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一般地，如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根是$x_1$和$x_2$，那么$x_1+x_2=$
$-\frac{b}{a}$
，$x_1x_2=$$\frac{c}{a}$
。答案
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
解析
【分析】
要推导一元二次方程两根之和与两根之积的表达式，可先回忆一元二次方程的求根公式，先写出两个实数根的表达式，再分别对两个根做加法、乘法运算，消去带根号的部分后化简，即可得到对应的结果，这也是根与系数关系（韦达定理）的基础推导思路。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$时，方程有两个实数根：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
1. 计算两根之和：
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$
2. 计算两根之积：
$x_1x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}×\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$
【答案】
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程求根公式
3. 代数式化简
【点评】
本题是对一元二次方程根与系数关系基础结论的考查，属于基础识记类题型，熟练掌握该结论是解决后续与两根和、积相关题型的核心基础。
【难度系数】
0.9
要推导一元二次方程两根之和与两根之积的表达式，可先回忆一元二次方程的求根公式，先写出两个实数根的表达式，再分别对两个根做加法、乘法运算，消去带根号的部分后化简，即可得到对应的结果，这也是根与系数关系（韦达定理）的基础推导思路。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$时，方程有两个实数根：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
1. 计算两根之和：
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$
2. 计算两根之积：
$x_1x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}×\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$
【答案】
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程求根公式
3. 代数式化简
【点评】
本题是对一元二次方程根与系数关系基础结论的考查，属于基础识记类题型，熟练掌握该结论是解决后续与两根和、积相关题型的核心基础。
【难度系数】
0.9
A基础巩固
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
1.(新知回顾)不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积:
(1)$x^2 + 2x -1=0:x_1 + x_2=$
$x_1x_2=$
(2)$-x^2 +6x -2=0:x_1 + x_2=$
$x_1x_2=$
(3)$3x^2 +x=6x +7:x_1 + x_2=$
$x_1x_2=$
(4)$(x+1)(x-2)=2:x_1 + x_2=$
$x_1x_2=$
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
1.(新知回顾)不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积:
(1)$x^2 + 2x -1=0:x_1 + x_2=$
$-2$
,$x_1x_2=$
$-1$
;(2)$-x^2 +6x -2=0:x_1 + x_2=$
$6$
,$x_1x_2=$
$2$
;(3)$3x^2 +x=6x +7:x_1 + x_2=$
$\frac{5}{3}$
,$x_1x_2=$
$-\frac{7}{3}$
;(4)$(x+1)(x-2)=2:x_1 + x_2=$
$1$
,$x_1x_2=$
$-4$
.答案
1.(1)$x_1+x_2=-2$，$x_1x_2=-1$；(2)$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=2$；(3)$x_1+x_2=\frac{5}{3}$，$x_1x_2=-\frac{7}{3}$；(4)$x_1+x_2=1$，$x_1x_2=-4$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：1. 首先明确韦达定理：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两根为$x_1,x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$；2. 观察所给方程，若不是一般形式，先通过移项、去括号等操作化为一般形式；3. 准确找出对应方程的$a、b、c$的值，注意符号不要出错；4. 将系数代入公式计算即可得到两根之和与两根之积。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系：对$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，计算如下：
(1) 方程$x^2 + 2x -1=0$为一般形式，其中$a=1,b=2,c=-1$，
则$x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$，$x_1x_2=\frac{-1}{1}=-1$；
(2) 方程$-x^2 +6x -2=0$为一般形式，其中$a=-1,b=6,c=-2$，
则$x_1+x_2=-\frac{6}{-1}=6$，$x_1x_2=\frac{-2}{-1}=2$；
(3) 先将方程化为一般形式：移项得$3x^2 +x-6x-7=0$，整理为$3x^2-5x-7=0$，其中$a=3,b=-5,c=-7$，
则$x_1+x_2=-\frac{-5}{3}=\frac{5}{3}$，$x_1x_2=\frac{-7}{3}=-\frac{7}{3}$；
(4) 先将方程化为一般形式：左边展开得$x^2-2x+x-2=2$，移项整理得$x^2-x-4=0$，其中$a=1,b=-1,c=-4$，
则$x_1+x_2=-\frac{-1}{1}=1$，$x_1x_2=\frac{-4}{1}=-4$。
【答案】
