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1. 给出下列式子：$\frac{xy}{4}$，$3a$，$\frac{x - y}{4}$，$1$，$3a^2 + 1$。其中单项式的个数是 （
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式的判定规则：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；如果式子中含有加减运算，或者分母中含有字母，则不属于单项式。接下来我们逐个判断给出的式子是否符合单项式的要求，统计符合条件的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
1. $\frac{xy}{4}$：是$\frac{1}{4}$与$x$、$y$的乘积，不含加减运算，符合单项式定义，是单项式；
2. $3a$：是数字3与字母$a$的乘积，符合单项式定义，是单项式；
3. $\frac{x-y}{4}$：可变形为$\frac{x}{4}-\frac{y}{4}$，含有减法运算，属于多项式，不是单项式；
4. $1$：单独的一个数字，符合单项式的定义，是单项式；
5. $3a^2+1$：含有加法运算，属于多项式，不是单项式。
综上，单项式共有3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 单项式的定义
2. 整式的分类
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确掌握单项式的判定标准，尤其要注意单独的数字也属于单项式，避免漏判，同时要注意区分单项式和多项式，避免把含加减运算的整式错判为单项式。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确单项式的判定规则：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；如果式子中含有加减运算，或者分母中含有字母，则不属于单项式。接下来我们逐个判断给出的式子是否符合单项式的要求，统计符合条件的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
1. $\frac{xy}{4}$：是$\frac{1}{4}$与$x$、$y$的乘积，不含加减运算，符合单项式定义，是单项式；
2. $3a$：是数字3与字母$a$的乘积，符合单项式定义，是单项式；
3. $\frac{x-y}{4}$：可变形为$\frac{x}{4}-\frac{y}{4}$，含有减法运算，属于多项式，不是单项式；
4. $1$：单独的一个数字，符合单项式的定义，是单项式；
5. $3a^2+1$：含有加法运算，属于多项式，不是单项式。
综上，单项式共有3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 单项式的定义
2. 整式的分类
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确掌握单项式的判定标准，尤其要注意单独的数字也属于单项式，避免漏判，同时要注意区分单项式和多项式，避免把含加减运算的整式错判为单项式。
【难度系数】
0.8
2. 填写下列表格：
答案
1 $-1$ $\frac{1}{16}$ $-\frac{5}{6}$ 9 $-2.56$ 2 3 2 1 6 4
解析
【分析】
解决本题首先要明确两个核心概念：①单项式的系数是单项式中的数字因数，包含数字前面的符号，若单项式省略数字因数1或-1，也要对应补上；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和，注意数字部分的指数不计入次数。接下来逐个分析每个单项式，分别计算对应的系数和次数即可。
【解析】
我们逐个分析表格中的单项式：
1. 单项式$a^2$：数字因数为$1$，因此系数是$1$；仅含字母$a$，指数为$2$，因此次数是$2$。
2. 单项式$-xyz$：数字因数为$-1$，因此系数是$-1$；含字母$x、y、z$，每个字母指数都是1，指数和为$1+1+1=3$，因此次数是$3$。
3. 单项式$\frac{1}{16}b^2$：数字因数为$\frac{1}{16}$，因此系数是$\frac{1}{16}$；仅含字母$b$，指数为$2$，因此次数是$2$。
4. 单项式$-\frac{5}{6}x$：数字因数为$-\frac{5}{6}$，因此系数是$-\frac{5}{6}$；仅含字母$x$，指数为$1$，因此次数是$1$。
5. 单项式$3^2x^2y^3z$：数字部分计算得$3^2=9$，因此系数是$9$；含字母$x、y、z$，指数分别为$2、3、1$，指数和为$2+3+1=6$，因此次数是$6$。
6. 单项式$-2.56ab^3$：数字因数为$-2.56$，因此系数是$-2.56$；含字母$a、b$，指数分别为$1、3$，指数和为$1+3=4$，因此次数是$4$。
【答案】
系数依次为：$1$，$-1$，$\frac{1}{16}$，$-\frac{5}{6}$，$9$，$-2.56$；次数依次为：$2$，$3$，$2$，$1$，$6$，$4$
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是整式章节的基础题型，重点考查对单项式相关概念的理解掌握，常见易错点是忽略系数的负号，或是误将数字的指数计入单项式的次数，牢记概念、细心计算即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
