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9. 如图，抛物线 $ y = ax^2 + bx + 4 $ 经过点 $ A(-3, 0) $，点 $ B $ 在抛物线上，$ BC // x $ 轴，且 $ AB $ 平分 $ ∠ CAO $，求此抛物线的表达式. 
答案
解:$\because$抛物线$y=ax^2+bx+4$与$y$轴交于点$C$,$\therefore C(0,4). \therefore OC=4$. $\because A(-3,0)$,$\therefore OA=3$. $\therefore AC=5$. $\because AB$平分$∠ CAO$,$\therefore ∠ BAC=∠ BAO$. $\because BC// x$轴,$\therefore ∠ CBA=∠ BAO$. $\therefore ∠ BAC=∠ CBA$. $\therefore CB=CA=5$. $\therefore B(5,4)$.把点$A(-3,0),B(5,4)$分别代入$y=ax^2+bx+4$,得$\begin{cases}9a-3b+4=0,\\25a+5b+4=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{6},\\b=\dfrac{5}{6}.\end{cases}$ $\therefore$抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{6}x^2+\dfrac{5}{6}x+4$.
解析
【分析】
解题时首先确定抛物线与y轴的交点C的坐标，结合已知点A的坐标用勾股定理计算AC的长度；再利用角平分线的性质和平行线的内错角相等的性质，推导得到△ABC为等腰三角形，从而求出点B的坐标；最后将A、B两点坐标代入抛物线解析式，解二元一次方程组求出系数a、b的值，即可得到抛物线的表达式。
【解析】
解：$\because$抛物线$y=ax^2+bx+4$与$y$轴交于点$C$，
$\therefore$当$x=0$时，$y=4$，即$C(0,4)$，$\therefore OC=4$。
$\because A(-3,0)$，$\therefore OA=3$。
在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\because AB$平分$∠ CAO$，$\therefore ∠ BAC=∠ BAO$。
$\because BC// x$轴，$\therefore ∠ CBA=∠ BAO$（两直线平行，内错角相等）。
$\therefore ∠ BAC=∠ CBA$，$\therefore CB=CA=5$（等角对等边）。
$\because$点B纵坐标与C相同为4，横坐标为5，$\therefore B(5,4)$。
把点$A(-3,0),B(5,4)$分别代入$y=ax^2+bx+4$，得：
$\begin{cases}9a-3b+4=0\\25a+5b+4=4\end{cases}$
化简第二个方程得$25a+5b=0$，即$b=-5a$，代入第一个方程得：
$9a-3×(-5a)+4=0$，解得$a=-\dfrac{1}{6}$，则$b=\dfrac{5}{6}$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{6}x^2+\dfrac{5}{6}x+4$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；角平分线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是二次函数与平面几何结合的基础题型，解题关键是借助几何性质求出未知点B的坐标，再用待定系数法求解函数表达式，能够有效考查学生对几何性质和函数求解方法的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先确定抛物线与y轴的交点C的坐标，结合已知点A的坐标用勾股定理计算AC的长度；再利用角平分线的性质和平行线的内错角相等的性质，推导得到△ABC为等腰三角形，从而求出点B的坐标；最后将A、B两点坐标代入抛物线解析式，解二元一次方程组求出系数a、b的值，即可得到抛物线的表达式。
【解析】
解：$\because$抛物线$y=ax^2+bx+4$与$y$轴交于点$C$，
$\therefore$当$x=0$时，$y=4$，即$C(0,4)$，$\therefore OC=4$。
$\because A(-3,0)$，$\therefore OA=3$。