(1)$-2$，$-1$；(2)$6$，$2$；(3)$\frac{5}{3}$，$-\frac{7}{3}$；(4)$1$，$-4$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）；2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题的核心是先将方程转化为一元二次方程的一般形式，准确识别各项系数的符号，代入公式计算时注意不要弄错符号，是巩固韦达定理的典型基础题。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：1. 首先明确韦达定理：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两根为$x_1,x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$；2. 观察所给方程，若不是一般形式，先通过移项、去括号等操作化为一般形式；3. 准确找出对应方程的$a、b、c$的值，注意符号不要出错；4. 将系数代入公式计算即可得到两根之和与两根之积。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系：对$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，计算如下：
(1) 方程$x^2 + 2x -1=0$为一般形式，其中$a=1,b=2,c=-1$，
则$x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$，$x_1x_2=\frac{-1}{1}=-1$；
(2) 方程$-x^2 +6x -2=0$为一般形式，其中$a=-1,b=6,c=-2$，
则$x_1+x_2=-\frac{6}{-1}=6$，$x_1x_2=\frac{-2}{-1}=2$；
(3) 先将方程化为一般形式：移项得$3x^2 +x-6x-7=0$，整理为$3x^2-5x-7=0$，其中$a=3,b=-5,c=-7$，
则$x_1+x_2=-\frac{-5}{3}=\frac{5}{3}$，$x_1x_2=\frac{-7}{3}=-\frac{7}{3}$；
(4) 先将方程化为一般形式：左边展开得$x^2-2x+x-2=2$，移项整理得$x^2-x-4=0$，其中$a=1,b=-1,c=-4$，
则$x_1+x_2=-\frac{-1}{1}=1$，$x_1x_2=\frac{-4}{1}=-4$。
【答案】
(1)$-2$，$-1$；(2)$6$，$2$；(3)$\frac{5}{3}$，$-\frac{7}{3}$；(4)$1$，$-4$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）；2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题的核心是先将方程转化为一元二次方程的一般形式，准确识别各项系数的符号，代入公式计算时注意不要弄错符号，是巩固韦达定理的典型基础题。
【难度系数】
0.9
2.已知$m$，$n$是一元二次方程$x^2 - 2x - 4 = 0$的两个根，则$m + n - mn$的值为
$6$
。答案
$6$
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察所求代数式$m + n - mn$的结构，是关于两根之和、两根之积的组合式，因此不需要求出$m$、$n$的具体值，直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）计算两根之和与两根之积，再代入代数式求值即可。第一步先确定给定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步根据韦达定理分别求出$m+n$和$mn$的值；第三步将所求值代入目标代数式计算最终结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$m$、$n$，则有：
两根之和$m+n=-\frac{b}{a}$，两根之积$mn=\frac{c}{a}$。
已知方程为$x^2 - 2x - 4 = 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-4$，代入公式得：
$m+n=-\frac{-2}{1}=2$，$mn=\frac{-4}{1}=-4$。
将上述结果代入$m + n - mn$得：
$m + n - mn=2 - (-4)=2+4=6$。
【答案】
$6$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心是掌握韦达定理的公式，无需求解方程的根即可快速计算，解题时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先观察所求代数式$m + n - mn$的结构，是关于两根之和、两根之积的组合式，因此不需要求出$m$、$n$的具体值，直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）计算两根之和与两根之积，再代入代数式求值即可。第一步先确定给定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步根据韦达定理分别求出$m+n$和$mn$的值；第三步将所求值代入目标代数式计算最终结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$m$、$n$，则有：
两根之和$m+n=-\frac{b}{a}$，两根之积$mn=\frac{c}{a}$。
已知方程为$x^2 - 2x - 4 = 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-4$，代入公式得：
$m+n=-\frac{-2}{1}=2$，$mn=\frac{-4}{1}=-4$。
将上述结果代入$m + n - mn$得：
$m + n - mn=2 - (-4)=2+4=6$。
【答案】
$6$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心是掌握韦达定理的公式，无需求解方程的根即可快速计算，解题时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
3.以2和－5为根的一元二次方程可以是（
A.$x^2 -3x +10=0$
B.$x^2 +3x +10=0$
C.$x^2 +3x -10=0$
D.$x^2 -3x -10=0$
C
）A.$x^2 -3x +10=0$
B.$x^2 +3x +10=0$
C.$x^2 +3x -10=0$
D.$x^2 -3x -10=0$
答案
C
