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13. 如图，在$△ ABC$中，$MN$是边$AB$的垂直平分线，$∠ MAC = 50°$，$∠ C = 3∠ B$，求$∠ B$的度数。
答案
13. $26°$
解析
【分析】
解题时首先观察到MN是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得到MA=MB，进而推出∠B=∠BAM；再结合已知的∠MAC=50°和∠C=3∠B，可将△ABC的三个内角都用∠B表示，最后利用三角形内角和为180°列方程求解即可得到∠B的度数。
【解析】
解：
∵MN是AB的垂直平分线，点M在MN上
∴MA=MB，
∴∠B=∠BAM
设∠B的度数为x，则∠BAM=x，∠C=3x，∠BAC=∠BAM+∠MAC=x+50°
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠B + ∠BAC + ∠C = 180°
代入得：$x + (x + 50°) + 3x = 180°$
合并同类项得：$5x + 50° = 180°$
移项计算得：$5x = 130°$
解得：$x = 26°$
【答案】
$26°$
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.三角形内角和定理
3.等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何角度计算的基础题型，解题关键是熟练运用线段垂直平分线的性质得到等角，再结合三角形内角和定理通过列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到MN是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得到MA=MB，进而推出∠B=∠BAM；再结合已知的∠MAC=50°和∠C=3∠B，可将△ABC的三个内角都用∠B表示，最后利用三角形内角和为180°列方程求解即可得到∠B的度数。
【解析】
解：
∵MN是AB的垂直平分线，点M在MN上
∴MA=MB，
∴∠B=∠BAM
设∠B的度数为x，则∠BAM=x，∠C=3x，∠BAC=∠BAM+∠MAC=x+50°
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠B + ∠BAC + ∠C = 180°
代入得：$x + (x + 50°) + 3x = 180°$
合并同类项得：$5x + 50° = 180°$
移项计算得：$5x = 130°$
解得：$x = 26°$
【答案】
$26°$
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.三角形内角和定理
3.等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何角度计算的基础题型，解题关键是熟练运用线段垂直平分线的性质得到等角，再结合三角形内角和定理通过列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
14. 如图,直线AB和AB外一点C。
求作:AB的垂线,使它经过点C。
作法:
(1)任意取一点K,使点K和点C在AB的
(2)以点C为
(3)分别以点D和点E为圆心,
(4)作直线CF。直线CF就是所求作的垂线。
求作:AB的垂线,使它经过点C。
作法:
(1)任意取一点K,使点K和点C在AB的
两
旁。(2)以点C为
圆心
,CK长为半径
作弧,交AB于点D和E。(3)分别以点D和点E为圆心,
大
于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧,两弧相交于点F。(4)作直线CF。直线CF就是所求作的垂线。
答案
14. 两 圆心 半径 大
解析
【分析】
这是过直线外一点作已知直线垂线的尺规作图步骤填空题，解题时需回忆该作图的操作逻辑：我们最终要作出过点C且垂直AB的直线，本质是作出线段DE的垂直平分线（DE在AB上），因此每一步操作都要服务于这个目标：①选点K时，需保证K和C在AB两侧，这样以C为圆心、CK为半径画弧才能和AB交于两点D、E；②得到D、E后，要作两弧相交得到F点，作弧的半径必须大于$\frac{1}{2}DE$，否则两弧无交点，最终CF即为所求垂线。
【解析】
根据过直线外一点作已知直线垂线的作图步骤：
(1) 任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁，故填“两”；
(2) 以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E，故依次填“圆心”“半径”；
(3) 分别以点D和点E为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧，两弧相交于点F，故填“大”。
【答案】
两；圆心；半径；大
【知识点】
尺规作图；垂线的作法；垂直平分线判定
【点评】
本题考查基础尺规作图的操作步骤，属于基础识记类题型，需要明确每一步操作的原理，避免因操作不规范导致作图失败。
【难度系数】
0.8
这是过直线外一点作已知直线垂线的尺规作图步骤填空题，解题时需回忆该作图的操作逻辑：我们最终要作出过点C且垂直AB的直线，本质是作出线段DE的垂直平分线（DE在AB上），因此每一步操作都要服务于这个目标：①选点K时，需保证K和C在AB两侧，这样以C为圆心、CK为半径画弧才能和AB交于两点D、E；②得到D、E后，要作两弧相交得到F点，作弧的半径必须大于$\frac{1}{2}DE$，否则两弧无交点，最终CF即为所求垂线。
【解析】
根据过直线外一点作已知直线垂线的作图步骤：
(1) 任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁，故填“两”；
