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7.如图，在$△ ABC$中，$AB＜BC$。用直尺和圆规在AC上找一点P，使P到B，C两点的距离相等。
（第7题）
（第7题）答案
解：
作法如下：
1. 分别以点B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧，两弧在BC的两侧各交于一点，记为M、N；
2. 用直尺作直线MN，直线MN与AC的交点即为所求的点P。
根据线段垂直平分线的性质，MN是线段BC的垂直平分线，因此点P到B、C两点的距离相等。
作法如下：
1. 分别以点B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧，两弧在BC的两侧各交于一点，记为M、N；
2. 用直尺作直线MN，直线MN与AC的交点即为所求的点P。
根据线段垂直平分线的性质，MN是线段BC的垂直平分线，因此点P到B、C两点的距离相等。
解析
【分析】
题目要求在AC上找一点P使P到B、C两点的距离相等，根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知所有满足PB=PC的点都在BC的垂直平分线上，因此所求点P就是BC的垂直平分线与AC的交点，接下来只需用尺规完成BC垂直平分线的作图即可。
【解析】
1. 分别以点B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧，两弧在BC的两侧各交于一点，记为M、N；
2. 用直尺作直线MN，直线MN与AC的交点即为所求的点P。
原理：直线MN是线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，因此交点P满足PB=PC，符合题目要求。
【答案】
1. 分别以点B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧，两弧在BC的两侧各交于一点，记为M、N；
2. 作直线MN，MN与AC的交点即为所求点P。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；尺规作垂直平分线
【点评】
本题是基础的几何作图题，核心是将“点到两点距离相等”的条件转化为线段垂直平分线的作图，只要熟练掌握线段垂直平分线的相关性质和基本尺规作图方法就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
题目要求在AC上找一点P使P到B、C两点的距离相等，根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知所有满足PB=PC的点都在BC的垂直平分线上，因此所求点P就是BC的垂直平分线与AC的交点，接下来只需用尺规完成BC垂直平分线的作图即可。
【解析】
1. 分别以点B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧，两弧在BC的两侧各交于一点，记为M、N；
2. 用直尺作直线MN，直线MN与AC的交点即为所求的点P。
原理：直线MN是线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，因此交点P满足PB=PC，符合题目要求。
【答案】
1. 分别以点B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧，两弧在BC的两侧各交于一点，记为M、N；
2. 作直线MN，MN与AC的交点即为所求点P。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；尺规作垂直平分线
【点评】
本题是基础的几何作图题，核心是将“点到两点距离相等”的条件转化为线段垂直平分线的作图，只要熟练掌握线段垂直平分线的相关性质和基本尺规作图方法就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
8.如图，$△ ABC$的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E。若边BC的长为8 cm，则$△ ADE$的周长为（
A.4 cm
B.8 cm
C.16 cm
D.不能确定
B
）A.4 cm
B.8 cm
C.16 cm
D.不能确定
答案
8. B
解析
【分析】
看到题目中出现线段垂直平分线，首先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。据此可得到AD=BD、AE=CE，再观察△ADE的周长构成，通过等量代换将其周长转化为BC的长度，即可求出结果。
【解析】
∵点D在AB的垂直平分线上
∴AD = BD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∵点E在AC的垂直平分线上
∴AE = CE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
△ADE的周长 = AD + DE + AE
将AD=BD、AE=CE代入得：
周长 = BD + DE + CE = BC
已知BC长为8 cm，因此△ADE的周长为8 cm。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算、等量代换
【点评】
本题是基础题型，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是通过性质完成线段的等量转换，将未知三角形的周长转化为已知长度的线段，掌握该性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
看到题目中出现线段垂直平分线，首先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。据此可得到AD=BD、AE=CE，再观察△ADE的周长构成，通过等量代换将其周长转化为BC的长度，即可求出结果。
【解析】
∵点D在AB的垂直平分线上
∴AD = BD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∵点E在AC的垂直平分线上
∴AE = CE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
△ADE的周长 = AD + DE + AE
将AD=BD、AE=CE代入得：
周长 = BD + DE + CE = BC
已知BC长为8 cm，因此△ADE的周长为8 cm。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算、等量代换
【点评】
本题是基础题型，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是通过性质完成线段的等量转换，将未知三角形的周长转化为已知长度的线段，掌握该性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9. 如图,在$△ ABC$中,线段AC的垂直平分线交BC于点D,连结AD,则下列结论一定成立的是 (
A.$AD=BD$
B.$BD=CD$
C.$AD+BD=BC$
D.$AB+BD=BC$
C
)A.$AD=BD$
B.$BD=CD$
C.$AD+BD=BC$
D.$AB+BD=BC$
答案
9. C
解析
【分析】