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程根与系数关系的应用，有多种解题思路：一是利用韦达定理，已知两根直接计算对应方程的系数；二是用因式分解法，根据根构造乘积形式的方程再展开；三是将两根代入选项逐一验证。优先选择韦达定理解题效率更高，具体思路为：先明确二次项系数为1的一元二次方程中，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，先计算2和-5的和与积，再对应写出方程即可。
【解析】
方法一：利用根与系数的关系求解
设二次项系数为1的一元二次方程为$x^2+px+q=0$，两根为$x_1=2$、$x_2=-5$。
根据根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-p$，代入得$2+(-5)=-3=-p$，解得$p=3$；
两根之积$x_1x_2=q$，代入得$2×(-5)=-10=q$。
因此方程为$x^2+3x-10=0$。
方法二：因式分解法构造方程
已知方程的根为2和-5，可直接写出因式乘积形式的方程：$(x-2)(x+5)=0$，
展开整理得：$x^2+3x-10=0$。
两种方法均得出对应方程为选项C的式子，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，因式分解法构造方程，一元二次方程根的定义
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题方法灵活，掌握韦达定理可快速得出答案，也可通过代入根验证的方法排除错误选项，核心是理解根与方程系数的对应关系。
【难度系数】
0.8
这道题考查一元二次方程根与系数关系的应用，有多种解题思路：一是利用韦达定理，已知两根直接计算对应方程的系数；二是用因式分解法，根据根构造乘积形式的方程再展开；三是将两根代入选项逐一验证。优先选择韦达定理解题效率更高，具体思路为：先明确二次项系数为1的一元二次方程中，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，先计算2和-5的和与积，再对应写出方程即可。
【解析】
方法一：利用根与系数的关系求解
设二次项系数为1的一元二次方程为$x^2+px+q=0$，两根为$x_1=2$、$x_2=-5$。
根据根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-p$，代入得$2+(-5)=-3=-p$，解得$p=3$；
两根之积$x_1x_2=q$，代入得$2×(-5)=-10=q$。
因此方程为$x^2+3x-10=0$。
方法二：因式分解法构造方程
已知方程的根为2和-5，可直接写出因式乘积形式的方程：$(x-2)(x+5)=0$，
展开整理得：$x^2+3x-10=0$。
两种方法均得出对应方程为选项C的式子，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，因式分解法构造方程，一元二次方程根的定义
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题方法灵活，掌握韦达定理可快速得出答案，也可通过代入根验证的方法排除错误选项，核心是理解根与方程系数的对应关系。
【难度系数】
0.8
4. 中考趋势·开放性问题 一元二次方程的两个根分别是$x_1,x_2$，其中$x_1+x_2=2$，$x_1x_2＜0$，写出一个满足此条件的方程：
$x^2 - 2x - 3 = 0$(答案不唯一)
。答案
$x^2 - 2x - 3 = 0$(答案不唯一)
解析
【分析】
要构造满足条件的一元二次方程，需结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）思考：对于一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。为简化计算，可先令二次项系数$a=1$，再根据$x_1+x_2=2$求出一次项系数$b$，最后根据$x_1x_2＜0$取任意一个负数值作为常数项$c$，即可得到符合条件的方程。
【解析】
设满足条件的一元二次方程为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}＜0$
为简化计算，令$a=1$，代入$-\frac{b}{a}=2$得：$b=-2$；
由$\frac{c}{a}=c＜0$，可取$c=-3$（取任意负数均可），将$a=1,b=-2,c=-3$代入一般式，得方程$x^2-2x-3=0$。
验证：该方程因式分解为$(x-3)(x+1)=0$，两根为$3$和$-1$，两根和为$3+(-1)=2$，两根积为$3×(-1)=-3＜0$，符合题意。
【答案】
$x^2 - 2x - 3 = 0$(答案不唯一)
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的构造
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查对根与系数关系的灵活运用，解题时可通过设定二次项系数为1简化计算，只要满足题干给出的两根和、两根积的条件即可，答案不唯一。
【难度系数】
0.8
要构造满足条件的一元二次方程，需结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）思考：对于一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。为简化计算，可先令二次项系数$a=1$，再根据$x_1+x_2=2$求出一次项系数$b$，最后根据$x_1x_2＜0$取任意一个负数值作为常数项$c$，即可得到符合条件的方程。
【解析】
设满足条件的一元二次方程为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}＜0$
为简化计算，令$a=1$，代入$-\frac{b}{a}=2$得：$b=-2$；
由$\frac{c}{a}=c＜0$，可取$c=-3$（取任意负数均可），将$a=1,b=-2,c=-3$代入一般式，得方程$x^2-2x-3=0$。
验证：该方程因式分解为$(x-3)(x+1)=0$，两根为$3$和$-1$，两根和为$3+(-1)=2$，两根积为$3×(-1)=-3＜0$，符合题意。
【答案】
$x^2 - 2x - 3 = 0$(答案不唯一)
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的构造
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查对根与系数关系的灵活运用，解题时可通过设定二次项系数为1简化计算，只要满足题干给出的两根和、两根积的条件即可，答案不唯一。
【难度系数】
0.8
5.(新知回顾)[2026马鞍山三模]已知方程$x^2 -5x +k=0$的一个根为1，则方程的另一个根为
$4$
。答案
$4$
