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1. 如图，将一根长8 cm的铁丝弯成一个矩形（铁丝正好全部用完且无损耗），设这个矩形的一边长为x cm，它的面积为y cm²，则y与x之间的函数关系式为
第1题图 第2题图
$y=-x^2+4x$
，当x=$2$
时，y有最大值，为$4$
。第1题图 第2题图
答案
$y=-x^2+4x$ 2 4
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先根据矩形周长公式求出已知边的邻边长度，铁丝总长8cm是矩形周长，矩形周长=2×(长+宽)，已知一边长为x cm，可算出另一边长为(4-x) cm；其次根据矩形面积=长×宽，即可列出y与x的函数关系式；最后分析得到的函数为开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值，结合二次函数顶点横坐标公式即可算出最值对应的x值和最大面积，注意边长为正，x的取值范围是0＜x＜4，顶点横坐标在该范围内，可直接计算。
【解析】
1. 推导函数关系式：
已知矩形周长为8 cm，一边长为x cm，
则矩形的另一边长为 $\frac{8}{2} - x = 4 - x$（cm），其中自变量取值范围为$0＜x＜4$。
根据矩形面积公式可得：
$y = x · (4 - x)$
整理得 $y = -x^2 + 4x$。
2. 求函数的最大值：
$y = -x^2 +4x$是二次函数，其中二次项系数$a=-1＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式 $x = -\frac{b}{2a}$，代入$a=-1,b=4$得：
$x = -\frac{4}{2×(-1)} = 2$，符合$0＜x＜4$的取值要求。
将$x=2$代入函数解析式得：
$y = -2^2 +4×2 = 4$。
即当x=2时，y取得最大值4。
【答案】
$y=-x^2+4x$；2；4
【知识点】
二次函数实际应用；矩形周长与面积计算；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数解决面积问题的基础题，核心是结合几何图形的周长、面积公式列出正确的函数解析式，再利用二次函数的性质求解最值，解题时要注意验证最值是否符合实际问题中自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：首先根据矩形周长公式求出已知边的邻边长度，铁丝总长8cm是矩形周长，矩形周长=2×(长+宽)，已知一边长为x cm，可算出另一边长为(4-x) cm；其次根据矩形面积=长×宽，即可列出y与x的函数关系式；最后分析得到的函数为开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值，结合二次函数顶点横坐标公式即可算出最值对应的x值和最大面积，注意边长为正，x的取值范围是0＜x＜4，顶点横坐标在该范围内，可直接计算。
【解析】
1. 推导函数关系式：
已知矩形周长为8 cm，一边长为x cm，
则矩形的另一边长为 $\frac{8}{2} - x = 4 - x$（cm），其中自变量取值范围为$0＜x＜4$。
根据矩形面积公式可得：
$y = x · (4 - x)$
整理得 $y = -x^2 + 4x$。
2. 求函数的最大值：
$y = -x^2 +4x$是二次函数，其中二次项系数$a=-1＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式 $x = -\frac{b}{2a}$，代入$a=-1,b=4$得：
$x = -\frac{4}{2×(-1)} = 2$，符合$0＜x＜4$的取值要求。
将$x=2$代入函数解析式得：
$y = -2^2 +4×2 = 4$。
即当x=2时，y取得最大值4。
【答案】
$y=-x^2+4x$；2；4
【知识点】
二次函数实际应用；矩形周长与面积计算；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数解决面积问题的基础题，核心是结合几何图形的周长、面积公式列出正确的函数解析式，再利用二次函数的性质求解最值，解题时要注意验证最值是否符合实际问题中自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
2.如图,这是一个长为20 m,宽为16 m的矩形花园,根据需要将它的长缩短x m,宽增加x m,要想使改造后的花园面积达到最大,则x的值为
$2$
.答案
2
解析
【分析】
这是一道二次函数求最值的实际应用问题，解题思路如下：首先明确改造后矩形花园的长和宽的表达式，再根据矩形面积公式列出面积关于x的二次函数关系式，最后结合二次函数的性质，由于二次项系数小于0，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，求出最大值对应的x值即可，注意x的取值要符合实际意义。
【解析】
设改造后花园的面积为$S\ \mathrm{m^2}$，
由题意得：改造后花园的长为$(20 - x)\ \mathrm{m}$，宽为$(16 + x)\ \mathrm{m}$，其中x的取值范围为$0≤ x＜20$。
根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=(20-x)(16+x)\\&=-x^2+4x+320\end{aligned}$