解题首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可先得到AD=CD；再结合线段BC由BD和CD组成，将CD等量替换为AD，最后逐一分析各选项是否符合推导结论即可。
【解析】
∵点D在AC的垂直平分线上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AD=CD。
又
∵线段BC被点D分为BD和CD两段，即BC=BD+CD，
将CD替换为等量AD，可得：BC=BD+AD，也就是AD+BD=BC，故C选项正确。
对其他选项分析：
A选项：没有条件能证明AD=BD，结论不一定成立；
B选项：由已知仅能得到AD=CD，无法推出BD=CD，结论不成立；
D选项：无等量关系能证明AB+BD=BC，结论不成立。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段和差计算；等量代换
【点评】
本题是基础类考题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是利用性质得到AD=CD，再通过线段和的等量代换判断选项，只要熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可先得到AD=CD；再结合线段BC由BD和CD组成，将CD等量替换为AD，最后逐一分析各选项是否符合推导结论即可。
【解析】
∵点D在AC的垂直平分线上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AD=CD。
又
∵线段BC被点D分为BD和CD两段，即BC=BD+CD，
将CD替换为等量AD，可得：BC=BD+AD，也就是AD+BD=BC，故C选项正确。
对其他选项分析：
A选项：没有条件能证明AD=BD，结论不一定成立；
B选项：由已知仅能得到AD=CD，无法推出BD=CD，结论不成立；
D选项：无等量关系能证明AB+BD=BC，结论不成立。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段和差计算；等量代换
【点评】
本题是基础类考题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是利用性质得到AD=CD，再通过线段和的等量代换判断选项，只要熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10.已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，AB的垂直平分线交AC于D，$△ ABC$和$△ DBC$的周长分别是60 cm和38 cm，则AB和BC的值分别为（
A.24 cm和12 cm
B.16 cm和22 cm
C.20 cm和16 cm
D.22 cm和16 cm
D
）A.24 cm和12 cm
B.16 cm和22 cm
C.20 cm和16 cm
D.22 cm和16 cm
答案
10. D
解析
【分析】
解决本题的核心是先利用线段垂直平分线的性质得到相等线段，再结合两个三角形的周长建立等量关系求解。首先，看到AB的垂直平分线交AC于D，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD，由此可将△DBC的周长转化为AC+BC的和；再结合△ABC是等腰三角形（AB=AC），可得到△ABC的周长与△DBC周长的差恰好等于腰长AB，最后代入数值计算即可得到AB和BC的长度。
【解析】
解：
∵点D在AB的垂直平分线上
∴AD = BD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
△DBC的周长 = BD + DC + BC = AD + DC + BC = AC + BC = 38 cm ①
又
∵△ABC中AB=AC，△ABC的周长 = AB + AC + BC = 60 cm
∴2AB + BC = 60 cm ②
用②式减去①式可得：
2AB + BC - (AB + BC) = 60 - 38
解得AB = 22 cm
将AB=22 cm代入①式，AC=AB=22 cm，可得BC = 38 - 22 = 16 cm
因此AB=22 cm，BC=16 cm，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的典型应用题型，通过等量代换将未知线段关系转化为已知的周长关系，是解决此类周长计算问题的常用技巧，熟练掌握线段垂直平分线的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先利用线段垂直平分线的性质得到相等线段，再结合两个三角形的周长建立等量关系求解。首先，看到AB的垂直平分线交AC于D，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD，由此可将△DBC的周长转化为AC+BC的和；再结合△ABC是等腰三角形（AB=AC），可得到△ABC的周长与△DBC周长的差恰好等于腰长AB，最后代入数值计算即可得到AB和BC的长度。
【解析】
解：
∵点D在AB的垂直平分线上
∴AD = BD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
△DBC的周长 = BD + DC + BC = AD + DC + BC = AC + BC = 38 cm ①
又
∵△ABC中AB=AC，△ABC的周长 = AB + AC + BC = 60 cm
∴2AB + BC = 60 cm ②
用②式减去①式可得：
2AB + BC - (AB + BC) = 60 - 38
解得AB = 22 cm
将AB=22 cm代入①式，AC=AB=22 cm，可得BC = 38 - 22 = 16 cm
因此AB=22 cm，BC=16 cm，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的典型应用题型，通过等量代换将未知线段关系转化为已知的周长关系，是解决此类周长计算问题的常用技巧，熟练掌握线段垂直平分线的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
11. 如图，网格中的每个小正方形边长均为1，$△ ABC$的顶点均落在格点上，点P到$△ ABC$三个顶点距离相等，则$△ ABP$的面积为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
11. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知到△ABC三个顶点距离相等的点P，是△ABC三边垂直平分线的交点。我们先找到AB边的垂直平分线，再找到另一条边的垂直平分线，两条线的交点就是P的位置，最后用三角形面积公式计算△ABP的面积即可。
【解析】
设每个小正方形边长为1，建立平面直角坐标系，可得各点坐标：$A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(3,3)$。
1. 求AB边的垂直平分线：AB是水平线段，中点为$(2,0)$，因此AB的垂直平分线为竖直线$x=2$，点P在该直线上。
2. 确定点P的坐标：设$P(2,y)$，由$PA=PC$，根据勾股定理列等式：
$PA^2=2^2+y^2$，$PC^2=(3-2)^2+(3-y)^2$
令$PA^2=PC^2$，得：$4+y^2=1+(3-y)^2$
化简计算得$y=1$，即$P(2,1)$。