在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\because AB$平分$∠ CAO$，$\therefore ∠ BAC=∠ BAO$。
$\because BC// x$轴，$\therefore ∠ CBA=∠ BAO$（两直线平行，内错角相等）。
$\therefore ∠ BAC=∠ CBA$，$\therefore CB=CA=5$（等角对等边）。
$\because$点B纵坐标与C相同为4，横坐标为5，$\therefore B(5,4)$。
把点$A(-3,0),B(5,4)$分别代入$y=ax^2+bx+4$，得：
$\begin{cases}9a-3b+4=0\\25a+5b+4=4\end{cases}$
化简第二个方程得$25a+5b=0$，即$b=-5a$，代入第一个方程得：
$9a-3×(-5a)+4=0$，解得$a=-\dfrac{1}{6}$，则$b=\dfrac{5}{6}$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{6}x^2+\dfrac{5}{6}x+4$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；角平分线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是二次函数与平面几何结合的基础题型，解题关键是借助几何性质求出未知点B的坐标，再用待定系数法求解函数表达式，能够有效考查学生对几何性质和函数求解方法的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
10. 生活情境·晾衣绳采用自然光晾晒衣物，不仅可以去除湿气，而且可以借助阳光中的紫外线杀菌除螨，使衣物的清洁度更高. 图1是辰辰家房前晾衣服的实景图，图2是它的示意图，绑晾衣绳的铁柱AO和DC均垂直于地面，当晾衣绳的两端均绑在两根铁柱的顶部时，晾衣绳AD的形状可以近似地看作一条抛物线. 如图2，辰辰以水平地面OC为x轴，铁柱AO所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 抛物线部分满足函数表达式$y=\frac{1}{16}x^2+bx+c$，已知铁柱AO和DC的高度均为2.5 m，OC=8 m. 
(1)求该抛物线的表达式.
(2)为防止衣物碰到地面，当晾衣绳的最低点E到地面OC的距离不小于1.4 m时，才可以正常晾晒衣物，通过计算说明，辰辰家的晾衣绳能否正常晾晒衣物.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)为防止衣物碰到地面，当晾衣绳的最低点E到地面OC的距离不小于1.4 m时，才可以正常晾晒衣物，通过计算说明，辰辰家的晾衣绳能否正常晾晒衣物.
答案
解:(1)由题意可得,抛物线过点$(0,2.5)$,对称轴是直线$x=4$. $\therefore c=\dfrac{5}{2}$,$-\dfrac{b}{2×\dfrac{1}{16}}=4$. $\therefore b=-\dfrac{1}{2}$. $\therefore$该抛物线的表达式为$y=\dfrac{1}{16}x^2-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$.
(2)由(1)得,$y=\dfrac{1}{16}x^2-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{16}(x^2-8x+16)+\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{16}(x-4)^2+\dfrac{3}{2}$,$\therefore$当$x=4$时,抛物线的最低点$E$到地面$OC$的距离为$1.5\ \mathrm{m}$. $\because 1.5＞1.4$,$\therefore$可以正常晾晒衣物.
(2)由(1)得,$y=\dfrac{1}{16}x^2-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{16}(x^2-8x+16)+\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{16}(x-4)^2+\dfrac{3}{2}$,$\therefore$当$x=4$时,抛物线的最低点$E$到地面$OC$的距离为$1.5\ \mathrm{m}$. $\because 1.5＞1.4$,$\therefore$可以正常晾晒衣物.