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，若两根为$x_1、x_2$，则满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，已知其中一个根，直接代入求和公式即可快速算出另一个根，无需计算参数$k$；思路二：先将已知根代入原方程求出参数$k$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_2$，已知方程$x^2 -5x +k=0$中$a=1$，$b=-5$，根据根与系数的关系，两根之和$1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}=5$，解得$x_2=5-1=4$。
方法二（代入求参法）：
将$x=1$代入原方程得：$1^2 -5×1 +k=0$，解得$k=4$，则原方程为$x^2-5x+4=0$，因式分解得$(x-1)(x-4)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=4$，故另一个根为4。
【答案】
$4$
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，两种解题方法都需熟练掌握，其中运用根与系数的关系解题更为简便，能减少计算量、提升解题速度。
【难度系数】
0.9
本题可通过两种思路求解：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，若两根为$x_1、x_2$，则满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，已知其中一个根，直接代入求和公式即可快速算出另一个根，无需计算参数$k$；思路二：先将已知根代入原方程求出参数$k$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_2$，已知方程$x^2 -5x +k=0$中$a=1$，$b=-5$，根据根与系数的关系，两根之和$1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}=5$，解得$x_2=5-1=4$。
方法二（代入求参法）：
将$x=1$代入原方程得：$1^2 -5×1 +k=0$，解得$k=4$，则原方程为$x^2-5x+4=0$，因式分解得$(x-1)(x-4)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=4$，故另一个根为4。
【答案】
$4$
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，两种解题方法都需熟练掌握，其中运用根与系数的关系解题更为简便，能减少计算量、提升解题速度。
【难度系数】
0.9
6. [2026合肥期中]已知一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$的两个根分别为$x_1,x_2$，且$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 2$，则$b,c$的值分别是（
A.3,2
B.$-3,2$
C.$-3,-2$
D.$3,-2$
B
）A.3,2
B.$-3,2$
C.$-3,-2$
D.$3,-2$
答案
B
解析
【分析】
题目已知一元二次方程的两根之和与两根之积，求方程的一次项系数和常数项，应运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先确定所给方程的二次项系数a=1，再对应韦达定理的公式：对于$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根$x_1$、$x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，将已知的两根和、两根积代入公式，分别列等式计算b、c的值即可，注意两根和的公式带有负号，避免符号出错。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$，其二次项系数$a=1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，若方程的两根为$x_1,x_2$，则：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$
已知$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 2$，代入$a=1$得：
$3 = -\frac{b}{1}$，解得$b=-3$；
$2 = \frac{c}{1}$，解得$c=2$。
因此$b=-3$，$c=2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心是牢记韦达定理中两根和、两根积与方程系数的对应关系，计算时注意符号不要混淆，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
题目已知一元二次方程的两根之和与两根之积，求方程的一次项系数和常数项，应运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先确定所给方程的二次项系数a=1，再对应韦达定理的公式：对于$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根$x_1$、$x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，将已知的两根和、两根积代入公式，分别列等式计算b、c的值即可，注意两根和的公式带有负号，避免符号出错。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$，其二次项系数$a=1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，若方程的两根为$x_1,x_2$，则：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$
已知$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 2$，代入$a=1$得：
$3 = -\frac{b}{1}$，解得$b=-3$；
$2 = \frac{c}{1}$，解得$c=2$。
因此$b=-3$，$c=2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心是牢记韦达定理中两根和、两根积与方程系数的对应关系，计算时注意符号不要混淆，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
7.已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 -5x -2=0$的两个根,不解方程,求下列各式的值:
(1)$2x_1x_2 -x_1 -x_2$;
(2)$x_1^2x_2 +x_1x_2^2$;
(3)$\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}$;
(4)$\frac{x_2}{x_1} +\frac{x_1}{x_2}$.
