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6.用公式法解方程：
(1)$2x^2 -5x +4=0$；
(2)$2x^2 +5x -1=0$；
(3)$5x^2 -2\sqrt{5}x +1=0$；
(4)$(x-2)(3x-5)=1$。
(1)$2x^2 -5x +4=0$；
(2)$2x^2 +5x -1=0$；
(3)$5x^2 -2\sqrt{5}x +1=0$；
(4)$(x-2)(3x-5)=1$。
答案
解：(1)方程无实数根.
(2)$x_1=\frac{-5+\sqrt{33}}{4},x_2=\frac{-5-\sqrt{33}}{4}.$
(3)$x_1=x_2=\frac{\sqrt{5}}{5}.$(4)$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}.$
(2)$x_1=\frac{-5+\sqrt{33}}{4},x_2=\frac{-5-\sqrt{33}}{4}.$
(3)$x_1=x_2=\frac{\sqrt{5}}{5}.$(4)$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}.$
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的核心思路如下：第一步，先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，准确确定系数$a$、$b$、$c$的值；第二步，计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，通过$\Delta$的符号判断方程根的情况：若$\Delta＜0$，方程无实数根，若$\Delta≥0$，方程有实数根；第三步，若有实根，直接代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算即可得到方程的根。若题目给出的方程不是一般形式，需先去括号、移项、合并同类项整理为一般形式再计算。
【解析】
(1) 方程$2x^2 -5x +4=0$为一般形式，其中$a=2$，$b=-5$，$c=4$。
计算判别式：$\Delta=(-5)^2-4×2×4=25-32=-7＜0$，因此该方程无实数根。
(2) 方程$2x^2 +5x -1=0$为一般形式，其中$a=2$，$b=5$，$c=-1$。
计算判别式：$\Delta=5^2-4×2×(-1)=25+8=33＞0$，代入求根公式得：
$x=\frac{-5\pm\sqrt{33}}{2×2}=\frac{-5\pm\sqrt{33}}{4}$，即$x_1=\frac{-5+\sqrt{33}}{4}$，$x_2=\frac{-5-\sqrt{33}}{4}$。
(3) 方程$5x^2 -2\sqrt{5}x +1=0$为一般形式，其中$a=5$，$b=-2\sqrt{5}$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta=(-2\sqrt{5})^2-4×5×1=20-20=0$，方程有两个相等的实数根，代入求根公式得：
$x=\frac{2\sqrt{5}\pm0}{2×5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，即$x_1=x_2=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
(4) 先将$(x-2)(3x-5)=1$整理为一般形式：
去括号得$3x^2-5x-6x+10=1$，移项合并同类项得$3x^2-11x+9=0$，其中$a=3$，$b=-11$，$c=9$。
计算判别式：$\Delta=(-11)^2-4×3×9=121-108=13＞0$，代入求根公式得：
$x=\frac{11\pm\sqrt{13}}{2×3}=\frac{11\pm\sqrt{13}}{6}$，即$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6}$，$x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$。
【答案】
(1)方程无实数根.
(2)$x_1=\frac{-5+\sqrt{33}}{4},x_2=\frac{-5-\sqrt{33}}{4}.$
(3)$x_1=x_2=\frac{\sqrt{5}}{5}.$
(4)$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}.$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程判别式，一元二次方程求根公式
【点评】
本题重点考查公式法解一元二次方程的规范应用，解题的关键是准确识别或整理出方程的一般形式，正确计算判别式，代入求根公式时要注意符号问题，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.7
用公式法解一元二次方程的核心思路如下：第一步，先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，准确确定系数$a$、$b$、$c$的值；第二步，计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，通过$\Delta$的符号判断方程根的情况：若$\Delta＜0$，方程无实数根，若$\Delta≥0$，方程有实数根；第三步，若有实根，直接代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算即可得到方程的根。若题目给出的方程不是一般形式，需先去括号、移项、合并同类项整理为一般形式再计算。
【解析】
(1) 方程$2x^2 -5x +4=0$为一般形式，其中$a=2$，$b=-5$，$c=4$。
计算判别式：$\Delta=(-5)^2-4×2×4=25-32=-7＜0$，因此该方程无实数根。
(2) 方程$2x^2 +5x -1=0$为一般形式，其中$a=2$，$b=5$，$c=-1$。
计算判别式：$\Delta=5^2-4×2×(-1)=25+8=33＞0$，代入求根公式得：
$x=\frac{-5\pm\sqrt{33}}{2×2}=\frac{-5\pm\sqrt{33}}{4}$，即$x_1=\frac{-5+\sqrt{33}}{4}$，$x_2=\frac{-5-\sqrt{33}}{4}$。
(3) 方程$5x^2 -2\sqrt{5}x +1=0$为一般形式，其中$a=5$，$b=-2\sqrt{5}$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta=(-2\sqrt{5})^2-4×5×1=20-20=0$，方程有两个相等的实数根，代入求根公式得：
$x=\frac{2\sqrt{5}\pm0}{2×5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，即$x_1=x_2=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
(4) 先将$(x-2)(3x-5)=1$整理为一般形式：
去括号得$3x^2-5x-6x+10=1$，移项合并同类项得$3x^2-11x+9=0$，其中$a=3$，$b=-11$，$c=9$。
计算判别式：$\Delta=(-11)^2-4×3×9=121-108=13＞0$，代入求根公式得：
$x=\frac{11\pm\sqrt{13}}{2×3}=\frac{11\pm\sqrt{13}}{6}$，即$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6}$，$x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$。
【答案】
(1)方程无实数根.
