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1.若$m=-2$,则代数式$m^2 - 2m - 1$的值是（
A.9
B.7
C.$-1$
D.$-9$
B
）A.9
B.7
C.$-1$
D.$-9$
答案
B
解析
【分析】
本题是代数式求值的基础题型，解题思路很明确：首先将题目给出的m的取值直接代入到待求的代数式中，之后按照有理数的运算顺序（先算乘方，再算乘法，最后算加减）逐步计算即可，计算过程中要重点留意负数相关运算的符号问题，避免因符号判断错误失分。
【解析】
解：当$m=-2$时，将其代入代数式$m^2 - 2m - 1$中计算：
$\begin{aligned}原式&=(-2)^2 - 2×(-2) - 1\\&=4 - (-4) - 1\\&=4 + 4 - 1\\&=7\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是代数运算的基础题，主要考查代入计算的能力，只要熟练掌握有理数运算的符号规则，计算时细心就能拿到分数，是对代数式取值概念的基础考察。
【难度系数】
0.9
本题是代数式求值的基础题型，解题思路很明确：首先将题目给出的m的取值直接代入到待求的代数式中，之后按照有理数的运算顺序（先算乘方，再算乘法，最后算加减）逐步计算即可，计算过程中要重点留意负数相关运算的符号问题，避免因符号判断错误失分。
【解析】
解：当$m=-2$时，将其代入代数式$m^2 - 2m - 1$中计算：
$\begin{aligned}原式&=(-2)^2 - 2×(-2) - 1\\&=4 - (-4) - 1\\&=4 + 4 - 1\\&=7\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是代数运算的基础题，主要考查代入计算的能力，只要熟练掌握有理数运算的符号规则，计算时细心就能拿到分数，是对代数式取值概念的基础考察。
【难度系数】
0.9
变式训练
单个字母代入求值→多个字母代入求值→式子整体代入求值
(1)当 $x=-\dfrac{1}{2},y=-4$ 时,代数式 $4x^2 - xy -3$ 的值是
(2)[整体思想]已知代数式 $x-2y$ 的值是3,则代数式 $x-2y-3$ 的值是
单个字母代入求值→多个字母代入求值→式子整体代入求值
(1)当 $x=-\dfrac{1}{2},y=-4$ 时,代数式 $4x^2 - xy -3$ 的值是
-4
.(2)[整体思想]已知代数式 $x-2y$ 的值是3,则代数式 $x-2y-3$ 的值是
0
.答案
(1)-4 (2)0
解析
【分析】
(1) 该问属于已知单个字母取值求代数式的值，解题思路是直接将x、y的数值代入代数式，严格按照有理数的运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减）计算即可，计算时注意符号不要出错。
(2) 该问考查整体代入思想，已知x-2y的整体取值，不需要单独求出x、y的具体值，直接将x-2y看作一个整体代入所求代数式计算即可，能大幅简化运算过程。
【解析】
(1) 把$x=-\dfrac{1}{2},y=-4$代入$4x^2 - xy -3$得：
$\begin{aligned}原式&=4×(-\dfrac{1}{2})^2 - (-\dfrac{1}{2})×(-4) - 3\\&=4×\dfrac{1}{4} - 2 - 3\\&=1 - 2 - 3\\&=-4\end{aligned}$
(2) 由题意知$x-2y=3$，将其整体代入$x-2y-3$得：
$原式=3 - 3=0$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；(2) $\boldsymbol{0}$
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算；整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，涵盖了直接代入和整体代入两种常用求值方法，解题时要注意：直接代入计算需严格遵循运算顺序，重点关注符号的处理；整体代入法不需要求出每个字母的取值，可有效降低计算量，是代数式求值中常用的技巧。
【难度系数】
0.9
(1) 该问属于已知单个字母取值求代数式的值，解题思路是直接将x、y的数值代入代数式，严格按照有理数的运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减）计算即可，计算时注意符号不要出错。
(2) 该问考查整体代入思想，已知x-2y的整体取值，不需要单独求出x、y的具体值，直接将x-2y看作一个整体代入所求代数式计算即可，能大幅简化运算过程。
【解析】
(1) 把$x=-\dfrac{1}{2},y=-4$代入$4x^2 - xy -3$得：
$\begin{aligned}原式&=4×(-\dfrac{1}{2})^2 - (-\dfrac{1}{2})×(-4) - 3\\&=4×\dfrac{1}{4} - 2 - 3\\&=1 - 2 - 3\\&=-4\end{aligned}$