解析
【分析】
(1) 要求抛物线表达式，已知解析式为$y=\frac{1}{16}x^2+bx+c$，仅需确定未知系数$b$、$c$即可。首先由铁柱AO高2.5m，可得抛物线过点$A(0,2.5)$，代入解析式可直接求出$c$；又因为AO和DC高度相同、OC=8m，说明点$A(0,2.5)$和$D(8,2.5)$是抛物线上的对称点，可得抛物线对称轴为直线$x=4$，结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$（$a=\frac{1}{16}$）即可求出$b$，进而得到抛物线表达式。
(2) 要判断能否正常晾晒，需先求晾衣绳最低点到地面的距离，即开口向上的抛物线的顶点纵坐标。将第一问得到的一般式配方为顶点式，即可得到顶点纵坐标，再和1.4m比较大小，若大于等于1.4m即可正常晾晒。
【解析】
(1) 由题意得，抛物线过点$A(0,2.5)$，且点$A(0,2.5)$与$D(8,2.5)$关于抛物线对称轴对称，
∴ 抛物线对称轴为直线$x=\frac{0+8}{2}=4$，将$x=0,y=2.5$代入$y=\frac{1}{16}x^2+bx+c$，得$c=2.5=\frac{5}{2}$，
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=\frac{1}{16}$、$x=4$得：$-\frac{b}{2×\frac{1}{16}}=4$，解得$b=-\frac{1}{2}$，
∴ 抛物线的表达式为$y=\frac{1}{16}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$。
(2) 将解析式配方为顶点式：
$y=\frac{1}{16}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}=\frac{1}{16}(x^2-8x+16)+\frac{3}{2}=\frac{1}{16}(x-4)^2+\frac{3}{2}$，
∵ $\frac{1}{16}＞0$，抛物线开口向上，顶点为最低点，当$x=4$时，$y$取最小值$\frac{3}{2}=1.5\ \mathrm{m}$，
即最低点E到地面OC的距离为1.5m，
∵ $1.5＞1.4$，
∴ 辰辰家的晾衣绳能正常晾晒衣物。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{16}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$；
(2) 能正常晾晒衣物。
【知识点】
确定二次函数表达式，二次函数的最值，二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的晾衣绳场景考查二次函数的应用，解题关键是从实际情境中提取有效几何信息，转化为二次函数的代数条件求解，体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.8
(1) 要求抛物线表达式，已知解析式为$y=\frac{1}{16}x^2+bx+c$，仅需确定未知系数$b$、$c$即可。首先由铁柱AO高2.5m，可得抛物线过点$A(0,2.5)$，代入解析式可直接求出$c$；又因为AO和DC高度相同、OC=8m，说明点$A(0,2.5)$和$D(8,2.5)$是抛物线上的对称点，可得抛物线对称轴为直线$x=4$，结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$（$a=\frac{1}{16}$）即可求出$b$，进而得到抛物线表达式。
(2) 要判断能否正常晾晒，需先求晾衣绳最低点到地面的距离，即开口向上的抛物线的顶点纵坐标。将第一问得到的一般式配方为顶点式，即可得到顶点纵坐标，再和1.4m比较大小，若大于等于1.4m即可正常晾晒。
【解析】
(1) 由题意得，抛物线过点$A(0,2.5)$，且点$A(0,2.5)$与$D(8,2.5)$关于抛物线对称轴对称，
∴ 抛物线对称轴为直线$x=\frac{0+8}{2}=4$，将$x=0,y=2.5$代入$y=\frac{1}{16}x^2+bx+c$，得$c=2.5=\frac{5}{2}$，
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=\frac{1}{16}$、$x=4$得：$-\frac{b}{2×\frac{1}{16}}=4$，解得$b=-\frac{1}{2}$，
∴ 抛物线的表达式为$y=\frac{1}{16}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$。