该函数是二次函数，且二次项系数$a=-1＜0$，因此函数图象开口向下，当x取顶点横坐标时，S取得最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=4$得：
$x=-\frac{4}{2×(-1)}=2$
$x=2$在$0≤ x＜20$的范围内，符合实际意义。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，核心是将实际问题转化为二次函数模型，解题时要注意先根据实际场景确定自变量的取值范围，再结合二次函数的性质求解最值，避免求出的解不符合实际要求。
【难度系数】
0.7
这是一道二次函数求最值的实际应用问题，解题思路如下：首先明确改造后矩形花园的长和宽的表达式，再根据矩形面积公式列出面积关于x的二次函数关系式，最后结合二次函数的性质，由于二次项系数小于0，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，求出最大值对应的x值即可，注意x的取值要符合实际意义。
【解析】
设改造后花园的面积为$S\ \mathrm{m^2}$，
由题意得：改造后花园的长为$(20 - x)\ \mathrm{m}$，宽为$(16 + x)\ \mathrm{m}$，其中x的取值范围为$0≤ x＜20$。
根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=(20-x)(16+x)\\&=-x^2+4x+320\end{aligned}$
该函数是二次函数，且二次项系数$a=-1＜0$，因此函数图象开口向下，当x取顶点横坐标时，S取得最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=4$得：
$x=-\frac{4}{2×(-1)}=2$
$x=2$在$0≤ x＜20$的范围内，符合实际意义。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，核心是将实际问题转化为二次函数模型，解题时要注意先根据实际场景确定自变量的取值范围，再结合二次函数的性质求解最值，避免求出的解不符合实际要求。
【难度系数】
0.7
3. 如图，ABCD是一块边长为2 m的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板材.当AM的长为何值时，截取的板材面积最小？
答案
解:设$AM=x$ m,则$MB=(2-x)$m,以AM和BM为边的两个正方形的面积之和为$y\ \mathrm{m}^2$.根据题意,得$y=x^2+(2-x)^2=2(x-1)^2+2. \because 2＞0,\therefore$当$x=1$时,$y$取最小值.答:当AM的长为1 m时,截取的板材面积最小.
解析
【分析】
这是一道利用二次函数解决实际最值的问题，解题思路如下：首先设定自变量，设AM的长度为x m，根据正方形ABCD的边长为2m，可推出MB的长度为(2-x)m；接下来，截取的两块板材的总面积等于以AM、MB为边长的两个正方形的面积之和，据此可列出总面积y关于x的函数关系式；最后将函数关系式整理为二次函数的顶点式，结合二次函数的开口方向判断最值位置，即可求出对应AM的长度。
【解析】
解：设$AM=x$ m，则$MB=(2-x)$m，设以AM和BM为边的两个正方形的面积之和为$y\ \mathrm{m}^2$。
根据题意，得：
$y=x^2+(2-x)^2$
整理得：$y=2x^2-4x+4=2(x-1)^2+2$
$\because 2＞0$，
$\therefore$该二次函数图象开口向上，当$x=1$时，$y$取得最小值。
【答案】
当AM的长为1 m时，截取的板材面积最小。
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的最值，正方形面积计算
【点评】
本题属于二次函数的基础应用类题目，解题关键是结合题意正确建立面积关于边长的二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，掌握二次函数的图象与性质是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
这是一道利用二次函数解决实际最值的问题，解题思路如下：首先设定自变量，设AM的长度为x m，根据正方形ABCD的边长为2m，可推出MB的长度为(2-x)m；接下来，截取的两块板材的总面积等于以AM、MB为边长的两个正方形的面积之和，据此可列出总面积y关于x的函数关系式；最后将函数关系式整理为二次函数的顶点式，结合二次函数的开口方向判断最值位置，即可求出对应AM的长度。
【解析】
解：设$AM=x$ m，则$MB=(2-x)$m，设以AM和BM为边的两个正方形的面积之和为$y\ \mathrm{m}^2$。
根据题意，得：
$y=x^2+(2-x)^2$
整理得：$y=2x^2-4x+4=2(x-1)^2+2$
$\because 2＞0$，
$\therefore$该二次函数图象开口向上，当$x=1$时，$y$取得最小值。
【答案】
当AM的长为1 m时，截取的板材面积最小。
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的最值，正方形面积计算
【点评】
本题属于二次函数的基础应用类题目，解题关键是结合题意正确建立面积关于边长的二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，掌握二次函数的图象与性质是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
