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1. $16x^2 - 49 = 0$ 的根为
$x_1=\frac{7}{4},x_2=-\frac{7}{4}$
答案
$x_1=\frac{7}{4},x_2=-\frac{7}{4}$
解析
【分析】
观察方程$16x^2 - 49 = 0$，发现方程不含一次项，属于形如$ax^2+c=0$（$a≠0$，$ac＜0$）的一元二次方程，适合用直接开平方法求解。解题思路为：第一步先移项，将常数项移到等号右侧；第二步将二次项系数化为1，得到$x^2$等于常数的形式；第三步根据平方根的定义开平方，即可得到两个互为相反数的根，注意不要漏掉负根。
【解析】
解：移项，得 $16x^2 = 49$
二次项系数化为1，得 $x^2 = \frac{49}{16}$
开平方，得 $x = \pm \sqrt{\frac{49}{16}} = \pm \frac{7}{4}$
即 $x_1=\frac{7}{4},x_2=-\frac{7}{4}$
【答案】
$x_1=\frac{7}{4},x_2=-\frac{7}{4}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的适用场景和运算细节，解题时需注意开平方后结果有正负两个，避免漏解。
【难度系数】
0.9
观察方程$16x^2 - 49 = 0$，发现方程不含一次项，属于形如$ax^2+c=0$（$a≠0$，$ac＜0$）的一元二次方程，适合用直接开平方法求解。解题思路为：第一步先移项，将常数项移到等号右侧；第二步将二次项系数化为1，得到$x^2$等于常数的形式；第三步根据平方根的定义开平方，即可得到两个互为相反数的根，注意不要漏掉负根。
【解析】
解：移项，得 $16x^2 = 49$
二次项系数化为1，得 $x^2 = \frac{49}{16}$
开平方，得 $x = \pm \sqrt{\frac{49}{16}} = \pm \frac{7}{4}$
即 $x_1=\frac{7}{4},x_2=-\frac{7}{4}$
【答案】
$x_1=\frac{7}{4},x_2=-\frac{7}{4}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的适用场景和运算细节，解题时需注意开平方后结果有正负两个，避免漏解。
【难度系数】
0.9
2.用直接开平方法解方程：
(1)$(x-1)^2=64$；
(2)$(3x-1)^2=(x+1)^2$。
(1)$(x-1)^2=64$；
(2)$(3x-1)^2=(x+1)^2$。
答案
解：(1)$x_1=-7,x_2=9.$(2)$x_1=1,x_2=0.$
解析
【分析】
直接开平方法解一元二次方程的核心是利用平方根的性质：若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\pm\sqrt{b}$，可将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。对于(1)，方程左边是$(x-1)$的平方，右边是正数64，可直接开平方得到$x-1=\pm8$，分别求解两个一次方程即可；对于(2)，方程左右两边都是完全平方式，开平方可得$3x-1=\pm(x+1)$，再分别求解两个一次方程即可，注意不要漏解负的情况。
【解析】
(1) 对$(x-1)^2=64$两边直接开平方，得：
$x-1=\pm\sqrt{64}=\pm8$
当$x-1=8$时，解得$x=9$；
当$x-1=-8$时，解得$x=-7$。
(2) 对$(3x-1)^2=(x+1)^2$两边直接开平方，得：
$3x-1=\pm(x+1)$
当$3x-1=x+1$时，移项合并同类项得$2x=2$，解得$x=1$；
当$3x-1=-(x+1)$时，去括号得$3x-1=-x-1$，移项合并同类项得$4x=0$，解得$x=0$。
【答案】
(1)$x_1=-7,x_2=9$；(2)$x_1=1,x_2=0$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查对直接开平方法的掌握，解题时需注意开平方后存在正负两种情况，避免漏解，熟练掌握平方根的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
直接开平方法解一元二次方程的核心是利用平方根的性质：若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\pm\sqrt{b}$，可将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。对于(1)，方程左边是$(x-1)$的平方，右边是正数64，可直接开平方得到$x-1=\pm8$，分别求解两个一次方程即可；对于(2)，方程左右两边都是完全平方式，开平方可得$3x-1=\pm(x+1)$，再分别求解两个一次方程即可，注意不要漏解负的情况。
【解析】
(1) 对$(x-1)^2=64$两边直接开平方，得：
$x-1=\pm\sqrt{64}=\pm8$
当$x-1=8$时，解得$x=9$；
当$x-1=-8$时，解得$x=-7$。
(2) 对$(3x-1)^2=(x+1)^2$两边直接开平方，得：
$3x-1=\pm(x+1)$
当$3x-1=x+1$时，移项合并同类项得$2x=2$，解得$x=1$；
当$3x-1=-(x+1)$时，去括号得$3x-1=-x-1$，移项合并同类项得$4x=0$，解得$x=0$。
【答案】
