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7. 如图, 在$△ ABC$中, $∠ C=90°$, $BC=4\ \mathrm{cm}$, $AB=5\ \mathrm{cm}$, 点$P$从点$A$出发, 沿$AC$向点$C$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度运动, 同时点$Q$从点$C$出发, 沿$CB$向点$B$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动(当点$Q$运动到点$B$时, 点$P, Q$同时停止运动). 在运动过程中, 四边形$PABQ$的面积最小为 (
A.$\frac{15}{2}\ \mathrm{cm}^2$
B.$\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{15}{4}\ \mathrm{cm}^2$
D.$\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}^2$
C
)A.$\frac{15}{2}\ \mathrm{cm}^2$
B.$\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{15}{4}\ \mathrm{cm}^2$
D.$\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}^2$
答案
C
解析
【分析】
要解决四边形面积最小值问题，首先观察到四边形PABQ是不规则图形，可采用割补法：用△ABC的总面积减去△PCQ的面积表示四边形面积。第一步先用勾股定理求出AC的长度；第二步设运动时间为t，用含t的代数式表示PC、CQ的长度，推导△PCQ的面积表达式；第三步建立四边形面积关于t的二次函数，最后结合二次函数性质和t的取值范围求最小值即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$
设运动时间为$t\ \mathrm{s}(0≤ t≤ 2)$，由题意得：
$AP=t\ \mathrm{cm}$，$CQ=2t\ \mathrm{cm}$，则$PC=AC-AP=(3-t)\ \mathrm{cm}$
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×3×4=6\ \mathrm{cm}^2$
$S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}× PC× CQ=\frac{1}{2}×(3-t)×2t=-t^2+3t$
因此四边形PABQ的面积为：
$S=S_{△ ABC}-S_{△ PCQ}=6-(-t^2+3t)=t^2-3t+6$
该二次函数开口向上，对称轴为$t=\frac{3}{2}$，且$\frac{3}{2}$在$0≤ t≤2$的取值范围内，
当$t=\frac{3}{2}$时，$S$取得最小值：
$S_{\mathrm{最小}}=(\frac{3}{2})^2-3×\frac{3}{2}+6=\frac{15}{4}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，二次函数最值，三角形面积计算
【点评】
本题是动点结合二次函数求最值的典型题，核心思路是用割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积的差，建立函数关系时要注意结合自变量的实际取值范围求最值，避免忽略范围导致结果错误。
【难度系数】
0.6
要解决四边形面积最小值问题，首先观察到四边形PABQ是不规则图形，可采用割补法：用△ABC的总面积减去△PCQ的面积表示四边形面积。第一步先用勾股定理求出AC的长度；第二步设运动时间为t，用含t的代数式表示PC、CQ的长度，推导△PCQ的面积表达式；第三步建立四边形面积关于t的二次函数，最后结合二次函数性质和t的取值范围求最小值即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$
设运动时间为$t\ \mathrm{s}(0≤ t≤ 2)$，由题意得：
$AP=t\ \mathrm{cm}$，$CQ=2t\ \mathrm{cm}$，则$PC=AC-AP=(3-t)\ \mathrm{cm}$
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×3×4=6\ \mathrm{cm}^2$
$S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}× PC× CQ=\frac{1}{2}×(3-t)×2t=-t^2+3t$
因此四边形PABQ的面积为：
$S=S_{△ ABC}-S_{△ PCQ}=6-(-t^2+3t)=t^2-3t+6$
该二次函数开口向上，对称轴为$t=\frac{3}{2}$，且$\frac{3}{2}$在$0≤ t≤2$的取值范围内，
当$t=\frac{3}{2}$时，$S$取得最小值：