(2) 以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E，故依次填“圆心”“半径”；
(3) 分别以点D和点E为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧，两弧相交于点F，故填“大”。
【答案】
两；圆心；半径；大
【知识点】
尺规作图；垂线的作法；垂直平分线判定
【点评】
本题考查基础尺规作图的操作步骤，属于基础识记类题型，需要明确每一步操作的原理，避免因操作不规范导致作图失败。
【难度系数】
0.8
15.如图，已知线段c，直线l外一点A。
求作：Rt△ABC，使直角边为AC(AC⊥l，垂足为C)，斜边AB＝c。
求作：Rt△ABC，使直角边为AC(AC⊥l，垂足为C)，斜边AB＝c。
答案
解：
作法如下：
1. 任意取一点P，使点P与点A在直线l的异侧；
2. 以点A为圆心，AP的长为半径作弧，交直线l于M、N两点；
3. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧，两弧在直线l的另一侧交于点Q；
4. 作直线AQ，交直线l于点C，此时$AC⊥ l$，点C即为垂足；
5. 以点A为圆心，线段c的长为半径作弧，交直线l于点B；
6. 连接AB。
则$\mathrm{Rt}△ ABC$就是所求作的直角三角形。
作法如下：
1. 任意取一点P，使点P与点A在直线l的异侧；
2. 以点A为圆心，AP的长为半径作弧，交直线l于M、N两点；
3. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧，两弧在直线l的另一侧交于点Q；
4. 作直线AQ，交直线l于点C，此时$AC⊥ l$，点C即为垂足；
5. 以点A为圆心，线段c的长为半径作弧，交直线l于点B；
6. 连接AB。
则$\mathrm{Rt}△ ABC$就是所求作的直角三角形。
解析
【分析】
要构造符合要求的Rt△ABC，需分两步完成：第一步先确定垂足C的位置，已知要求AC⊥l，我们可以利用尺规作图中“过直线外一点作已知直线的垂线”的方法，作出过点A垂直于l的直线，该直线与l的交点就是点C；第二步确定点B的位置，要求斜边AB=c，只需以点A为圆心，线段c的长度为半径画弧，弧与直线l的交点即为点B，最后连接AB即可得到所求直角三角形。
【解析】
作法如下：
1. 任意取一点P，使点P与点A在直线l的异侧；
2. 以点A为圆心，AP的长为半径作弧，交直线l于M、N两点；
3. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧，两弧在直线l的另一侧交于点Q；
4. 作直线AQ，交直线l于点C，此时$AC⊥ l$，点C即为垂足；
5. 以点A为圆心，线段c的长为半径作弧，交直线l于点B；
6. 连接AB。
则$\mathrm{Rt}△ ABC$就是所求作的直角三角形。
【答案】
$\mathrm{Rt}△ ABC$即为所求作的直角三角形。
【知识点】
1. 尺规作图
2. 线段垂直平分线性质
3. 直角三角形定义
【点评】
本题属于基础尺规作图题，结合了过直线外一点作垂线、作定长线段两个基本作图操作，考查对基础作图方法的掌握程度，作图时需注意保留作图痕迹，遵循尺规作图的规范。
【难度系数】
0.7
要构造符合要求的Rt△ABC，需分两步完成：第一步先确定垂足C的位置，已知要求AC⊥l，我们可以利用尺规作图中“过直线外一点作已知直线的垂线”的方法，作出过点A垂直于l的直线，该直线与l的交点就是点C；第二步确定点B的位置，要求斜边AB=c，只需以点A为圆心，线段c的长度为半径画弧，弧与直线l的交点即为点B，最后连接AB即可得到所求直角三角形。
【解析】
作法如下：
1. 任意取一点P，使点P与点A在直线l的异侧；
2. 以点A为圆心，AP的长为半径作弧，交直线l于M、N两点；
3. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧，两弧在直线l的另一侧交于点Q；
4. 作直线AQ，交直线l于点C，此时$AC⊥ l$，点C即为垂足；
5. 以点A为圆心，线段c的长为半径作弧，交直线l于点B；
6. 连接AB。
则$\mathrm{Rt}△ ABC$就是所求作的直角三角形。
【答案】
$\mathrm{Rt}△ ABC$即为所求作的直角三角形。
【知识点】
1. 尺规作图
2. 线段垂直平分线性质
3. 直角三角形定义
【点评】
本题属于基础尺规作图题，结合了过直线外一点作垂线、作定长线段两个基本作图操作，考查对基础作图方法的掌握程度，作图时需注意保留作图痕迹，遵循尺规作图的规范。
【难度系数】
0.7
16. 某市拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图。
(1)请利用直尺和圆规作图，找出音乐喷泉M的位置。
(2)连结AM，CM，则AM
(1)请利用直尺和圆规作图，找出音乐喷泉M的位置。
(2)连结AM，CM，则AM
＞
CM。(选填“＜”“＞”或“=”）答案
16. (1)略 (2)＞
解析
【分析】
(1) 确定点M的位置需要满足两个条件：①到A、B两点距离相等，根据线段垂直平分线的判定，M一定在AB的垂直平分线上；②到C的距离等于AB长度的一半，根据定长到定点的轨迹特点，M在以C为圆心、$\frac{1}{2}AB$长为半径的圆弧上。两个轨迹在矩形内部的交点就是所求的M。
(2) 首先由线段垂直平分线的性质可知，垂直平分线上的点到线段两端点的距离最短为线段长度的一半，即当M为AB中点时AM最小，等于$\frac{1}{2}AB$，而题目中CM=$\frac{1}{2}AB$，结合矩形的位置可知AB中点到C的距离大于$\frac{1}{2}AB$，因此符合要求的M不可能是AB中点，即可判断AM和CM的大小关系。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 连接AB，分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于两个点，过这两个点作直线，得到AB的垂直平分线；