(1)$x_1=-7,x_2=9$；(2)$x_1=1,x_2=0$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查对直接开平方法的掌握，解题时需注意开平方后存在正负两种情况，避免漏解，熟练掌握平方根的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
3.一元二次方程$x^2 - 2026x = 0$的解是
$x_1=0,x_2=2\ 026$
。答案
$x_1=0,x_2=2\ 026$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的解法，观察方程特征可知等式左侧没有常数项，优先选用因式分解法求解更简便。第一步先提取公因式x，将原方程转化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2026x = 0$提取公因式$x$，得：
$x(x - 2026) = 0$
根据因式乘积为0的性质，可得：
$x = 0$ 或 $x - 2026 = 0$
分别解这两个一元一次方程：
当$x=0$时，等式成立；
当$x - 2026 = 0$时，解得$x=2026$。
因此原方程的解为$x_1=0,x_2=2026$。
【答案】
$x_1=0,x_2=2026$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程的基础解法，解题时注意观察方程特征选择简便的解法，不要遗漏$x=0$这个解即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的解法，观察方程特征可知等式左侧没有常数项，优先选用因式分解法求解更简便。第一步先提取公因式x，将原方程转化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2026x = 0$提取公因式$x$，得：
$x(x - 2026) = 0$
根据因式乘积为0的性质，可得：
$x = 0$ 或 $x - 2026 = 0$
分别解这两个一元一次方程：
当$x=0$时，等式成立；
当$x - 2026 = 0$时，解得$x=2026$。
因此原方程的解为$x_1=0,x_2=2026$。
【答案】
$x_1=0,x_2=2026$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程的基础解法，解题时注意观察方程特征选择简便的解法，不要遗漏$x=0$这个解即可快速得分。
【难度系数】
0.9
4.用因式分解法解下列方程：
(1)$x^2=7x$；
(2)$x^2-5x+6=0$；
(3)$x(2x+1)=3(2x+1)$；
(4)$9x^2-(x-1)^2=0$。
(1)$x^2=7x$；
(2)$x^2-5x+6=0$；
(3)$x(2x+1)=3(2x+1)$；
(4)$9x^2-(x-1)^2=0$。
答案
解：(1)$x_1=0,x_2=7.$(2)$x_1=2,x_2=3.$
(3)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=3.$(4)$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{2}.$
(3)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=3.$(4)$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{2}.$
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先将方程整理为右边为0的形式，再把左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别等于0，解得到的两个一元一次方程，所得的解就是原一元二次方程的根。解题时注意不可随意约去方程两边含未知数的整式，否则会丢失根。
各小题具体思路：
(1) 先移项使右边为0，再提取公因式x分解即可；
(2) 直接用十字相乘法将左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；
(3) 先移项把右边的项移到左边，再提取公因式$(2x+1)$分解；
(4) 左边符合平方差公式的形式，直接用平方差公式分解因式即可。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 - 7x = 0$，
提取公因式，得 $x(x - 7) = 0$，
于是得 $x = 0$ 或 $x - 7 = 0$，
解得 $x_1 = 0, x_2 = 7$。
(2) 分解因式，得 $(x - 2)(x - 3) = 0$，
于是得 $x - 2 = 0$ 或 $x - 3 = 0$，
解得 $x_1 = 2, x_2 = 3$。
(3) 移项，得 $x(2x + 1) - 3(2x + 1) = 0$，
提取公因式，得 $(2x + 1)(x - 3) = 0$，
于是得 $2x + 1 = 0$ 或 $x - 3 = 0$，
解得 $x_1 = -\frac{1}{2}, x_2 = 3$。
(4) 利用平方差公式分解因式，得 $[3x + (x - 1)][3x - (x - 1)] = 0$，
整理，得 $(4x - 1)(2x + 1) = 0$，
于是得 $4x - 1 = 0$ 或 $2x + 1 = 0$，
