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19. 先化简，再求值：$-a^2b+(3ab^2 - a^2b)-2(2ab^2 - a^2b)$，其中$a=1$，$b=-2$。
答案
19. 解 原式$=-a^2b + 3ab^2 - a^2b - 4ab^2 + 2a^2b = (-1 - 1 + 2)a^2b + (3 - 4)ab^2 = -ab^2$. 当 $a=1$，$b=-2$ 时，原式$=-1×(-2)^2=-4$.
解析
【分析】
本题是整式化简求值类题目，解题思路分三步：第一步先去括号，要注意括号前的系数和符号，当括号前是负系数时，括号内的每一项都要乘以这个系数，同时符号要变号；第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式；第三步将给定的a、b的值代入最简式计算，即可得到最终结果，先化简再代入能减少计算量，降低出错率。
【解析】
解：先去括号：
原式$=-a^2b + 3ab^2 - a^2b - 4ab^2 + 2a^2b$
再合并同类项：
$= (-1 - 1 + 2)a^2b + (3 - 4)ab^2$
$= 0× a^2b - ab^2$
$=-ab^2$
将$a=1$，$b=-2$代入最简式：
原式$=-1× (-2)^2 = -1×4 = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，主要考查整式加减运算的基本技能，解题的关键是注意去括号时的符号变化，以及代入求值时负数乘方的运算顺序，熟练掌握相关运算法则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
本题是整式化简求值类题目，解题思路分三步：第一步先去括号，要注意括号前的系数和符号，当括号前是负系数时，括号内的每一项都要乘以这个系数，同时符号要变号；第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式；第三步将给定的a、b的值代入最简式计算，即可得到最终结果，先化简再代入能减少计算量，降低出错率。
【解析】
解：先去括号：
原式$=-a^2b + 3ab^2 - a^2b - 4ab^2 + 2a^2b$
再合并同类项：
$= (-1 - 1 + 2)a^2b + (3 - 4)ab^2$
$= 0× a^2b - ab^2$
$=-ab^2$
将$a=1$，$b=-2$代入最简式：
原式$=-1× (-2)^2 = -1×4 = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，主要考查整式加减运算的基本技能，解题的关键是注意去括号时的符号变化，以及代入求值时负数乘方的运算顺序，熟练掌握相关运算法则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
20. 化简关于 $ x $ 的代数式$(2x^2 + x) - [(k - 3)x^2 - (x^2 - x + 1)]$. 当 $ k $ 为何值时，代数式的值与 $ x $ 的取值无关？
答案
20. 解 原式$=2x^2 + x - (k - 3)x^2 + x^2 - x + 1=(6 - k)x^2 + 1$. 若代数式的值与$x$的取值无关，则$(6 - k)=0$，所以$k=6$.
解析
【分析】
解题时可按两步推导：第一步先化简给定的代数式，先根据去括号法则逐层去掉括号，注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号，再将同类项合并；第二步要使代数式的值与x的取值无关，需保证所有含x的项的系数都为0，据此列方程求解即可得到k的值。
【解析】
解：对代数式去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=2x^2 + x - (k - 3)x^2 + (x^2 - x + 1)\\&=2x^2 + x - (k-3)x^2 + x^2 - x + 1\\&=[2 - (k-3) + 1]x^2 + (1-1)x + 1\\&=(6 - k)x^2 + 1\end{aligned}$
若代数式的值与x的取值无关，则含x的项的系数为0，即：
$6 - k = 0$
解得：$k=6$
【答案】
$k=6$
【知识点】
整式的加减运算，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题属于整式加减的常考题型，既考查了整式化简的运算基本功，也考查了对代数式取值与字母无关这一条件的理解，解题核心是准确化简整式，明确与x无关等价于所有含x项的系数均为0。
【难度系数】
0.7
解题时可按两步推导：第一步先化简给定的代数式，先根据去括号法则逐层去掉括号，注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号，再将同类项合并；第二步要使代数式的值与x的取值无关，需保证所有含x的项的系数都为0，据此列方程求解即可得到k的值。
【解析】
解：对代数式去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=2x^2 + x - (k - 3)x^2 + (x^2 - x + 1)\\&=2x^2 + x - (k-3)x^2 + x^2 - x + 1\\&=[2 - (k-3) + 1]x^2 + (1-1)x + 1\\&=(6 - k)x^2 + 1\end{aligned}$
若代数式的值与x的取值无关，则含x的项的系数为0，即：
$6 - k = 0$
解得：$k=6$
【答案】
$k=6$
【知识点】
整式的加减运算，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题属于整式加减的常考题型，既考查了整式化简的运算基本功，也考查了对代数式取值与字母无关这一条件的理解，解题核心是准确化简整式，明确与x无关等价于所有含x项的系数均为0。
【难度系数】
0.7
21. 定义：若 $a + b = 2$，则称 $a$ 与 $b$ 是关于1的平衡数.