(2) 将解析式配方为顶点式：
$y=\frac{1}{16}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}=\frac{1}{16}(x^2-8x+16)+\frac{3}{2}=\frac{1}{16}(x-4)^2+\frac{3}{2}$，
∵ $\frac{1}{16}＞0$，抛物线开口向上，顶点为最低点，当$x=4$时，$y$取最小值$\frac{3}{2}=1.5\ \mathrm{m}$，
即最低点E到地面OC的距离为1.5m，
∵ $1.5＞1.4$，
∴ 辰辰家的晾衣绳能正常晾晒衣物。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{16}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$；
(2) 能正常晾晒衣物。
【知识点】
确定二次函数表达式，二次函数的最值，二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的晾衣绳场景考查二次函数的应用，解题关键是从实际情境中提取有效几何信息，转化为二次函数的代数条件求解，体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.8
1.将二次函数$y=x^2 -2x +1$的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线$y=x^2 +bx +c$，则$b,c$的值分别为（
A.$1,3$
B.$-5,3$
C.$4,6$
D.$-4,6$
C
）A.$1,3$
B.$-5,3$
C.$4,6$
D.$-4,6$
答案
1.C
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”。首先可将原二次函数化为顶点式，方便后续平移操作，再按照平移要求对解析式进行变换，最后将变换后的解析式化为一般式，和目标解析式对比系数即可求出b、c的值。也可以通过平移原抛物线的顶点坐标，直接写出平移后抛物线的顶点式，再展开求系数。
【解析】
第一步：将原二次函数化为顶点式
原函数$y=x^2-2x+1$是完全平方式，可化为：$y=(x-1)^2$，其顶点坐标为$(1,0)$。
第二步：根据平移规则写出平移后的解析式
按照平移要求：图象向上平移2个单位长度，纵坐标加2；向左平移3个单位长度，横坐标加3。
代入平移规律得平移后的解析式为：
$y=(x-1+3)^2 + 2$，即$y=(x+2)^2 +2$。
第三步：将顶点式展开为一般式，对比系数
展开得：$y=x^2+4x+4+2=x^2+4x+6$。
与$y=x^2+bx+c$对比，可得$b=4$，$c=6$。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数图象平移规律
2.二次函数顶点式与一般式互化
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，重点考查平移规律的应用，直接变换解析式、平移顶点坐标两种求解方法都需要熟练掌握，解题时注意“左加右减”是针对自变量x的变换，避免因运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”。首先可将原二次函数化为顶点式，方便后续平移操作，再按照平移要求对解析式进行变换，最后将变换后的解析式化为一般式，和目标解析式对比系数即可求出b、c的值。也可以通过平移原抛物线的顶点坐标，直接写出平移后抛物线的顶点式，再展开求系数。
【解析】
第一步：将原二次函数化为顶点式
原函数$y=x^2-2x+1$是完全平方式，可化为：$y=(x-1)^2$，其顶点坐标为$(1,0)$。
第二步：根据平移规则写出平移后的解析式
按照平移要求：图象向上平移2个单位长度，纵坐标加2；向左平移3个单位长度，横坐标加3。
代入平移规律得平移后的解析式为：
$y=(x-1+3)^2 + 2$，即$y=(x+2)^2 +2$。
第三步：将顶点式展开为一般式，对比系数
展开得：$y=x^2+4x+4+2=x^2+4x+6$。
与$y=x^2+bx+c$对比，可得$b=4$，$c=6$。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数图象平移规律
2.二次函数顶点式与一般式互化
