4个顶点是折角折痕与正方形边的交点;整个图形以正方形中心为对称中心,依托正方形对称轴、对角线定位。边长关系:正八边形的边长=(√2 -1)正方形边长
(2) 略
解析
【分析】
首先解决“理解问题”模块，可结合正多边形的通用性质推导正八边形的边、角、对称性特征，正偶数边形的对称性有通用规律可直接套用。接着处理“拟订计划”模块，内嵌正八边形需和正方形的对称性匹配，因此顶点必然分布在正方形边上，可设未知数结合勾股定理推导二者的边长关系。最后设计实施步骤时，依托正方形的对称轴、对称中心定位特殊点，通过折叠操作得到符合要求的正八边形顶点即可。
【解析】
1. 理解问题部分：
正多边形的基本性质为各边相等、各内角相等，正八边形是边数为8的正偶数边形：
边：8条边长度全部相等，且对边互相平行；
角：由内角和公式得正八边形内角和为$(8-2)×180°=1080°$，因此每个内角为$1080°÷8=135°$，每个外角为$180°-135°=45°$，8个内角、外角分别相等；
对称性：偶数边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形。
2. 拟订计划(1)部分：
正方形本身具备轴对称、中心对称的性质，内嵌正八边形的对称中心与正方形中心重合，因此正八边形的4个顶点对应正方形四条边的中点，另外4个顶点为折叠正方形四个角时折痕与正方形边的交点，可依托正方形的对称轴、对角线定位所有顶点。
边长关系推导：设正方形边长为$a$，正八边形边长为$x$，折叠时正方形每个角截去的是等腰直角三角形，直角边长为$\frac{a-x}{2}$，斜边长等于正八边形边长$x$，由勾股定理得：
$(\frac{a-x}{2})^2+(\frac{a-x}{2})^2=x^2$
化简解得$x=(\sqrt{2}-1)a$，即正八边形边长$=(\sqrt{2}-1)×$正方形边长。
3. 实施计划参考步骤：
① 将正方形纸片沿两组对边中点连线、两条对角线分别对折，标记出对称中心、各边中点；
② 把正方形四个角向中心折叠，使角的顶点落在中心处，得到的折痕与正方形边的交点即为正八边形剩余4个顶点；
③ 沿相邻顶点的连线压出折痕或裁剪，即可得到内嵌正八边形。
【答案】
边：八条边全部相等；对边互相平行
角：八个内角都相等，每个内角的度数是135°；八个外角都相等，每个外角的度数是45°
对称性：既是轴对称图形，也是中心对称图形
(1) 正八边形4个顶点在正方形四条边的中点，另外4个顶点是折角折痕与正方形边的交点；整个图形以正方形中心为对称中心，依托正方形对称轴、对角线定位。边长关系：正八边形的边长=($\sqrt{2}$ -1)正方形边长
(2) 略
【知识点】
正八边形的性质，勾股定理，图形的对称性
【点评】
本题结合动手操作与几何性质探究，既考查正多边形的基础知识点，又要求结合正方形特征设计操作方案、推导边长关系，能有效锻炼实践能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
首先解决“理解问题”模块，可结合正多边形的通用性质推导正八边形的边、角、对称性特征，正偶数边形的对称性有通用规律可直接套用。接着处理“拟订计划”模块，内嵌正八边形需和正方形的对称性匹配，因此顶点必然分布在正方形边上，可设未知数结合勾股定理推导二者的边长关系。最后设计实施步骤时，依托正方形的对称轴、对称中心定位特殊点，通过折叠操作得到符合要求的正八边形顶点即可。
【解析】
1. 理解问题部分：
正多边形的基本性质为各边相等、各内角相等，正八边形是边数为8的正偶数边形：
边：8条边长度全部相等，且对边互相平行；
角：由内角和公式得正八边形内角和为$(8-2)×180°=1080°$，因此每个内角为$1080°÷8=135°$，每个外角为$180°-135°=45°$，8个内角、外角分别相等；
对称性：偶数边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形。
2. 拟订计划(1)部分：
正方形本身具备轴对称、中心对称的性质，内嵌正八边形的对称中心与正方形中心重合，因此正八边形的4个顶点对应正方形四条边的中点，另外4个顶点为折叠正方形四个角时折痕与正方形边的交点，可依托正方形的对称轴、对角线定位所有顶点。
边长关系推导：设正方形边长为$a$，正八边形边长为$x$，折叠时正方形每个角截去的是等腰直角三角形，直角边长为$\frac{a-x}{2}$，斜边长等于正八边形边长$x$，由勾股定理得：
$(\frac{a-x}{2})^2+(\frac{a-x}{2})^2=x^2$
化简解得$x=(\sqrt{2}-1)a$，即正八边形边长$=(\sqrt{2}-1)×$正方形边长。
3. 实施计划参考步骤：
① 将正方形纸片沿两组对边中点连线、两条对角线分别对折，标记出对称中心、各边中点；
② 把正方形四个角向中心折叠，使角的顶点落在中心处，得到的折痕与正方形边的交点即为正八边形剩余4个顶点；
③ 沿相邻顶点的连线压出折痕或裁剪，即可得到内嵌正八边形。
【答案】
边：八条边全部相等；对边互相平行
角：八个内角都相等，每个内角的度数是135°；八个外角都相等，每个外角的度数是45°
对称性：既是轴对称图形，也是中心对称图形
(1) 正八边形4个顶点在正方形四条边的中点，另外4个顶点是折角折痕与正方形边的交点；整个图形以正方形中心为对称中心，依托正方形对称轴、对角线定位。边长关系：正八边形的边长=($\sqrt{2}$ -1)正方形边长
(2) 略
【知识点】
正八边形的性质，勾股定理，图形的对称性
【点评】
本题结合动手操作与几何性质探究，既考查正多边形的基础知识点，又要求结合正方形特征设计操作方案、推导边长关系，能有效锻炼实践能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