(1)3与
(2)若 $a = 2x^2 - 3(x^2 + x) + 4$，$b = 2x - [3x - (4x + x^2) - 2]$，判断 $a$ 与 $b$ 是否是关于1的平衡数，并说明理由.
(1)3与
$-1$
是关于1的平衡数，$5 - x$与$x-3$
是关于1的平衡数；(2)若 $a = 2x^2 - 3(x^2 + x) + 4$，$b = 2x - [3x - (4x + x^2) - 2]$，判断 $a$ 与 $b$ 是否是关于1的平衡数，并说明理由.
答案
21. (1)$-1$ $x-3$
(2)解 $a$ 与 $b$ 不是关于1的平衡数，理由如下：
因为 $a = 2x^2 - 3(x^2 + x) + 4$，$b = 2x - [3x - (4x + x^2) - 2]$，所以 $a + b = 2x^2 - 3(x^2 + x) + 4 + 2x - [3x - (4x + x^2) - 2] = 2x^2 - 3x^2 - 3x + 4 + 2x - 3x + 4x + x^2 + 2 = (2 - 3 + 1)x^2 + (-3 + 2 - 3 + 4)x + (4 + 2) = 6 ≠ 2$，故 $a$ 与 $b$ 不是关于1的平衡数.
(2)解 $a$ 与 $b$ 不是关于1的平衡数，理由如下：
因为 $a = 2x^2 - 3(x^2 + x) + 4$，$b = 2x - [3x - (4x + x^2) - 2]$，所以 $a + b = 2x^2 - 3(x^2 + x) + 4 + 2x - [3x - (4x + x^2) - 2] = 2x^2 - 3x^2 - 3x + 4 + 2x - 3x + 4x + x^2 + 2 = (2 - 3 + 1)x^2 + (-3 + 2 - 3 + 4)x + (4 + 2) = 6 ≠ 2$，故 $a$ 与 $b$ 不是关于1的平衡数.