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，重点考查平移规律的应用，直接变换解析式、平移顶点坐标两种求解方法都需要熟练掌握，解题时注意“左加右减”是针对自变量x的变换，避免因运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.8
【例】 已知抛物线 $y=-x^2+4x+2$，求该抛物线分别关于 $x$ 轴、$y$ 轴对称的抛物线的表达式。
【方法一】第一步，配成顶点式：将 $y=-x^2+4x+2$ 配成顶点式，得 $y=\underline{\hspace{8cm}}$。
第二步，确定对称后 $a$ 的值和顶点坐标：
①关于 $x$ 轴对称后 $a$ 的值为 $\underline{\hspace{2cm}}$，顶点坐标为 $\underline{\hspace{5cm}}$。
②关于 $y$ 轴对称后 $a$ 的值为 $\underline{\hspace{2cm}}$，顶点坐标为 $\underline{\hspace{5cm}}$。
第三步，写出对称后的函数表达式：
①关于 $x$ 轴对称后的函数表达式为 $y=\underline{\hspace{6cm}}$。
②关于 $y$ 轴对称后的函数表达式为 $y=\underline{\hspace{6cm}}$。
【方法二】抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 关于 $x$ 轴对称后，将 $y$ 用 $-y$ 代入，得到的抛物线表达式为 $y=-ax^2-bx-c$；抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 关于 $y$ 轴对称后，将 $x$ 用 $-x$ 代入，得到的抛物线表达式为 $y=ax^2-bx+c$。
【方法一】第一步，配成顶点式：将 $y=-x^2+4x+2$ 配成顶点式，得 $y=\underline{\hspace{8cm}}$。
第二步，确定对称后 $a$ 的值和顶点坐标：
①关于 $x$ 轴对称后 $a$ 的值为 $\underline{\hspace{2cm}}$，顶点坐标为 $\underline{\hspace{5cm}}$。
②关于 $y$ 轴对称后 $a$ 的值为 $\underline{\hspace{2cm}}$，顶点坐标为 $\underline{\hspace{5cm}}$。
第三步，写出对称后的函数表达式：
①关于 $x$ 轴对称后的函数表达式为 $y=\underline{\hspace{6cm}}$。
②关于 $y$ 轴对称后的函数表达式为 $y=\underline{\hspace{6cm}}$。
【方法二】抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 关于 $x$ 轴对称后，将 $y$ 用 $-y$ 代入，得到的抛物线表达式为 $y=-ax^2-bx-c$；抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 关于 $y$ 轴对称后，将 $x$ 用 $-x$ 代入，得到的抛物线表达式为 $y=ax^2-bx+c$。
答案
【例】 $-(x-2)^2+6$ $1$ $(2,-6)$ $-1$ $(-2,6)$ $(x-2)^2-6$ $-(x+2)^2+6$
解析
【分析】
要求抛物线关于x轴、y轴对称的解析式，可先将原抛物线的一般式通过配方法转化为顶点式，确定原抛物线的二次项系数a和顶点坐标；再根据轴对称的坐标变化规律：关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，推导对称后抛物线的a值（开口大小不变，关于x轴对称开口反向，a变为原数的相反数；关于y轴对称开口方向不变，a不变）和新顶点坐标，最后代入顶点式即可得到对称后的解析式。
【解析】
第一步，配成顶点式：
对$y=-x^2+4x+2$进行配方，先提取二次项系数：
$y=-(x^2-4x)+2$
括号内凑完全平方并调整常数项：
$y=-(x^2-4x+4-4)+2=-(x-2)^2+4+2=-(x-2)^2+6$
可得原抛物线$a=-1$，顶点坐标为$(2,6)$。
第二步，确定对称后$a$的值和顶点坐标：
①关于x轴对称：开口方向与原抛物线相反，因此$a=-(-1)=1$；顶点坐标横坐标不变，纵坐标取相反数，即$(2,-6)$。
②关于y轴对称：开口方向与原抛物线相同，因此$a=-1$；顶点坐标纵坐标不变，横坐标取相反数，即$(-2,6)$。
第三步，写出对称后的函数表达式：
①关于x轴对称：代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$，得$y=1·(x-2)^2+(-6)=(x-2)^2-6$。