(2) 由题意知$x-2y=3$，将其整体代入$x-2y-3$得：
$原式=3 - 3=0$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；(2) $\boldsymbol{0}$
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算；整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，涵盖了直接代入和整体代入两种常用求值方法，解题时要注意：直接代入计算需严格遵循运算顺序，重点关注符号的处理；整体代入法不需要求出每个字母的取值，可有效降低计算量，是代数式求值中常用的技巧。
【难度系数】
0.9
2. [新课标—情境题]人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关.如果用a表示一个人的年龄，用b表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么$b=0.8(220-a)$.正常情况下，一个15岁的少年在运动时每分钟所能承受的心跳最高次数为（
A.41
B.156
C.164
D.165
C
）A.41
B.156
C.164
D.165
答案
C
解析
【分析】
本题是代数式求值的实际应用问题，已知运动时所能承受的每分钟心跳最高次数的计算公式，解题思路清晰：首先明确公式中字母的含义，将给定的年龄数值代入公式，再按照有理数的运算顺序，先算括号内的减法，再算乘法，最终将计算结果匹配对应选项即可。
【解析】
已知公式$b=0.8(220-a)$，15岁少年对应的年龄$a=15$，将$a=15$代入公式计算：
1. 先计算括号内的减法：$220 - a = 220 - 15 = 205$
2. 再计算乘法：$b = 0.8×205 = 164$
因此15岁少年运动时每分钟所能承受的心跳最高次数为164，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题结合生活情境考查代数式的基础应用，解题核心是准确代入数值、遵循运算顺序计算，属于基础类题目，只要计算细心就不易出错。
【难度系数】
0.85
本题是代数式求值的实际应用问题，已知运动时所能承受的每分钟心跳最高次数的计算公式，解题思路清晰：首先明确公式中字母的含义，将给定的年龄数值代入公式，再按照有理数的运算顺序，先算括号内的减法，再算乘法，最终将计算结果匹配对应选项即可。
【解析】
已知公式$b=0.8(220-a)$，15岁少年对应的年龄$a=15$，将$a=15$代入公式计算：
1. 先计算括号内的减法：$220 - a = 220 - 15 = 205$
2. 再计算乘法：$b = 0.8×205 = 164$
因此15岁少年运动时每分钟所能承受的心跳最高次数为164，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题结合生活情境考查代数式的基础应用，解题核心是准确代入数值、遵循运算顺序计算，属于基础类题目，只要计算细心就不易出错。
【难度系数】
0.85
3.某村去年小麦的产量是m万千克，今年因技术改进产量比去年增加了10%。
(1)今年的产量是
(2)若m=10，则今年的产量是
(1)今年的产量是
$1.1m$
万千克；(2)若m=10，则今年的产量是
11
万千克。答案
(1)$1.1m$ (2)11
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：（1）解决第一问首先要明确“产量比去年增加10%”的含义：今年产量是在去年产量的基础上，多出去年产量的10%，因此今年产量 = 去年产量 + 去年产量×10%，也就是去年产量的（1+10%）倍，据此列代数式即可；（2）第二问是求代数式的值，直接将m=10代入第一问得到的代数式中，按照运算规则计算就能得到结果。
【解析】
（1）已知去年小麦产量是m万千克，今年比去年增加10%，则今年产量为：
$m + 10\%m = (1+0.1)m = 1.1m$（万千克）
（2）当$m=10$时，将其代入$1.1m$中计算：
$1.1×10 = 11$（万千克）
【答案】
(1)$1.1m$；(2)11
【知识点】
列代数式；代数式求值；增长率应用
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是正确理解增长率的含义，熟练掌握代数式的列写方法以及代入求值的运算规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
本题分为两小问，解题思路如下：（1）解决第一问首先要明确“产量比去年增加10%”的含义：今年产量是在去年产量的基础上，多出去年产量的10%，因此今年产量 = 去年产量 + 去年产量×10%，也就是去年产量的（1+10%）倍，据此列代数式即可；（2）第二问是求代数式的值，直接将m=10代入第一问得到的代数式中，按照运算规则计算就能得到结果。