3. 计算△ABP的面积：AB长为4，AB边上的高为点P到AB的距离1，因此：
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×4×1=2$
【答案】B
【知识点】
线段垂直平分线的判定、三角形面积计算、勾股定理的应用
【点评】
本题的核心是明确到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，结合网格的特点可以快速定位交点位置，再代入面积公式计算即可，要求熟练掌握线段垂直平分线的相关性质和判定。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知到△ABC三个顶点距离相等的点P，是△ABC三边垂直平分线的交点。我们先找到AB边的垂直平分线，再找到另一条边的垂直平分线，两条线的交点就是P的位置，最后用三角形面积公式计算△ABP的面积即可。
【解析】
设每个小正方形边长为1，建立平面直角坐标系，可得各点坐标：$A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(3,3)$。
1. 求AB边的垂直平分线：AB是水平线段，中点为$(2,0)$，因此AB的垂直平分线为竖直线$x=2$，点P在该直线上。
2. 确定点P的坐标：设$P(2,y)$，由$PA=PC$，根据勾股定理列等式：
$PA^2=2^2+y^2$，$PC^2=(3-2)^2+(3-y)^2$
令$PA^2=PC^2$，得：$4+y^2=1+(3-y)^2$
化简计算得$y=1$，即$P(2,1)$。
3. 计算△ABP的面积：AB长为4，AB边上的高为点P到AB的距离1，因此：
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×4×1=2$
【答案】B
【知识点】
线段垂直平分线的判定、三角形面积计算、勾股定理的应用
【点评】
本题的核心是明确到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，结合网格的特点可以快速定位交点位置，再代入面积公式计算即可，要求熟练掌握线段垂直平分线的相关性质和判定。
【难度系数】
0.7
12.已知:如图,A,D是BC垂直平分线上的任意两点。求证:△ABD≌△ACD。
答案
证明：
∵ 点A在BC的垂直平分线上，
∴ AB = AC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ 点D在BC的垂直平分线上，
∴ DB = DC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\DB = DC \\AD = AD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACD（SSS）。
∵ 点A在BC的垂直平分线上，
∴ AB = AC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ 点D在BC的垂直平分线上，
∴ DB = DC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\DB = DC \\AD = AD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACD（SSS）。
解析
【分析】
要证明△ABD≌△ACD，首先结合已知条件思考：A、D均在BC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，可得到AB=AC、DB=DC两组相等的边；再观察两个三角形有公共边AD，此时三组对应边均相等，满足全等三角形的SSS判定条件，按规范步骤写出证明即可。
【解析】
证明：
∵ 点A在BC的垂直平分线上，
∴ AB = AC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ 点D在BC的垂直平分线上，
∴ DB = DC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
在△ABD和△ACD中，
$\begin{cases}AB = AC \\DB = DC \\AD = AD\end{cases}$
∴ △ABD ≌ △ACD（SSS）。
【答案】
证明：
∵ 点A在BC的垂直平分线上，
∴ AB = AC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ 点D在BC的垂直平分线上，
∴ DB = DC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
在△ABD和△ACD中，
$\begin{cases}AB = AC \\DB = DC \\AD = AD\end{cases}$
∴ △ABD ≌ △ACD（SSS）。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、全等三角形的SSS判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，侧重考查对基础性质和判定定理的应用能力，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质找到相等线段，再结合公共边利用SSS判定全等，书写证明过程时要注意逻辑清晰，每一步推导都要有对应的依据。
【难度系数】
0.8
要证明△ABD≌△ACD，首先结合已知条件思考：A、D均在BC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，可得到AB=AC、DB=DC两组相等的边；再观察两个三角形有公共边AD，此时三组对应边均相等，满足全等三角形的SSS判定条件，按规范步骤写出证明即可。
【解析】
证明：
∵ 点A在BC的垂直平分线上，
∴ AB = AC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ 点D在BC的垂直平分线上，
∴ DB = DC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
在△ABD和△ACD中，
$\begin{cases}AB = AC \\DB = DC \\AD = AD\end{cases}$
∴ △ABD ≌ △ACD（SSS）。
【答案】
证明：
∵ 点A在BC的垂直平分线上，
∴ AB = AC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ 点D在BC的垂直平分线上，
∴ DB = DC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
在△ABD和△ACD中，
$\begin{cases}AB = AC \\DB = DC \\AD = AD\end{cases}$
∴ △ABD ≌ △ACD（SSS）。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、全等三角形的SSS判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，侧重考查对基础性质和判定定理的应用能力，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质找到相等线段，再结合公共边利用SSS判定全等，书写证明过程时要注意逻辑清晰，每一步推导都要有对应的依据。
【难度系数】
0.8