(1)$2x_1x_2 -x_1 -x_2$;
(2)$x_1^2x_2 +x_1x_2^2$;
(3)$\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}$;
(4)$\frac{x_2}{x_1} +\frac{x_1}{x_2}$.
答案
解：(1)$-9$. (2)$-10$. (3)$-\frac{5}{2}$. (4)$-\frac{29}{2}$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：第一步，先根据给定的一元二次方程，结合根与系数的关系求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的值；第二步，将每个待求的代数式进行恒等变形，转化为仅含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第三步，将求出的两根和与积代入变形后的式子计算即可，无需解方程求根。
【解析】
解：
∵$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 -5x -2=0$的两个根
∴根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=-2$
(1) $2x_1x_2 -x_1 -x_2 = 2x_1x_2 - (x_1+x_2)$
代入数值计算：$=2×(-2) -5 = -4-5=-9$
(2) $x_1^2x_2 +x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1+x_2)$
代入数值计算：$=(-2)×5=-10$
(3) $\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$
代入数值计算：$=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$
(4) $\frac{x_2}{x_1} +\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$
代入数值计算：$=\frac{5^2 -2×(-2)}{-2}=\frac{25+4}{-2}=-\frac{29}{2}$
【答案】
(1)$-9$；(2)$-10$；(3)$-\frac{5}{2}$；(4)$-\frac{29}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系；2. 代数式恒等变形；3. 完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系应用的基础题型，核心是通过代数式变形将未知运算转化为已知的两根和、积的运算，既简化了计算步骤，又考查了学生的式子变形能力和公式运用能力，是该模块的常考典型题。
【难度系数】
0.75
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：第一步，先根据给定的一元二次方程，结合根与系数的关系求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的值；第二步，将每个待求的代数式进行恒等变形，转化为仅含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第三步，将求出的两根和与积代入变形后的式子计算即可，无需解方程求根。
【解析】
解：
∵$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 -5x -2=0$的两个根
∴根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=-2$
(1) $2x_1x_2 -x_1 -x_2 = 2x_1x_2 - (x_1+x_2)$
代入数值计算：$=2×(-2) -5 = -4-5=-9$
(2) $x_1^2x_2 +x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1+x_2)$
代入数值计算：$=(-2)×5=-10$
(3) $\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$
代入数值计算：$=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$
(4) $\frac{x_2}{x_1} +\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$
代入数值计算：$=\frac{5^2 -2×(-2)}{-2}=\frac{25+4}{-2}=-\frac{29}{2}$
【答案】
(1)$-9$；(2)$-10$；(3)$-\frac{5}{2}$；(4)$-\frac{29}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系；2. 代数式恒等变形；3. 完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系应用的基础题型，核心是通过代数式变形将未知运算转化为已知的两根和、积的运算，既简化了计算步骤，又考查了学生的式子变形能力和公式运用能力，是该模块的常考典型题。
【难度系数】
0.75
8.已知$m,n$是一元二次方程$x^2+2x-5=0$的两个根,求$m^2+mn+2m$的值.