【解析】
（1）已知去年小麦产量是m万千克，今年比去年增加10%，则今年产量为：
$m + 10\%m = (1+0.1)m = 1.1m$（万千克）
（2）当$m=10$时，将其代入$1.1m$中计算：
$1.1×10 = 11$（万千克）
【答案】
(1)$1.1m$；(2)11
【知识点】
列代数式；代数式求值；增长率应用
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是正确理解增长率的含义，熟练掌握代数式的列写方法以及代入求值的运算规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
4. 当$a$的值为5时，下列代数式的值最大的是（
A.$2a+3$
B.$\frac{a}{2}-1$
C.$\frac{1}{5}a^2 -2a +10$
D.$\frac{7a^2 -100}{5}$
D
）A.$2a+3$
B.$\frac{a}{2}-1$
C.$\frac{1}{5}a^2 -2a +10$
D.$\frac{7a^2 -100}{5}$
答案
D
解析
【分析】
要判断a=5时哪个代数式的值最大，解题思路是将a=5分别代入四个选项的代数式中，按照运算规则计算出每个代数式的结果，再对四个结果进行大小比较，数值最大的对应的选项就是答案。
【解析】
已知a=5，分别计算各选项代数式的值：
A. 代入得：$2a+3=2×5+3=10+3=13$
B. 代入得：$\frac{a}{2}-1=\frac{5}{2}-1=2.5-1=1.5$
C. 代入得：$\frac{1}{5}a^2 -2a +10=\frac{1}{5}×5^2 -2×5 +10=\frac{1}{5}×25 -10 +10=5-10+10=5$
D. 代入得：$\frac{7a^2 -100}{5}=\frac{7×5^2 -100}{5}=\frac{7×25 -100}{5}=\frac{175-100}{5}=\frac{75}{5}=15$
比较四个结果：$15＞13＞5＞1.5$，因此D选项的代数式值最大。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值；有理数大小比较
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，解题核心是准确代入给定数值，计算时要遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，避免因计算错误失分。
【难度系数】
0.9
要判断a=5时哪个代数式的值最大，解题思路是将a=5分别代入四个选项的代数式中，按照运算规则计算出每个代数式的结果，再对四个结果进行大小比较，数值最大的对应的选项就是答案。
【解析】
已知a=5，分别计算各选项代数式的值：
A. 代入得：$2a+3=2×5+3=10+3=13$
B. 代入得：$\frac{a}{2}-1=\frac{5}{2}-1=2.5-1=1.5$
C. 代入得：$\frac{1}{5}a^2 -2a +10=\frac{1}{5}×5^2 -2×5 +10=\frac{1}{5}×25 -10 +10=5-10+10=5$
D. 代入得：$\frac{7a^2 -100}{5}=\frac{7×5^2 -100}{5}=\frac{7×25 -100}{5}=\frac{175-100}{5}=\frac{75}{5}=15$
比较四个结果：$15＞13＞5＞1.5$，因此D选项的代数式值最大。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值；有理数大小比较
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，解题核心是准确代入给定数值，计算时要遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，避免因计算错误失分。
【难度系数】
0.9
5. [教材 P72 习题 2.1 第4题改编]明明爸爸准备在窗户上挂装饰物(不透光),如图所示,它们由两个四分之一圆组成(半径相同),解答下列问题:
(1)请用代数式表示装饰物的面积;(结果保留π)
(2)请用代数式表示窗户能射进阳光部分的面积;(结果保留π)
(3)若$a=1,b=\frac{2}{3}$,求窗户能射进阳光部分的面积.(π取3)
(1)请用代数式表示装饰物的面积;(结果保留π)
(2)请用代数式表示窗户能射进阳光部分的面积;(结果保留π)
(3)若$a=1,b=\frac{2}{3}$,求窗户能射进阳光部分的面积.(π取3)
答案
(1)$\dfrac{1}{8}π b^2$
(2)$ab-\dfrac{1}{8}π b^2$
(3)当$a=1,b=\dfrac{2}{3}$时,$ab-\dfrac{1}{8}π b^2=\dfrac{1}{2}$.