解得 $x_1 = \frac{1}{4}, x_2 = -\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=7$；(2)$x_1=2,x_2=3$；(3)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=3$；(4)$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
3. 公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础题型，考查了不同类型因式分解方法的应用，解题时要注意不要随意约去含未知数的整式，避免出现漏解的情况，熟练掌握各类因式分解的方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先将方程整理为右边为0的形式，再把左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别等于0，解得到的两个一元一次方程，所得的解就是原一元二次方程的根。解题时注意不可随意约去方程两边含未知数的整式，否则会丢失根。
各小题具体思路：
(1) 先移项使右边为0，再提取公因式x分解即可；
(2) 直接用十字相乘法将左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；
(3) 先移项把右边的项移到左边，再提取公因式$(2x+1)$分解；
(4) 左边符合平方差公式的形式，直接用平方差公式分解因式即可。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 - 7x = 0$，
提取公因式，得 $x(x - 7) = 0$，
于是得 $x = 0$ 或 $x - 7 = 0$，
解得 $x_1 = 0, x_2 = 7$。
(2) 分解因式，得 $(x - 2)(x - 3) = 0$，
于是得 $x - 2 = 0$ 或 $x - 3 = 0$，
解得 $x_1 = 2, x_2 = 3$。
(3) 移项，得 $x(2x + 1) - 3(2x + 1) = 0$，
提取公因式，得 $(2x + 1)(x - 3) = 0$，
于是得 $2x + 1 = 0$ 或 $x - 3 = 0$，
解得 $x_1 = -\frac{1}{2}, x_2 = 3$。
(4) 利用平方差公式分解因式，得 $[3x + (x - 1)][3x - (x - 1)] = 0$，
整理，得 $(4x - 1)(2x + 1) = 0$，
于是得 $4x - 1 = 0$ 或 $2x + 1 = 0$，
解得 $x_1 = \frac{1}{4}, x_2 = -\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=7$；(2)$x_1=2,x_2=3$；(3)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=3$；(4)$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
3. 公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础题型，考查了不同类型因式分解方法的应用，解题时要注意不要随意约去含未知数的整式，避免出现漏解的情况，熟练掌握各类因式分解的方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
5.用配方法解方程：
(1)$x^2 + 6x + 3 = 0$；
(2)$x^2 - 4x - 1 = 0$。
(1)$x^2 + 6x + 3 = 0$；
(2)$x^2 - 4x - 1 = 0$。
答案
解：(1)$x_1=\sqrt{6}-3,x_2=-\sqrt{6}-3.$
(2)$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}.$
(2)$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}.$
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程左边配成完全平方式，转化为可直接开平方的形式求解。解题可按四步进行：①移项：将常数项移到方程等号右侧；②配方：方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，把左侧变形为完全平方式；③开平方：对变形后的方程两边同时开平方，得到两个一元一次方程；④求解：分别解一元一次方程得到原方程的根。本题两个方程二次项系数均为1，无需额外化二次项系数为1，按上述步骤计算即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2 + 6x + 3 = 0$：
移项，得：$x^2 + 6x = -3$
配方，一次项系数6的一半为3，两边同时加$3^2=9$，得：
$x^2 + 6x + 9 = -3 + 9$
整理为完全平方式：$(x + 3)^2 = 6$
开平方，得：$x + 3 = \pm\sqrt{6}$
分别求解：
$x_1 = \sqrt{6} - 3$，$x_2 = -\sqrt{6} - 3$
(2) 解方程$x^2 - 4x - 1 = 0$：
移项，得：$x^2 - 4x = 1$
配方，一次项系数-4的一半为-2，两边同时加$(-2)^2=4$，得：
$x^2 - 4x + 4 = 1 + 4$
整理为完全平方式：$(x - 2)^2 = 5$
开平方，得：$x - 2 = \pm\sqrt{5}$
分别求解：
$x_1 = 2 + \sqrt{5}$，$x_2 = 2 - \sqrt{5}$