②关于y轴对称：代入顶点式得$y=-1·[x-(-2)]^2+6=-(x+2)^2+6$。
【答案】
$-(x-2)^2+6$；$1$；$(2,-6)$；$-1$；$(-2,6)$；$(x-2)^2-6$；$-(x+2)^2+6$
【知识点】
配方法化二次函数顶点式；二次函数轴对称变换；点的轴对称坐标规律
【点评】
本题考查二次函数的轴对称变换，既可以通过顶点变化推导解析式，也可以通过坐标替换法直接求解，熟练掌握两种方法能快速解决同类对称变换问题。
【难度系数】
0.8
要求抛物线关于x轴、y轴对称的解析式，可先将原抛物线的一般式通过配方法转化为顶点式，确定原抛物线的二次项系数a和顶点坐标；再根据轴对称的坐标变化规律：关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，推导对称后抛物线的a值（开口大小不变，关于x轴对称开口反向，a变为原数的相反数；关于y轴对称开口方向不变，a不变）和新顶点坐标，最后代入顶点式即可得到对称后的解析式。
【解析】
第一步，配成顶点式：
对$y=-x^2+4x+2$进行配方，先提取二次项系数：
$y=-(x^2-4x)+2$
括号内凑完全平方并调整常数项：
$y=-(x^2-4x+4-4)+2=-(x-2)^2+4+2=-(x-2)^2+6$
可得原抛物线$a=-1$，顶点坐标为$(2,6)$。
第二步，确定对称后$a$的值和顶点坐标：
①关于x轴对称：开口方向与原抛物线相反，因此$a=-(-1)=1$；顶点坐标横坐标不变，纵坐标取相反数，即$(2,-6)$。
②关于y轴对称：开口方向与原抛物线相同，因此$a=-1$；顶点坐标纵坐标不变，横坐标取相反数，即$(-2,6)$。
第三步，写出对称后的函数表达式：
①关于x轴对称：代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$，得$y=1·(x-2)^2+(-6)=(x-2)^2-6$。
②关于y轴对称：代入顶点式得$y=-1·[x-(-2)]^2+6=-(x+2)^2+6$。
【答案】
$-(x-2)^2+6$；$1$；$(2,-6)$；$-1$；$(-2,6)$；$(x-2)^2-6$；$-(x+2)^2+6$
【知识点】
配方法化二次函数顶点式；二次函数轴对称变换；点的轴对称坐标规律
【点评】
本题考查二次函数的轴对称变换，既可以通过顶点变化推导解析式，也可以通过坐标替换法直接求解，熟练掌握两种方法能快速解决同类对称变换问题。
【难度系数】
0.8
2. 抛物线 $y=-2(x-1)^2+3$ 关于x轴对称后得到新抛物线的表达式为 。
答案
2.$y=2(x-1)^2-3$
解析
【分析】
解决这道题可从两个符合学段要求的思路入手：① 坐标变换规律：关于x轴对称的两个点横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此只需将原抛物线表达式中的y替换为-y，整理后即可得到新抛物线的表达式；② 顶点式变换：先确定原抛物线的顶点坐标，求出该顶点关于x轴对称的坐标，再结合轴对称后抛物线开口方向相反（二次项系数变为原数的相反数），利用顶点式直接写出新表达式。
【解析】
方法一：利用坐标变换规律求解
关于x轴对称的点满足横坐标不变、纵坐标互为相反数，因此将原抛物线$y=-2(x-1)^2+3$中的$y$替换为$-y$，$x$保持不变，可得：
$-y=-2(x-1)^2+3$
等式两边同时乘$-1$，整理得：$y=2(x-1)^2-3$
方法二：利用顶点式变换求解
原抛物线$y=-2(x-1)^2+3$为顶点式，其顶点坐标为$(1,3)$，二次项系数$a=-2$，开口向下。
抛物线关于x轴对称后，顶点也同步关于x轴对称，新顶点坐标为$(1,-3)$，且开口方向变为向上，即新二次项系数$a=2$。
代入二次函数顶点式可得新抛物线表达式为：$y=2(x-1)^2-3$
【答案】
$y=2(x-1)^2-3$
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征；二次函数顶点式；二次函数图象变换
【点评】
本题考查二次函数的轴对称变换，解题核心是掌握坐标轴对称的坐标变化规律，也可通过确定变换后的顶点和开口方向快速求解，是二次函数图象变换类的基础常考题。
【难度系数】
0.8
解决这道题可从两个符合学段要求的思路入手：① 坐标变换规律：关于x轴对称的两个点横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此只需将原抛物线表达式中的y替换为-y，整理后即可得到新抛物线的表达式；② 顶点式变换：先确定原抛物线的顶点坐标，求出该顶点关于x轴对称的坐标，再结合轴对称后抛物线开口方向相反（二次项系数变为原数的相反数），利用顶点式直接写出新表达式。