(2)$ab-\dfrac{1}{8}π b^2$
(3)当$a=1,b=\dfrac{2}{3}$时,$ab-\dfrac{1}{8}π b^2=\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
解题时按照小问顺序逐步推导：1. 先分析装饰物的图形构成：两个半径相等的四分之一圆可拼接成$\frac{1}{2}$个完整的圆，再结合窗户总宽为$b$，可得圆的半径为$\frac{b}{2}$，代入圆的面积公式即可求出装饰物面积。2. 射进阳光的面积为长方形窗户的总面积减去装饰物的面积，长方形面积为长×宽即$ab$，用其减去第一问的结果即可得到对应表达式。3. 第三问属于代数式求值，将给定的$a$、$b$、$π$的数值直接代入第二问的代数式，按四则运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由图可知，两个四分之一圆的半径均为$r=\frac{b}{2}$，两个四分之一圆的面积和等于$\frac{1}{2}$个圆的面积：
$S_{装饰物}=\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π×(\frac{b}{2})^2=\frac{1}{8}π b^2$。
(2) 长方形窗户的面积为$S_{窗户}=ab$，射进阳光部分的面积等于窗户面积减去装饰物面积：
$S_{阳光}=S_{窗户}-S_{装饰物}=ab-\frac{1}{8}π b^2$。
(3) 将$a=1$，$b=\frac{2}{3}$，$π=3$代入$ab-\frac{1}{8}π b^2$得：
$\begin{aligned}原式&=1×\frac{2}{3}-\frac{1}{8}×3×(\frac{2}{3})^2\\&=\frac{2}{3}-\frac{3}{8}×\frac{4}{9}\\&=\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{8}π b^2$
(2)$ab-\dfrac{1}{8}π b^2$
(3)$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
列代数式，代数式求值，图形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查代数式的应用，解题关键是准确识别装饰物的图形构成，理清各面积之间的数量关系，代入求值时注意运算顺序，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
解题时按照小问顺序逐步推导：1. 先分析装饰物的图形构成：两个半径相等的四分之一圆可拼接成$\frac{1}{2}$个完整的圆，再结合窗户总宽为$b$，可得圆的半径为$\frac{b}{2}$，代入圆的面积公式即可求出装饰物面积。2. 射进阳光的面积为长方形窗户的总面积减去装饰物的面积，长方形面积为长×宽即$ab$，用其减去第一问的结果即可得到对应表达式。3. 第三问属于代数式求值，将给定的$a$、$b$、$π$的数值直接代入第二问的代数式，按四则运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由图可知，两个四分之一圆的半径均为$r=\frac{b}{2}$，两个四分之一圆的面积和等于$\frac{1}{2}$个圆的面积：
$S_{装饰物}=\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π×(\frac{b}{2})^2=\frac{1}{8}π b^2$。
(2) 长方形窗户的面积为$S_{窗户}=ab$，射进阳光部分的面积等于窗户面积减去装饰物面积：
$S_{阳光}=S_{窗户}-S_{装饰物}=ab-\frac{1}{8}π b^2$。
(3) 将$a=1$，$b=\frac{2}{3}$，$π=3$代入$ab-\frac{1}{8}π b^2$得：
$\begin{aligned}原式&=1×\frac{2}{3}-\frac{1}{8}×3×(\frac{2}{3})^2\\&=\frac{2}{3}-\frac{3}{8}×\frac{4}{9}\\&=\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{8}π b^2$
(2)$ab-\dfrac{1}{8}π b^2$
(3)$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
列代数式，代数式求值，图形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查代数式的应用，解题关键是准确识别装饰物的图形构成，理清各面积之间的数量关系，代入求值时注意运算顺序，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
6. [新课标—探究题]已知有下列两个代数式：
①$a^2 - b^2$；②$(a + b)(a - b)$。
（1）当$a = 5, b = 4$时，代数式①的值是
（2）当$a = -2, b = 1$时，代数式①的值是