4.用长为6 m的铝合金型材制作一个形状如图所示的矩形窗框.当窗框的高与宽各为多少时,它的透光面积最大?最大透光面积是多少?(铝合金型材宽度不计)
答案
解:设窗框的宽为$x$ m,则高为$\frac{6-3x}{2}=(3-\frac{3}{2}x)$m,设窗框的面积为$S\ \mathrm{m}^2$.根据题意,得$S=x(3-\frac{3}{2}x)=-\frac{3}{2}x^2+3x=-\frac{3}{2}(x-1)^2+\frac{3}{2}$.当$x=1$时,$S$取得最大值,$S_{最大}=\frac{3}{2}$,此时$3-\frac{3}{2}x=\frac{3}{2}$.答:当窗框的高和宽分别是$\frac{3}{2}$ m和1 m时,它的透光面积最大,最大透光面积是$\frac{3}{2}\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
这是一道利用二次函数求解实际问题中最大值的题目。首先观察窗框结构可知，窗框包含3段宽、2段高，铝合金总长度为6m，我们可以先设宽为未知数，根据总长度用含未知数的式子表示出高；再结合矩形面积公式列出面积关于宽的二次函数关系式；最后根据二次函数的性质，开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，据此求出最值及对应的宽、高的取值即可，求解时要注意边长取值需符合实际意义（为正数）。
【解析】
解：设窗框的宽为$x$ m，由铝合金型材总长为6m，可得窗框的高为$\frac{6-3x}{2}=(3-\frac{3}{2}x)$ m。
设窗框的透光面积为$S\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S &= x(3-\frac{3}{2}x) \\&= -\frac{3}{2}x^2 +3x \\&= -\frac{3}{2}(x^2-2x) \\&= -\frac{3}{2}(x-1)^2 +\frac{3}{2}\end{aligned}$
$\because$ 二次函数的二次项系数$a=-\frac{3}{2}＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore$ 当$x=1$时，$S$取得最大值，此时$S_{\mathrm{最大}}=\frac{3}{2}$。
对应的高为$3-\frac{3}{2}×1=\frac{3}{2}$ m，边长均为正数，符合实际意义。
答：当窗框的高为$\frac{3}{2}$ m，宽为1 m时，它的透光面积最大，最大透光面积是$\frac{3}{2}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
当窗框的宽为1 m，高为$\frac{3}{2}$ m时，透光面积最大，最大透光面积为$\frac{3}{2}\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数最值；二次函数实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决面积最值的基础题型，解题核心是结合图形梳理清楚边长的等量关系，准确列出面积的函数表达式，再利用二次函数性质求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数求解实际问题中最大值的题目。首先观察窗框结构可知，窗框包含3段宽、2段高，铝合金总长度为6m，我们可以先设宽为未知数，根据总长度用含未知数的式子表示出高；再结合矩形面积公式列出面积关于宽的二次函数关系式；最后根据二次函数的性质，开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，据此求出最值及对应的宽、高的取值即可，求解时要注意边长取值需符合实际意义（为正数）。
【解析】
解：设窗框的宽为$x$ m，由铝合金型材总长为6m，可得窗框的高为$\frac{6-3x}{2}=(3-\frac{3}{2}x)$ m。
设窗框的透光面积为$S\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S &= x(3-\frac{3}{2}x) \\&= -\frac{3}{2}x^2 +3x \\&= -\frac{3}{2}(x^2-2x) \\&= -\frac{3}{2}(x-1)^2 +\frac{3}{2}\end{aligned}$
$\because$ 二次函数的二次项系数$a=-\frac{3}{2}＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore$ 当$x=1$时，$S$取得最大值，此时$S_{\mathrm{最大}}=\frac{3}{2}$。
对应的高为$3-\frac{3}{2}×1=\frac{3}{2}$ m，边长均为正数，符合实际意义。
答：当窗框的高为$\frac{3}{2}$ m，宽为1 m时，它的透光面积最大，最大透光面积是$\frac{3}{2}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
当窗框的宽为1 m，高为$\frac{3}{2}$ m时，透光面积最大，最大透光面积为$\frac{3}{2}\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数最值；二次函数实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决面积最值的基础题型，解题核心是结合图形梳理清楚边长的等量关系，准确列出面积的函数表达式，再利用二次函数性质求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