② 量取AB的长度，以C为圆心，$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，与AB的垂直平分线在矩形内部的交点即为M。
(2) 因为M在AB的垂直平分线上，所以$AM≥\frac{1}{2}AB$，仅当M为AB中点时取等号；由题意得$CM=\frac{1}{2}AB$，又因为AB中点到C的距离大于$\frac{1}{2}AB$，因此符合条件的M不是AB中点，即$AM＞\frac{1}{2}AB=CM$。
【答案】
(1) 作图略；(2) ＞
【知识点】
线段垂直平分线的性质；尺规作图；轨迹确定点位置
【点评】
本题结合实际场景考查基础尺规作图和几何性质的应用，需要学生掌握两个限制条件下确定点位置的方法，同时能利用线段最值的规律判断大小关系，侧重对基础技能和性质灵活运用的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 确定点M的位置需要满足两个条件：①到A、B两点距离相等，根据线段垂直平分线的判定，M一定在AB的垂直平分线上；②到C的距离等于AB长度的一半，根据定长到定点的轨迹特点，M在以C为圆心、$\frac{1}{2}AB$长为半径的圆弧上。两个轨迹在矩形内部的交点就是所求的M。
(2) 首先由线段垂直平分线的性质可知，垂直平分线上的点到线段两端点的距离最短为线段长度的一半，即当M为AB中点时AM最小，等于$\frac{1}{2}AB$，而题目中CM=$\frac{1}{2}AB$，结合矩形的位置可知AB中点到C的距离大于$\frac{1}{2}AB$，因此符合要求的M不可能是AB中点，即可判断AM和CM的大小关系。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 连接AB，分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于两个点，过这两个点作直线，得到AB的垂直平分线；
② 量取AB的长度，以C为圆心，$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，与AB的垂直平分线在矩形内部的交点即为M。
(2) 因为M在AB的垂直平分线上，所以$AM≥\frac{1}{2}AB$，仅当M为AB中点时取等号；由题意得$CM=\frac{1}{2}AB$，又因为AB中点到C的距离大于$\frac{1}{2}AB$，因此符合条件的M不是AB中点，即$AM＞\frac{1}{2}AB=CM$。
【答案】
(1) 作图略；(2) ＞
【知识点】
线段垂直平分线的性质；尺规作图；轨迹确定点位置
【点评】
本题结合实际场景考查基础尺规作图和几何性质的应用，需要学生掌握两个限制条件下确定点位置的方法，同时能利用线段最值的规律判断大小关系，侧重对基础技能和性质灵活运用的考查。
【难度系数】
0.7
17. 如图，已知$△ ABC(AC＜BC)$，用尺规在BC上确定一点P，使$PA+PC=BC$。则下列四种不同方法的作图中准确的是（
D
）答案
17. D
解析
【分析】
要找到BC上的点P使得PA+PC=BC，首先观察点P在BC上的位置关系，可得BC=PB+PC，结合题干要求的PA+PC=BC，通过等量代换可推出需要满足PA=PB。根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知点P应该在AB的垂直平分线上，因此只需找到作AB垂直平分线与BC交于P的作图选项即可。
【解析】
∵ 点P在BC上，
∴ $BC = PB + PC$，
又
∵ 要求$PA + PC = BC$，
∴ 代入得$PA + PC = PB + PC$，
两边同时减去PC，可得$PA = PB$，
根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，
∴ 点P在AB的垂直平分线上，
因此，作AB的垂直平分线，与BC的交点即为所求的点P，对应选项D的作图符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质与判定
2. 尺规作图
【点评】
本题解题的核心是通过线段和的等量关系推导得出PA=PB，进而将问题转化为找AB垂直平分线与BC的交点，考查对线段垂直平分线相关性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要找到BC上的点P使得PA+PC=BC，首先观察点P在BC上的位置关系，可得BC=PB+PC，结合题干要求的PA+PC=BC，通过等量代换可推出需要满足PA=PB。根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知点P应该在AB的垂直平分线上，因此只需找到作AB垂直平分线与BC交于P的作图选项即可。
【解析】
∵ 点P在BC上，
∴ $BC = PB + PC$，
又
∵ 要求$PA + PC = BC$，
∴ 代入得$PA + PC = PB + PC$，
两边同时减去PC，可得$PA = PB$，
根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，
∴ 点P在AB的垂直平分线上，
因此，作AB的垂直平分线，与BC的交点即为所求的点P，对应选项D的作图符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质与判定
2. 尺规作图
【点评】
本题解题的核心是通过线段和的等量关系推导得出PA=PB，进而将问题转化为找AB垂直平分线与BC的交点，考查对线段垂直平分线相关性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