【解析】
方法一：利用坐标变换规律求解
关于x轴对称的点满足横坐标不变、纵坐标互为相反数，因此将原抛物线$y=-2(x-1)^2+3$中的$y$替换为$-y$，$x$保持不变，可得：
$-y=-2(x-1)^2+3$
等式两边同时乘$-1$，整理得：$y=2(x-1)^2-3$
方法二：利用顶点式变换求解
原抛物线$y=-2(x-1)^2+3$为顶点式，其顶点坐标为$(1,3)$，二次项系数$a=-2$，开口向下。
抛物线关于x轴对称后，顶点也同步关于x轴对称，新顶点坐标为$(1,-3)$，且开口方向变为向上，即新二次项系数$a=2$。
代入二次函数顶点式可得新抛物线表达式为：$y=2(x-1)^2-3$
【答案】
$y=2(x-1)^2-3$
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征；二次函数顶点式；二次函数图象变换
【点评】
本题考查二次函数的轴对称变换，解题核心是掌握坐标轴对称的坐标变化规律，也可通过确定变换后的顶点和开口方向快速求解，是二次函数图象变换类的基础常考题。
【难度系数】
0.8
3. 将二次函数$y=-\frac{1}{3}x^2$的图象先向上平移2个单位长度，再把所得图象进行x轴对称变换，所得图象的表达式为（
A.$y=-3x^2 -2$
B.$y=3x^2 +2$
C.$y=\frac{1}{3}x^2 -2$
D.$y=\frac{1}{3}x^2 +2$
C
）A.$y=-3x^2 -2$
B.$y=3x^2 +2$
C.$y=\frac{1}{3}x^2 -2$
D.$y=\frac{1}{3}x^2 +2$
答案
3.C
解析
【分析】
解决本题需要按照变换顺序逐步推导函数解析式：第一步先根据二次函数图象平移的“上加下减”规律，求出向上平移2个单位后的函数表达式；第二步再根据关于x轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数），将平移后的解析式进行变换，整理即可得到最终的函数表达式，再对应选项选出答案。
【解析】
1. 第一步：将二次函数$y=-\frac{1}{3}x^2$的图象向上平移2个单位长度，根据平移规律“上加下减常数项”，可得平移后的函数解析式为：
$y=-\frac{1}{3}x^2 + 2$
2. 第二步：对所得图象进行x轴对称变换，关于x轴对称的图象上的点满足横坐标不变，纵坐标互为相反数，即将解析式中的$y$替换为$-y$，可得：
$-y=-\frac{1}{3}x^2 + 2$
两边同时乘以$-1$整理得：$y=\frac{1}{3}x^2 - 2$
综上，所得图象的表达式对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 关于x轴对称的坐标性质
3. 二次函数解析式变换
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，重点考查平移和轴对称变换的规则，解题时需注意变换的先后顺序，牢记平移“上加下减、左加右减”以及轴对称的坐标变化特点，避免因变换顺序搞混或规律记错失分。
【难度系数】
0.7
解决本题需要按照变换顺序逐步推导函数解析式：第一步先根据二次函数图象平移的“上加下减”规律，求出向上平移2个单位后的函数表达式；第二步再根据关于x轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数），将平移后的解析式进行变换，整理即可得到最终的函数表达式，再对应选项选出答案。
【解析】
1. 第一步：将二次函数$y=-\frac{1}{3}x^2$的图象向上平移2个单位长度，根据平移规律“上加下减常数项”，可得平移后的函数解析式为：
$y=-\frac{1}{3}x^2 + 2$
2. 第二步：对所得图象进行x轴对称变换，关于x轴对称的图象上的点满足横坐标不变，纵坐标互为相反数，即将解析式中的$y$替换为$-y$，可得：
$-y=-\frac{1}{3}x^2 + 2$
两边同时乘以$-1$整理得：$y=\frac{1}{3}x^2 - 2$
综上，所得图象的表达式对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 关于x轴对称的坐标性质
3. 二次函数解析式变换
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，重点考查平移和轴对称变换的规则，解题时需注意变换的先后顺序，牢记平移“上加下减、左加右减”以及轴对称的坐标变化特点，避免因变换顺序搞混或规律记错失分。
【难度系数】
0.7