（3）观察（1）和（2）中代数式的值，你发现代数式$a^2 - b^2$和$(a + b)(a - b)$的关系为
（4）利用你发现的结论，求$2025^2 - 2024^2$的值。
①$a^2 - b^2$；②$(a + b)(a - b)$。
（1）当$a = 5, b = 4$时，代数式①的值是
9
，代数式②的值是9
；（2）当$a = -2, b = 1$时，代数式①的值是
3
，代数式②的值是3
；（3）观察（1）和（2）中代数式的值，你发现代数式$a^2 - b^2$和$(a + b)(a - b)$的关系为
$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$
；（用式子表示）（4）利用你发现的结论，求$2025^2 - 2024^2$的值。
答案
(1)9 9
(2)3 3
(3)$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$
(4)$2025^2 - 2024^2=(2025 + 2024)×(2025 - 2024)=4049$
(2)3 3
(3)$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$
(4)$2025^2 - 2024^2=(2025 + 2024)×(2025 - 2024)=4049$
解析
【分析】
本题解题思路清晰：（1）（2）问只需将对应a、b的取值分别代入两个代数式，按照有理数的运算顺序计算即可得到结果；（3）问对比前两问两个代数式的计算结果，即可归纳得出二者的等量关系；（4）问直接套用（3）中发现的规律，将平方差转化为两个数的和乘两个数的差，就能快速简便算出结果，避免计算大数的平方。
【解析】
（1）当$a=5,b=4$时：
代数式①的值：$a^2 - b^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$
代数式②的值：$(a + b)(a - b) = (5 + 4)×(5 - 4) = 9×1 = 9$
故依次填9、9；
（2）当$a=-2,b=1$时：
代数式①的值：$a^2 - b^2 = (-2)^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$
代数式②的值：$(a + b)(a - b) = (-2 + 1)×(-2 - 1) = (-1)×(-3) = 3$
故依次填3、3；
（3）观察（1）（2）的计算结果，两个代数式的取值始终相等，因此关系为：$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$；
（4）根据发现的结论计算：
$2025^2 - 2024^2=(2025 + 2024)×(2025 - 2024)=4049×1=4049$
【答案】
(1)9 9
(2)3 3
(3)$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$
(4)4049
【知识点】
代数式求值；平方差公式；规律探究
【点评】
本题以探究的形式展开，从特殊值代入计算到一般规律总结，再到规律的应用，既考查了代数式的基本运算能力，也渗透了从特殊到一般的数学思想，能帮助学生理解平方差公式的由来，提升简便运算的意识。
【难度系数】
0.85
本题解题思路清晰：（1）（2）问只需将对应a、b的取值分别代入两个代数式，按照有理数的运算顺序计算即可得到结果；（3）问对比前两问两个代数式的计算结果，即可归纳得出二者的等量关系；（4）问直接套用（3）中发现的规律，将平方差转化为两个数的和乘两个数的差，就能快速简便算出结果，避免计算大数的平方。
【解析】
（1）当$a=5,b=4$时：
代数式①的值：$a^2 - b^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$
代数式②的值：$(a + b)(a - b) = (5 + 4)×(5 - 4) = 9×1 = 9$
故依次填9、9；
（2）当$a=-2,b=1$时：
代数式①的值：$a^2 - b^2 = (-2)^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$
代数式②的值：$(a + b)(a - b) = (-2 + 1)×(-2 - 1) = (-1)×(-3) = 3$
故依次填3、3；
（3）观察（1）（2）的计算结果，两个代数式的取值始终相等，因此关系为：$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$；
（4）根据发现的结论计算：
$2025^2 - 2024^2=(2025 + 2024)×(2025 - 2024)=4049×1=4049$
【答案】
(1)9 9
(2)3 3
(3)$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$
(4)4049
【知识点】
代数式求值；平方差公式；规律探究
【点评】
本题以探究的形式展开，从特殊值代入计算到一般规律总结，再到规律的应用，既考查了代数式的基本运算能力，也渗透了从特殊到一般的数学思想，能帮助学生理解平方差公式的由来，提升简便运算的意识。
【难度系数】
0.85