5. A教材经典设问 小磊要制作一个三角形钢架模型，在这个三角形中，长度为x的边与这条边上的高的长度之和为20，则这个三角形的最大面积为（
A.25
B.50
C.100
D.200
B
）A.25
B.50
C.100
D.200
答案
B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆三角形面积的计算公式，结合题目给出的“边长为x的边与这条边上的高之和为20”的条件，先表示出这条边上的高，再将面积表示为关于x的二次函数，最后利用二次函数的最值性质求解最大面积即可，过程中要注意边长和高都为正数，确定x的合理取值范围。
【解析】
设这个三角形的面积为S，
已知长度为x的边对应的高为$(20 - x)$，根据三角形面积公式可得：
$S = \frac{1}{2} × 底 × 高 = \frac{1}{2}x(20 - x)$
整理得：$S = -\frac{1}{2}x^2 + 10x$
这是关于x的二次函数，其中$a=-\frac{1}{2}＜0$，所以S存在最大值。
二次函数顶点横坐标为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2×(-\frac{1}{2})} = 10$，符合$0＜x＜20$的取值要求。
将x=10代入面积公式，得最大值$S_{max} = \frac{1}{2} × 10 × (20 - 10) = 50$
【答案】
B
【知识点】
三角形面积计算，二次函数的最值，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数解决面积最值问题的典型题型，解题关键是结合已知条件建立面积关于边长的二次函数解析式，再利用二次函数的性质求最值，解题时要注意自变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆三角形面积的计算公式，结合题目给出的“边长为x的边与这条边上的高之和为20”的条件，先表示出这条边上的高，再将面积表示为关于x的二次函数，最后利用二次函数的最值性质求解最大面积即可，过程中要注意边长和高都为正数，确定x的合理取值范围。
【解析】
设这个三角形的面积为S，
已知长度为x的边对应的高为$(20 - x)$，根据三角形面积公式可得：
$S = \frac{1}{2} × 底 × 高 = \frac{1}{2}x(20 - x)$
整理得：$S = -\frac{1}{2}x^2 + 10x$
这是关于x的二次函数，其中$a=-\frac{1}{2}＜0$，所以S存在最大值。
二次函数顶点横坐标为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2×(-\frac{1}{2})} = 10$，符合$0＜x＜20$的取值要求。
将x=10代入面积公式，得最大值$S_{max} = \frac{1}{2} × 10 × (20 - 10) = 50$
【答案】
B
【知识点】
三角形面积计算，二次函数的最值，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数解决面积最值问题的典型题型，解题关键是结合已知条件建立面积关于边长的二次函数解析式，再利用二次函数的性质求最值，解题时要注意自变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=4\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$,在$△ ABC$的内部作一个矩形$DBFE$,其中$DB,BF$在两直角边上.设$BF=x\ \mathrm{cm}$.
(1)$AD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$,$BD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.(用含$x$的代数式表示)
(2)设矩形$DBFE$的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$.
①求$y$与$x$之间的函数关系式.
②当$x$取何值时,$y$的值最大?最大值是多少?
(1)$AD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$,$BD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.(用含$x$的代数式表示)
(2)设矩形$DBFE$的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$.
①求$y$与$x$之间的函数关系式.
②当$x$取何值时,$y$的值最大?最大值是多少?
答案
(1)$\frac{x}{2}$ $(4-\frac{x}{2})$ (2)①根据题意,得$y=BD·BF=(4-\frac{x}{2})x$. $\therefore y=-\frac{1}{2}x^2+4x$. ②$\because y=-\frac{1}{2}x^2+4x=-\frac{1}{2}(x-4)^2+8$,$\therefore$当$x=4$时,$y$的值最大,最大值是8.