答案
解：$m^2+mn+2m=0$.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：① 利用一元二次方程根的定义，m是方程的根，代入方程可得$m^2+2m$的值；② 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之积$mn$的值（或两根之和$m+n$的值）；③ 将所求代数式变形为含有上述已知结论的形式，整体代入计算即可，无需单独求解m、n的具体值，简化运算。
【解析】
方法1：
∵ m是一元二次方程$x^2+2x-5=0$的根
∴ 将$x=m$代入方程得：$m^2+2m-5=0$，即$m^2+2m=5$
又
∵ m、n是方程$x^2+2x-5=0$的两个根，根据根与系数的关系，两根之积$mn=\frac{c}{a}=\frac{-5}{1}=-5$
∴ $m^2+mn+2m=(m^2+2m)+mn=5+(-5)=0$
方法2：
对所求代数式变形得：$m^2+mn+2m=m(m+n+2)$
∵ m、n是方程$x^2+2x-5=0$的两个根，根据根与系数的关系，两根之和$m+n=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$
∴ 代入得原式=$m×(-2+2)=m×0=0$
【答案】
$0$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的典型应用，解题核心是利用整体代入的思想，结合根的定义和韦达定理计算，避免了求解根的具体值带来的复杂运算，是这类代数式求值题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：① 利用一元二次方程根的定义，m是方程的根，代入方程可得$m^2+2m$的值；② 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之积$mn$的值（或两根之和$m+n$的值）；③ 将所求代数式变形为含有上述已知结论的形式，整体代入计算即可，无需单独求解m、n的具体值，简化运算。
【解析】
方法1：
∵ m是一元二次方程$x^2+2x-5=0$的根
∴ 将$x=m$代入方程得：$m^2+2m-5=0$，即$m^2+2m=5$
又
∵ m、n是方程$x^2+2x-5=0$的两个根，根据根与系数的关系，两根之积$mn=\frac{c}{a}=\frac{-5}{1}=-5$
∴ $m^2+mn+2m=(m^2+2m)+mn=5+(-5)=0$
方法2：
对所求代数式变形得：$m^2+mn+2m=m(m+n+2)$
∵ m、n是方程$x^2+2x-5=0$的两个根，根据根与系数的关系，两根之和$m+n=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$
∴ 代入得原式=$m×(-2+2)=m×0=0$
【答案】
$0$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的典型应用，解题核心是利用整体代入的思想，结合根的定义和韦达定理计算，避免了求解根的具体值带来的复杂运算，是这类代数式求值题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.8
已知$m,n$是一元二次方程$x^2 + 2x -5=0$的两个根，求$m^2 -2mn -2n +1$的值.
答案
解：$m^2 -2mn -2n +1=20$.
解析
【分析】
遇到已知一元二次方程两根求代数式值的问题，可按以下思路推导：1. 利用一元二次方程根的定义，将根代入方程，把代数式中的高次项降为一次项，简化所求代数式；2. 结合一元二次方程根与系数的关系，直接得到两根之和、两根之积；3. 将降次后的代数式整理为仅包含两根之和、两根积的形式，整体代入数值计算即可，无需单独求解m、n的具体值，可减少计算量。
【解析】
解：
∵m是一元二次方程$x^2 + 2x -5=0$的根
∴将x=m代入方程得：$m^2 + 2m -5=0$，即$m^2=5-2m$
又
∵m、n是一元二次方程$x^2 + 2x -5=0$的两个根
根据根与系数的关系可得：
$m+n=-\frac{2}{1}=-2$，$mn=\frac{-5}{1}=-5$
将$m^2=5-2m$代入$m^2 -2mn -2n +1$得：
原式$=(5-2m) -2mn -2n +1$
$=6 - 2m -2n -2mn$
$=6 - 2(m+n) - 2mn$
把$m+n=-2$，$mn=-5$代入上式：
原式$=6 - 2×(-2) - 2×(-5)$
$=6 +4 +10$
$=20$
【答案】
20
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常见应用题型，核心考查降次思想和整体代入思想，解题时不需要求出两根的具体数值，通过转化变形即可快速得到结果，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.6
遇到已知一元二次方程两根求代数式值的问题，可按以下思路推导：1. 利用一元二次方程根的定义，将根代入方程，把代数式中的高次项降为一次项，简化所求代数式；2. 结合一元二次方程根与系数的关系，直接得到两根之和、两根之积；3. 将降次后的代数式整理为仅包含两根之和、两根积的形式，整体代入数值计算即可，无需单独求解m、n的具体值，可减少计算量。
【解析】
解：
∵m是一元二次方程$x^2 + 2x -5=0$的根
∴将x=m代入方程得：$m^2 + 2m -5=0$，即$m^2=5-2m$
又
∵m、n是一元二次方程$x^2 + 2x -5=0$的两个根
根据根与系数的关系可得：
$m+n=-\frac{2}{1}=-2$，$mn=\frac{-5}{1}=-5$
将$m^2=5-2m$代入$m^2 -2mn -2n +1$得：
原式$=(5-2m) -2mn -2n +1$
$=6 - 2m -2n -2mn$
$=6 - 2(m+n) - 2mn$
把$m+n=-2$，$mn=-5$代入上式：
原式$=6 - 2×(-2) - 2×(-5)$
$=6 +4 +10$
$=20$
【答案】
20
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常见应用题型，核心考查降次思想和整体代入思想，解题时不需要求出两根的具体数值，通过转化变形即可快速得到结果，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.6