$S_{\mathrm{最小}}=(\frac{3}{2})^2-3×\frac{3}{2}+6=\frac{15}{4}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，二次函数最值，三角形面积计算
【点评】
本题是动点结合二次函数求最值的典型题，核心思路是用割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积的差，建立函数关系时要注意结合自变量的实际取值范围求最值，避免忽略范围导致结果错误。
【难度系数】
0.6
8. 生活情境·设计明信片 为了庆祝2026年元旦，九年级(1)班举办了明信片设计活动.小明挑选了他最喜欢的一个图片制作了一张如图所示的矩形明信片.已知该明信片的宽为$x$ cm，长为40 cm，左侧图片的长比宽长4 cm.若$14≤ x≤16$，则右侧留言部分的面积最大为
$320$
$\mathrm{cm}^2$.答案
320
解析
【分析】
要计算右侧留言部分的最大面积，首先需要表示出右侧部分的长和宽，进而列出面积关于x的函数表达式，再结合二次函数的性质和x的取值范围求最大值即可。第一步：先根据已知条件求出右侧留言部分的水平边长；第二步：结合矩形面积公式列出面积的函数关系式；第三步：分析二次函数的开口方向和对称轴，判断在x的取值范围内函数的单调性，进而求出最大值。
【解析】
首先计算右侧留言部分的水平长度：
已知明信片总长为40cm，左侧图片的长为$(x+4)\mathrm{cm}$，因此右侧部分的水平长度为$40-(x+4)=(36-x)\mathrm{cm}$。
右侧部分的竖直高度与明信片的宽相等，为$x\mathrm{cm}$，因此右侧留言部分的面积$S$为：
$\begin{aligned}S&=x(36-x)\\&=-x^2+36x\end{aligned}$
该函数是二次函数，二次项系数为$-1＜0$，函数图像开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{36}{2}=18$。
当$x＜18$时，$S$随$x$的增大而增大，已知$14≤ x≤16$，该区间在对称轴左侧，因此当$x$取最大值16时，$S$取得最大值：
将$x=16$代入得$S=-16^2+36×16=-256+576=320$。
【答案】
320
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的最值，矩形面积计算
【点评】
本题结合生活中的明信片设计场景，考查了利用二次函数解决面积最值问题，解题的核心是正确列出面积的函数表达式，结合自变量的取值范围和函数的单调性求解，属于基础的函数应用题型。
【难度系数】
0.7
要计算右侧留言部分的最大面积，首先需要表示出右侧部分的长和宽，进而列出面积关于x的函数表达式，再结合二次函数的性质和x的取值范围求最大值即可。第一步：先根据已知条件求出右侧留言部分的水平边长；第二步：结合矩形面积公式列出面积的函数关系式；第三步：分析二次函数的开口方向和对称轴，判断在x的取值范围内函数的单调性，进而求出最大值。
【解析】
首先计算右侧留言部分的水平长度：
已知明信片总长为40cm，左侧图片的长为$(x+4)\mathrm{cm}$，因此右侧部分的水平长度为$40-(x+4)=(36-x)\mathrm{cm}$。
右侧部分的竖直高度与明信片的宽相等，为$x\mathrm{cm}$，因此右侧留言部分的面积$S$为：
$\begin{aligned}S&=x(36-x)\\&=-x^2+36x\end{aligned}$
该函数是二次函数，二次项系数为$-1＜0$，函数图像开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{36}{2}=18$。
当$x＜18$时，$S$随$x$的增大而增大，已知$14≤ x≤16$，该区间在对称轴左侧，因此当$x$取最大值16时，$S$取得最大值：
将$x=16$代入得$S=-16^2+36×16=-256+576=320$。
【答案】
320
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的最值，矩形面积计算
【点评】
本题结合生活中的明信片设计场景，考查了利用二次函数解决面积最值问题，解题的核心是正确列出面积的函数表达式，结合自变量的取值范围和函数的单调性求解，属于基础的函数应用题型。
【难度系数】
0.7
9.如图,用一块长为50 cm,宽为30 cm的矩形铁片制作一个无盖的盒子,已知在矩形铁片的四个角截去四个相同的小正方形铁片,设被截去的小正方形铁片的边长为x cm.
(1)底面的长AB=
(2)该盒子的侧面积S(单位:cm²)是否存在最大的情况?若存在,请求出x的值及S的最大值;若不存在,请说明理由.
(1)底面的长AB=
$50-2x$
cm,宽BC=$30-2x$
cm.(用含x的代数式表示)(2)该盒子的侧面积S(单位:cm²)是否存在最大的情况?若存在,请求出x的值及S的最大值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)(50-2x) (30-2x) (2)存在.根据题意,得$S=2x(50-2x)+2x(30-2x)=-8x^2+160x=-8(x-10)^2+800$. $\because -8＜0$,$\therefore$当$x=10$时,$S$有最大值,最大值为800.