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{6}-3,x_2=-\sqrt{6}-3$
(2)$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查配方法的标准操作步骤，解题时需注意移项要变号，开平方时不要遗漏正负两种情况，熟练掌握步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.8
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程左边配成完全平方式，转化为可直接开平方的形式求解。解题可按四步进行：①移项：将常数项移到方程等号右侧；②配方：方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，把左侧变形为完全平方式；③开平方：对变形后的方程两边同时开平方，得到两个一元一次方程；④求解：分别解一元一次方程得到原方程的根。本题两个方程二次项系数均为1，无需额外化二次项系数为1，按上述步骤计算即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2 + 6x + 3 = 0$：
移项，得：$x^2 + 6x = -3$
配方，一次项系数6的一半为3，两边同时加$3^2=9$，得：
$x^2 + 6x + 9 = -3 + 9$
整理为完全平方式：$(x + 3)^2 = 6$
开平方，得：$x + 3 = \pm\sqrt{6}$
分别求解：
$x_1 = \sqrt{6} - 3$，$x_2 = -\sqrt{6} - 3$
(2) 解方程$x^2 - 4x - 1 = 0$：
移项，得：$x^2 - 4x = 1$
配方，一次项系数-4的一半为-2，两边同时加$(-2)^2=4$，得：
$x^2 - 4x + 4 = 1 + 4$
整理为完全平方式：$(x - 2)^2 = 5$
开平方，得：$x - 2 = \pm\sqrt{5}$
分别求解：
$x_1 = 2 + \sqrt{5}$，$x_2 = 2 - \sqrt{5}$
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{6}-3,x_2=-\sqrt{6}-3$
(2)$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查配方法的标准操作步骤，解题时需注意移项要变号，开平方时不要遗漏正负两种情况，熟练掌握步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.8
元认知·反思
答案
①$\sqrt{p}-n$ ②$-\sqrt{p}-n$ ③$-n$
解析
【分析】
本题考查利用直接开平方法解形如$(x+n)^2=p$的一元二次方程，解题思路如下：首先回忆平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。我们对等式两边同时开平方，再通过移项即可求出对应情况下的方程根：当$p＞0$时，开平方后得到$x+n$的两个不同取值，移项得到两个不等实根；当$p=0$时，开平方后$x+n$只有一个取值，移项得到两个相等的实根。
【解析】
解：对于方程$(x+n)^2=p$：
1. 当$p＞0$时，根据平方根的性质，对等式两边同时开平方，得：
$x+n=\sqrt{p}$ 或 $x+n=-\sqrt{p}$
移项后可得两个不相等的实数根：
$x_1=\sqrt{p}-n$，$x_2=-\sqrt{p}-n$
2. 当$p=0$时，等式变为$(x+n)^2=0$，开平方得：
$x+n=0$
移项可得两个相等的实数根：
$x_1=x_2=-n$
【答案】
①$\sqrt{p}-n$；②$-\sqrt{p}-n$；③$-n$
【知识点】
1. 直接开平方法；2. 平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题，主要考察直接开平方法的应用，通过分情况讨论方程根的情况，能帮助学生理解配方法的推导逻辑，为后续学习其他一元二次方程解法打下基础。
【难度系数】
0.9
本题考查利用直接开平方法解形如$(x+n)^2=p$的一元二次方程，解题思路如下：首先回忆平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。我们对等式两边同时开平方，再通过移项即可求出对应情况下的方程根：当$p＞0$时，开平方后得到$x+n$的两个不同取值，移项得到两个不等实根；当$p=0$时，开平方后$x+n$只有一个取值，移项得到两个相等的实根。
【解析】
解：对于方程$(x+n)^2=p$：
1. 当$p＞0$时，根据平方根的性质，对等式两边同时开平方，得：
$x+n=\sqrt{p}$ 或 $x+n=-\sqrt{p}$
移项后可得两个不相等的实数根：
$x_1=\sqrt{p}-n$，$x_2=-\sqrt{p}-n$
2. 当$p=0$时，等式变为$(x+n)^2=0$，开平方得：
$x+n=0$
移项可得两个相等的实数根：
$x_1=x_2=-n$
【答案】
①$\sqrt{p}-n$；②$-\sqrt{p}-n$；③$-n$
【知识点】
1. 直接开平方法；2. 平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题，主要考察直接开平方法的应用，通过分情况讨论方程根的情况，能帮助学生理解配方法的推导逻辑，为后续学习其他一元二次方程解法打下基础。
【难度系数】
0.9