解析
【分析】
(1) 首先由矩形性质可得DE平行且等于BF，进而推出△ADE与△ABC相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出AD的长度，再用AB的长度减去AD即可得到BD的长度。(2) ①矩形面积等于相邻两边长度的乘积，将BD、BF的表达式代入即可得到y与x的函数关系式；②所得函数是二次函数，且二次项系数小于0，图象开口向下，通过配方法将函数化为顶点式，即可求出y的最大值及对应的x值。
【解析】
(1)
∵四边形DBFE是矩形，
∴$DE=BF=x\ \mathrm{cm}$，$DE// BC$，
∴$△ ADE ∽ △ ABC$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
将$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$代入得：$\frac{AD}{4}=\frac{x}{8}$，解得$AD=\frac{x}{2}\ \mathrm{cm}$，
∴$BD=AB-AD=4-\frac{x}{2}\ \mathrm{cm}$。
(2) ①矩形的面积等于相邻两边的乘积，即$y=BD· BF$，
将$BD=4-\frac{x}{2}$，$BF=x$代入得：
$y=x(4-\frac{x}{2})=-\frac{1}{2}x^2+4x$（$0＜x＜8$）。
②对函数解析式配方：
$y=-\frac{1}{2}x^2+4x=-\frac{1}{2}(x^2-8x)=-\frac{1}{2}(x^2-8x+16-16)=-\frac{1}{2}(x-4)^2+8$，
∵$-\frac{1}{2}＜0$，
∴该二次函数图象开口向下，
∴当$x=4$时，$y$取得最大值，最大值为$8$。
【答案】
(1)$\frac{x}{2}$；$4-\frac{x}{2}$
(2)①$y=-\frac{1}{2}x^2+4x$；②当$x=4$时，$y$的值最大，最大值是$8$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；列二次函数关系式；二次函数的最值
【点评】
本题综合考查了相似三角形和二次函数的应用，解题的核心是利用相似三角形的性质得到线段的数量关系，再结合二次函数的性质求解面积最值，属于基础的几何与函数结合题型。
【难度系数】
0.7
(1) 首先由矩形性质可得DE平行且等于BF，进而推出△ADE与△ABC相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出AD的长度，再用AB的长度减去AD即可得到BD的长度。(2) ①矩形面积等于相邻两边长度的乘积，将BD、BF的表达式代入即可得到y与x的函数关系式；②所得函数是二次函数，且二次项系数小于0，图象开口向下，通过配方法将函数化为顶点式，即可求出y的最大值及对应的x值。
【解析】
(1)
∵四边形DBFE是矩形，
∴$DE=BF=x\ \mathrm{cm}$，$DE// BC$，
∴$△ ADE ∽ △ ABC$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
将$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$代入得：$\frac{AD}{4}=\frac{x}{8}$，解得$AD=\frac{x}{2}\ \mathrm{cm}$，
∴$BD=AB-AD=4-\frac{x}{2}\ \mathrm{cm}$。
(2) ①矩形的面积等于相邻两边的乘积，即$y=BD· BF$，
将$BD=4-\frac{x}{2}$，$BF=x$代入得：
$y=x(4-\frac{x}{2})=-\frac{1}{2}x^2+4x$（$0＜x＜8$）。
②对函数解析式配方：
$y=-\frac{1}{2}x^2+4x=-\frac{1}{2}(x^2-8x)=-\frac{1}{2}(x^2-8x+16-16)=-\frac{1}{2}(x-4)^2+8$，
∵$-\frac{1}{2}＜0$，
∴该二次函数图象开口向下，
∴当$x=4$时，$y$取得最大值，最大值为$8$。
【答案】
(1)$\frac{x}{2}$；$4-\frac{x}{2}$
(2)①$y=-\frac{1}{2}x^2+4x$；②当$x=4$时，$y$的值最大，最大值是$8$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；列二次函数关系式；二次函数的最值
【点评】
本题综合考查了相似三角形和二次函数的应用，解题的核心是利用相似三角形的性质得到线段的数量关系，再结合二次函数的性质求解面积最值，属于基础的几何与函数结合题型。
【难度系数】
0.7