解析
【分析】
(1) 观察图形可知，制作无盖盒子时，原矩形铁片的长和宽两端各截去了1个边长为x的小正方形，因此底面的长等于原长减去2个x，底面的宽等于原宽减去2个x，代入数值即可写出对应的代数式。
(2) 盒子的侧面积是4个长方形侧面的面积之和，其中2个侧面的长为底面长、宽为x，另外2个侧面的长为底面宽、宽为x，据此列出侧面积S关于x的函数关系式，再结合二次函数的性质判断是否存在最大值，若存在则求出对应x的值和最大值即可，注意要结合实际意义判断自变量x的取值范围，保证结果符合实际。
【解析】
(1)
∵原矩形铁片长为50cm，宽为30cm，四个角截去的小正方形边长为x cm，
∴底面长AB = 原长 - 2x = (50-2x)cm，底面宽BC = 原宽 - 2x = (30-2x)cm。
(2) 存在最大情况，求解如下：
根据题意，无盖盒子的侧面积为4个侧面的面积和：
$S = 2× x×(50-2x) + 2× x×(30-2x)$
展开化简得：
$S = 100x -4x^2 +60x -4x^2 = -8x^2 +160x$
对函数配方得：
$S = -8(x-10)^2 +800$
结合实际意义可知：$x＞0$，且底面宽$30-2x＞0$，即$0＜x＜15$。
∵二次项系数$-8＜0$，
∴该二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，
又
∵$x=10$在$0＜x＜15$的范围内，
∴当$x=10$时，S取得最大值，最大值为$800\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(50-2x)}$，$\boldsymbol{(30-2x)}$
(2) 存在，当$x=10\ \mathrm{cm}$时，侧面积S的最大值为$\boldsymbol{800\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
列代数式；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合实际几何制作场景，考查二次函数解决面积最值问题的能力，解题的关键是结合图形正确列出函数关系式，同时注意自变量的取值要符合实际意义，再利用二次函数的性质求解最值即可。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图形可知，制作无盖盒子时，原矩形铁片的长和宽两端各截去了1个边长为x的小正方形，因此底面的长等于原长减去2个x，底面的宽等于原宽减去2个x，代入数值即可写出对应的代数式。
(2) 盒子的侧面积是4个长方形侧面的面积之和，其中2个侧面的长为底面长、宽为x，另外2个侧面的长为底面宽、宽为x，据此列出侧面积S关于x的函数关系式，再结合二次函数的性质判断是否存在最大值，若存在则求出对应x的值和最大值即可，注意要结合实际意义判断自变量x的取值范围，保证结果符合实际。
【解析】
(1)
∵原矩形铁片长为50cm，宽为30cm，四个角截去的小正方形边长为x cm，
∴底面长AB = 原长 - 2x = (50-2x)cm，底面宽BC = 原宽 - 2x = (30-2x)cm。
(2) 存在最大情况，求解如下：
根据题意，无盖盒子的侧面积为4个侧面的面积和：
$S = 2× x×(50-2x) + 2× x×(30-2x)$
展开化简得：
$S = 100x -4x^2 +60x -4x^2 = -8x^2 +160x$
对函数配方得：
$S = -8(x-10)^2 +800$
结合实际意义可知：$x＞0$，且底面宽$30-2x＞0$，即$0＜x＜15$。
∵二次项系数$-8＜0$，
∴该二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，
又
∵$x=10$在$0＜x＜15$的范围内，
∴当$x=10$时，S取得最大值，最大值为$800\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(50-2x)}$，$\boldsymbol{(30-2x)}$
(2) 存在，当$x=10\ \mathrm{cm}$时，侧面积S的最大值为$\boldsymbol{800\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
列代数式；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合实际几何制作场景，考查二次函数解决面积最值问题的能力，解题的关键是结合图形正确列出函数关系式，同时注意自变量的取值要符合实际意义，再利用二次函数的性质求解最值即可。
【难度系数】
0.7
10.有这样一道作业题:有一块三角形余料ABC(如图 1),它的边BC=120 mm,高AD=80 mm.要把它加工成正方形零件,使正方形PQMN的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.问加工成的正方形零件的边长是多少毫米.
(1)小颖解得此题的答案为 48 mm,请写出小颖的解答过程.
(2)小颖善于反思,她又提出了如下的问题:如果原题中所要加工的零件是矩形,如图 2,这样,此矩形零件的两条相邻边长就不能确定,但这个矩形的面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条相邻边长.
(1)小颖解得此题的答案为 48 mm,请写出小颖的解答过程.
(2)小颖善于反思,她又提出了如下的问题:如果原题中所要加工的零件是矩形,如图 2,这样,此矩形零件的两条相邻边长就不能确定,但这个矩形的面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条相邻边长.