(2)$x_1=\frac{-5+\sqrt{33}}{4},x_2=\frac{-5-\sqrt{33}}{4}.$
(3)$x_1=x_2=\frac{\sqrt{5}}{5}.$
(4)$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}.$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程判别式，一元二次方程求根公式
【点评】
本题重点考查公式法解一元二次方程的规范应用，解题的关键是准确识别或整理出方程的一般形式，正确计算判别式，代入求根公式时要注意符号问题，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.7
7.阅读材料,回答问题.
材料:为解方程$x^4 - x^2 -6=0$,可将方程变形为$(x^2)^2 -x^2 -6=0$,然后设$x^2 = y$,则$(x^2)^2 = y^2$,原方程可化为$y^2 - y -6=0$.①
解得$y_1=-2,y_2=3$.
当$y=-2$时,$x^2=-2$无实数解,舍去;
当$y=3$时,$x^2=3$,解得$x=\pm\sqrt{3}$.
所以原方程的解为$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$.
(1)在由方程$x^4 -x^2 -6=0$得到方程①的过程中,利用
(2)利用上面的解题方法,解方程:$(x^2 -x)^2 -4(x^2 -x)-12=0$.
材料:为解方程$x^4 - x^2 -6=0$,可将方程变形为$(x^2)^2 -x^2 -6=0$,然后设$x^2 = y$,则$(x^2)^2 = y^2$,原方程可化为$y^2 - y -6=0$.①
解得$y_1=-2,y_2=3$.
当$y=-2$时,$x^2=-2$无实数解,舍去;
当$y=3$时,$x^2=3$,解得$x=\pm\sqrt{3}$.
所以原方程的解为$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$.
(1)在由方程$x^4 -x^2 -6=0$得到方程①的过程中,利用
换元
法达到了降次的目的,体现了转化
的数学思想;(2)利用上面的解题方法,解方程:$(x^2 -x)^2 -4(x^2 -x)-12=0$.
答案
解：(1)换元;转化 (2)$x_1=-2,x_2=3.$
解析
【分析】
(1) 观察题中解方程的过程，是将$x^2$整体替换为$y$，把四次方程转化为二次方程，这种方法是换元法，核心目的是降次，体现了将未知复杂问题转化为已知简单问题的转化思想。
(2) 类比材料的解题思路，把$x^2-x$看作整体设为$y$，即可将原四次方程转化为关于$y$的一元二次方程，先求解$y$的值，再代回$y=x^2-x$求解关于$x$的一元二次方程，同时注意检验方程是否有实数根，舍去无实根的情况即可。
【解析】
(1) 原方程为四次方程，通过设$x^2=y$将方程转化为关于$y$的二次方程①，该方法为换元法，实现了降次，体现了转化的数学思想，故依次填换元、转化。
(2) 设$y = x^2 - x$，则原方程可化为：
$y^2 - 4y - 12 = 0$
因式分解得：$(y - 6)(y + 2) = 0$
解得：$y_1 = 6$，$y_2 = -2$
①当$y = 6$时，$x^2 - x = 6$，整理得$x^2 - x - 6 = 0$
因式分解得：$(x - 3)(x + 2) = 0$
解得：$x_1 = 3$，$x_2 = -2$
②当$y = -2$时，$x^2 - x = -2$，整理得$x^2 - x + 2 = 0$
判别式$\Delta = (-1)^2 - 4 × 1 × 2 = -7 ＜ 0$，该方程无实数解，舍去。
综上，原方程的解为$x_1=-2,x_2=3$。
【答案】
(1) 换元；转化
(2) $x_1=-2,x_2=3$
【知识点】
换元法，一元二次方程解法，转化思想
【点评】
本题考查换元法解高次方程的应用，解题核心是将重复出现的代数式看作整体换元，把高次方程降次为熟悉的一元二次方程求解，最后要注意检验换元后得到的解对应的原方程是否有实数根，排除增根。
【难度系数】
0.7
(1) 观察题中解方程的过程，是将$x^2$整体替换为$y$，把四次方程转化为二次方程，这种方法是换元法，核心目的是降次，体现了将未知复杂问题转化为已知简单问题的转化思想。
(2) 类比材料的解题思路，把$x^2-x$看作整体设为$y$，即可将原四次方程转化为关于$y$的一元二次方程，先求解$y$的值，再代回$y=x^2-x$求解关于$x$的一元二次方程，同时注意检验方程是否有实数根，舍去无实根的情况即可。
【解析】
(1) 原方程为四次方程，通过设$x^2=y$将方程转化为关于$y$的二次方程①，该方法为换元法，实现了降次，体现了转化的数学思想，故依次填换元、转化。
(2) 设$y = x^2 - x$，则原方程可化为：
$y^2 - 4y - 12 = 0$
因式分解得：$(y - 6)(y + 2) = 0$
解得：$y_1 = 6$，$y_2 = -2$
①当$y = 6$时，$x^2 - x = 6$，整理得$x^2 - x - 6 = 0$
因式分解得：$(x - 3)(x + 2) = 0$
解得：$x_1 = 3$，$x_2 = -2$
②当$y = -2$时，$x^2 - x = -2$，整理得$x^2 - x + 2 = 0$
判别式$\Delta = (-1)^2 - 4 × 1 × 2 = -7 ＜ 0$，该方程无实数解，舍去。
综上，原方程的解为$x_1=-2,x_2=3$。
【答案】
(1) 换元；转化
(2) $x_1=-2,x_2=3$
【知识点】
换元法，一元二次方程解法，转化思想
【点评】
本题考查换元法解高次方程的应用，解题核心是将重复出现的代数式看作整体换元，把高次方程降次为熟悉的一元二次方程求解，最后要注意检验换元后得到的解对应的原方程是否有实数根，排除增根。
【难度系数】
0.7