解析
【分析】
本题围绕“关于1的平衡数”的新定义展开，解题核心是紧扣定义“若$a+b=2$，则$a$与$b$是关于1的平衡数”。
(1) 求某数的平衡数，直接用2减去该数即可得到对应的平衡数，代入计算即可求出两个空的答案；
(2) 判断$a$与$b$是否为关于1的平衡数，只需计算$a+b$的结果，若结果等于2则是，否则不是。计算$a+b$时要遵循整式加减的运算法则，先去括号，再合并同类项，注意去括号时的符号变化。
【解析】
(1) 设3的平衡数为$m$，根据定义得$3+m=2$，解得$m=2-3=-1$；
设$5-x$的平衡数为$n$，根据定义得$(5-x)+n=2$，解得$n=2-(5-x)=2-5+x=x-3$。
(2) 要判断$a$与$b$是否是关于1的平衡数，计算$a+b$的值：
$\begin{aligned}a+b&=2x^2 - 3(x^2 + x) + 4 + 2x - [3x - (4x + x^2) - 2]\\&=2x^2 - 3x^2 - 3x + 4 + 2x - 3x + 4x + x^2 + 2\\&=(2-3+1)x^2 + (-3+2-3+4)x + (4+2)\\&=6\end{aligned}$
因为$6≠2$，不符合“关于1的平衡数”的定义，所以$a$与$b$不是关于1的平衡数。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{x-3}$；
(2) $\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$不是关于1的平衡数，理由见解析。
【知识点】
新定义运算，整式的加减，去括号法则
【点评】
本题侧重考查对新定义的理解应用能力和整式加减的运算能力，解题的关键是抓住新定义的核心规则，运算时注意去括号的符号变化，细心合并同类项即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题围绕“关于1的平衡数”的新定义展开，解题核心是紧扣定义“若$a+b=2$，则$a$与$b$是关于1的平衡数”。
(1) 求某数的平衡数，直接用2减去该数即可得到对应的平衡数，代入计算即可求出两个空的答案；
(2) 判断$a$与$b$是否为关于1的平衡数，只需计算$a+b$的结果，若结果等于2则是，否则不是。计算$a+b$时要遵循整式加减的运算法则，先去括号，再合并同类项，注意去括号时的符号变化。
【解析】
(1) 设3的平衡数为$m$，根据定义得$3+m=2$，解得$m=2-3=-1$；
设$5-x$的平衡数为$n$，根据定义得$(5-x)+n=2$，解得$n=2-(5-x)=2-5+x=x-3$。
(2) 要判断$a$与$b$是否是关于1的平衡数，计算$a+b$的值：
$\begin{aligned}a+b&=2x^2 - 3(x^2 + x) + 4 + 2x - [3x - (4x + x^2) - 2]\\&=2x^2 - 3x^2 - 3x + 4 + 2x - 3x + 4x + x^2 + 2\\&=(2-3+1)x^2 + (-3+2-3+4)x + (4+2)\\&=6\end{aligned}$
因为$6≠2$，不符合“关于1的平衡数”的定义，所以$a$与$b$不是关于1的平衡数。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{x-3}$；
(2) $\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$不是关于1的平衡数，理由见解析。
【知识点】
新定义运算，整式的加减，去括号法则
【点评】
本题侧重考查对新定义的理解应用能力和整式加减的运算能力，解题的关键是抓住新定义的核心规则，运算时注意去括号的符号变化，细心合并同类项即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
22. 为了增强学生体质，加强体育锻炼，学校组织了春季运动会. 开幕式七(4)班有47名同学分成三个小组进行列队表演，第一组有$(3m + 4n + 2)$人，第二组比第一组的一半多6人.
(1)求第三组的人数；(用含$m$，$n$的式子表示)
(2)当$m=2$，$n=1$时，三个小组分别有多少人？
(1)求第三组的人数；(用含$m$，$n$的式子表示)
(2)当$m=2$，$n=1$时，三个小组分别有多少人？
答案
22. 解 (1)由题知，第二组有$\frac{1}{2}(3m + 4n + 2) + 6 = (\frac{3}{2}m + 2n + 7)$人，第三组有$47 - (3m + 4n + 2) - (\frac{3}{2}m + 2n + 7) = (38 - \frac{9}{2}m - 6n)$人.
(2)当$m=2$，$n=1$时，第一组有$3m + 4n + 2 = 3×2 + 4×1 + 2 = 12$(人)，第二组有$\frac{3}{2}m + 2n + 7 = \frac{3}{2}×2 + 2×1 + 7 = 12$(人)，第三组有$47 - 12 - 12 = 23$(人).
(2)当$m=2$，$n=1$时，第一组有$3m + 4n + 2 = 3×2 + 4×1 + 2 = 12$(人)，第二组有$\frac{3}{2}m + 2n + 7 = \frac{3}{2}×2 + 2×1 + 7 = 12$(人)，第三组有$47 - 12 - 12 = 23$(人).