答案
(1)设正方形PQMN的边长为$x$ mm,则$PN=PQ=ED=x$ mm. $\therefore AE=AD-ED=(80-x)$mm. $\because PN// BC$,$\therefore △ APN ∽ △ ABC$. $\therefore \frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$,即$\frac{x}{120}=\frac{80-x}{80}$,解得$x=48$.答:加工成的正方形零件的边长是48 mm. (2)设$PN=x$ mm,矩形PQMN的面积为$S\ \mathrm{mm}^2$.易证$△ APN ∽ △ ABC$, $\therefore \frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$,即$\frac{x}{120}=\frac{80-PQ}{80}$. $\therefore PQ=(80-\frac{2}{3}x)$mm. $\therefore S=PN·PQ=x(80-\frac{2}{3}x)=-\frac{2}{3}x^2+80x=-\frac{2}{3}(x-60)^2+2400$. $\because -\frac{2}{3}＜0$,$\therefore$当$x=60$时,$S$取最大值,此时$PN=60$ mm,$PQ=80-\frac{2}{3}×60=40$(mm).答:达到这个最大值时矩形零件的两条相邻边长分别为60 mm和40 mm.
解析
【分析】
(1) 求解正方形边长时，首先观察到正方形的边PN平行于BC，可推出△APN与△ABC相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，设正方形边长为未知数，列出一元一次方程即可求解。
(2) 求解矩形最大面积对应的邻边长时，依旧利用△APN∽△ABC的性质，将矩形的一边用含另一边的代数式表示，再根据矩形面积公式写出面积关于边长的二次函数表达式，通过配方法结合二次函数的开口方向求出最大值，即可得到对应的两条邻边长度。
【解析】
(1) 设正方形PQMN的边长为$x$ mm，则$PN=PQ=ED=x$ mm，
$\therefore AE=AD-ED=(80-x)$mm。
$\because PN// BC$，$\therefore △ APN ∽ △ ABC$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，
即$\frac{x}{120}=\frac{80-x}{80}$，
解得$x=48$。
(2) 设$PN=x$ mm，矩形PQMN的面积为$S\ \mathrm{mm}^2$。
$\because PN// BC$，易证$△ APN ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，即$\frac{x}{120}=\frac{80-PQ}{80}$，
整理得$PQ=(80-\frac{2}{3}x)$mm。
根据矩形面积公式可得：
$S=PN·PQ=x(80-\frac{2}{3}x)=-\frac{2}{3}x^2+80x=-\frac{2}{3}(x-60)^2+2400$，
$\because -\frac{2}{3}＜0$，二次函数图象开口向下，
$\therefore$当$x=60$时，$S$取得最大值，
此时$PQ=80-\frac{2}{3}×60=40$(mm)。
【答案】
(1) 加工成的正方形零件的边长是48 mm；
(2) 面积达到最大值时矩形零件的两条相邻边长分别为60 mm和40 mm。
【知识点】
相似三角形的性质；二次函数的最值；矩形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的典型应用题，融合了相似三角形的比例应用和二次函数最值的求解，既考查了对几何图形性质的理解，又考查了构建函数模型解决实际问题的能力，有助于提升知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解正方形边长时，首先观察到正方形的边PN平行于BC，可推出△APN与△ABC相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，设正方形边长为未知数，列出一元一次方程即可求解。
(2) 求解矩形最大面积对应的邻边长时，依旧利用△APN∽△ABC的性质，将矩形的一边用含另一边的代数式表示，再根据矩形面积公式写出面积关于边长的二次函数表达式，通过配方法结合二次函数的开口方向求出最大值，即可得到对应的两条邻边长度。
【解析】
(1) 设正方形PQMN的边长为$x$ mm，则$PN=PQ=ED=x$ mm，
$\therefore AE=AD-ED=(80-x)$mm。
$\because PN// BC$，$\therefore △ APN ∽ △ ABC$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，
即$\frac{x}{120}=\frac{80-x}{80}$，
解得$x=48$。
(2) 设$PN=x$ mm，矩形PQMN的面积为$S\ \mathrm{mm}^2$。
$\because PN// BC$，易证$△ APN ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，即$\frac{x}{120}=\frac{80-PQ}{80}$，
整理得$PQ=(80-\frac{2}{3}x)$mm。
根据矩形面积公式可得：
$S=PN·PQ=x(80-\frac{2}{3}x)=-\frac{2}{3}x^2+80x=-\frac{2}{3}(x-60)^2+2400$，
$\because -\frac{2}{3}＜0$，二次函数图象开口向下，
$\therefore$当$x=60$时，$S$取得最大值，
此时$PQ=80-\frac{2}{3}×60=40$(mm)。
【答案】
(1) 加工成的正方形零件的边长是48 mm；
(2) 面积达到最大值时矩形零件的两条相邻边长分别为60 mm和40 mm。
【知识点】
相似三角形的性质；二次函数的最值；矩形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的典型应用题，融合了相似三角形的比例应用和二次函数最值的求解，既考查了对几何图形性质的理解，又考查了构建函数模型解决实际问题的能力，有助于提升知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