解析
【分析】
(1) 要求第三组的人数，首先需要根据“第二组比第一组的一半多6人”的数量关系求出第二组的人数表达式，再利用“总人数=第一组人数+第二组人数+第三组人数”的关系，用总人数减去前两组的人数，通过整式的加减运算化简即可得到第三组人数的表达式。
(2) 第二问属于代数式求值问题，只需将$m=2$、$n=1$分别代入第一组、第二组的人数表达式计算出对应结果，再用总人数减去前两组人数就能得到第三组人数，也可直接代入第一问得到的第三组表达式计算验证。
【解析】
(1) 先计算第二组的人数：
已知第一组有$(3m + 4n + 2)$人，第二组比第一组的一半多6人，因此第二组人数为：
$\frac{1}{2}(3m + 4n + 2) + 6 = \frac{3}{2}m + 2n + 1 + 6 = \frac{3}{2}m + 2n + 7$（人）
总人数为47人，因此第三组人数为：
$47 - (3m + 4n + 2) - (\frac{3}{2}m + 2n + 7)$
$= 47 - 3m - 4n - 2 - \frac{3}{2}m - 2n - 7$
$= 38 - \frac{9}{2}m - 6n$（人）
(2) 当$m=2$，$n=1$时：
第一组人数：$3m + 4n + 2 = 3×2 + 4×1 + 2 = 12$（人）
第二组人数：$\frac{3}{2}m + 2n + 7 = \frac{3}{2}×2 + 2×1 + 7 = 12$（人）
第三组人数：$47 - 12 - 12 = 23$（人）
【答案】
(1) 第三组的人数为$(38 - \frac{9}{2}m - 6n)$人；
(2) 当$m=2$，$n=1$时，第一组有12人，第二组有12人，第三组有23人。
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题属于整式加减的实际应用类基础题，解题关键是理清三个小组人数的数量关系，列代数式和整式运算时要注意去括号的符号规则，代入求值时仔细计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
(1) 要求第三组的人数，首先需要根据“第二组比第一组的一半多6人”的数量关系求出第二组的人数表达式，再利用“总人数=第一组人数+第二组人数+第三组人数”的关系，用总人数减去前两组的人数，通过整式的加减运算化简即可得到第三组人数的表达式。
(2) 第二问属于代数式求值问题，只需将$m=2$、$n=1$分别代入第一组、第二组的人数表达式计算出对应结果，再用总人数减去前两组人数就能得到第三组人数，也可直接代入第一问得到的第三组表达式计算验证。
【解析】
(1) 先计算第二组的人数：
已知第一组有$(3m + 4n + 2)$人，第二组比第一组的一半多6人，因此第二组人数为：
$\frac{1}{2}(3m + 4n + 2) + 6 = \frac{3}{2}m + 2n + 1 + 6 = \frac{3}{2}m + 2n + 7$（人）
总人数为47人，因此第三组人数为：
$47 - (3m + 4n + 2) - (\frac{3}{2}m + 2n + 7)$
$= 47 - 3m - 4n - 2 - \frac{3}{2}m - 2n - 7$
$= 38 - \frac{9}{2}m - 6n$（人）
(2) 当$m=2$，$n=1$时：
第一组人数：$3m + 4n + 2 = 3×2 + 4×1 + 2 = 12$（人）
第二组人数：$\frac{3}{2}m + 2n + 7 = \frac{3}{2}×2 + 2×1 + 7 = 12$（人）
第三组人数：$47 - 12 - 12 = 23$（人）
【答案】
(1) 第三组的人数为$(38 - \frac{9}{2}m - 6n)$人；
(2) 当$m=2$，$n=1$时，第一组有12人，第二组有12人，第三组有23人。
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题属于整式加减的实际应用类基础题，解题关键是理清三个小组人数的数量关系，列代数式和整式运算时要注意去括号的符号规则，代入求值时仔细计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