解决本题首先要明确两个核心概念：①单项式的系数是单项式中的数字因数，包含数字前面的符号，若单项式省略数字因数1或-1，也要对应补上；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和，注意数字部分的指数不计入次数。接下来逐个分析每个单项式，分别计算对应的系数和次数即可。
【解析】
我们逐个分析表格中的单项式：
1. 单项式$a^2$：数字因数为$1$，因此系数是$1$；仅含字母$a$，指数为$2$，因此次数是$2$。
2. 单项式$-xyz$：数字因数为$-1$，因此系数是$-1$；含字母$x、y、z$，每个字母指数都是1，指数和为$1+1+1=3$，因此次数是$3$。
3. 单项式$\frac{1}{16}b^2$：数字因数为$\frac{1}{16}$，因此系数是$\frac{1}{16}$；仅含字母$b$，指数为$2$，因此次数是$2$。
4. 单项式$-\frac{5}{6}x$：数字因数为$-\frac{5}{6}$，因此系数是$-\frac{5}{6}$；仅含字母$x$，指数为$1$，因此次数是$1$。
5. 单项式$3^2x^2y^3z$：数字部分计算得$3^2=9$，因此系数是$9$；含字母$x、y、z$，指数分别为$2、3、1$，指数和为$2+3+1=6$，因此次数是$6$。
6. 单项式$-2.56ab^3$：数字因数为$-2.56$，因此系数是$-2.56$；含字母$a、b$，指数分别为$1、3$，指数和为$1+3=4$，因此次数是$4$。
【答案】
系数依次为：$1$，$-1$，$\frac{1}{16}$，$-\frac{5}{6}$，$9$，$-2.56$；次数依次为：$2$，$3$，$2$，$1$，$6$，$4$
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是整式章节的基础题型，重点考查对单项式相关概念的理解掌握，常见易错点是忽略系数的负号，或是误将数字的指数计入单项式的次数，牢记概念、细心计算即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
3. 对于多项式$-3x - 2xy^2 - 1$，下列说法中正确的是（
A.一次项系数是3
B.最高次项是$2xy^2$
C.常数项是$-1$
D.它是四次三项式
C
）A.一次项系数是3
B.最高次项是$2xy^2$
C.常数项是$-1$
D.它是四次三项式
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查多项式的相关基本概念，解题思路是先明确多项式的项、项的系数、最高次项、常数项、多项式次数的定义，再将原多项式拆分出各个组成项，逐一比对选项判断正误即可，注意判断项的相关属性时要连带项前面的符号一起分析。
【解析】
先拆分多项式$-3x - 2xy^2 - 1$的三个组成项，分别为：一次项$-3x$，三次项$-2xy^2$，常数项$-1$。
对各选项逐一分析：
A. 一次项是$-3x$，系数为$-3$，不是3，故A错误；
B. 各项中次数最高的是三次项$-2xy^2$，选项遗漏了负号，故B错误；
C. 不含字母的常数项是$-1$，故C正确；
D. 该多项式最高次项次数为3，共3个项，属于三次三项式，不是四次三项式，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
多项式的项与系数、多项式的次数、常数项的定义
【点评】
本题是整式章节的基础题型，易错点是分析项的系数、最高次项时容易遗漏项前面的负号，熟练掌握多项式的基本概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查多项式的相关基本概念，解题思路是先明确多项式的项、项的系数、最高次项、常数项、多项式次数的定义，再将原多项式拆分出各个组成项，逐一比对选项判断正误即可，注意判断项的相关属性时要连带项前面的符号一起分析。
【解析】
先拆分多项式$-3x - 2xy^2 - 1$的三个组成项，分别为：一次项$-3x$，三次项$-2xy^2$，常数项$-1$。
对各选项逐一分析：
A. 一次项是$-3x$，系数为$-3$，不是3，故A错误；
B. 各项中次数最高的是三次项$-2xy^2$，选项遗漏了负号，故B错误；
C. 不含字母的常数项是$-1$，故C正确；
D. 该多项式最高次项次数为3，共3个项，属于三次三项式，不是四次三项式，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
多项式的项与系数、多项式的次数、常数项的定义
【点评】
本题是整式章节的基础题型，易错点是分析项的系数、最高次项时容易遗漏项前面的负号，熟练掌握多项式的基本概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.若关于$x,y$的多项式$3x^2 - nx^m y - x$是一个三次三项式，且最高次项的系数是$-3$，则$m=\_\_\_\_\_\_$，$n=\_\_\_\_\_\_$。
答案
4.2 3
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先明确多项式的相关核心概念：①多项式的次数是指多项式里次数最高项的次数；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，单项式的系数是单项式中的数字因数（包含前面的符号）。首先观察给出的多项式，共有3个项：$3x^2$（次数为2）、$-nx^m y$、$-x$（次数为1），因此最高次项只能是$-nx^m y$。接下来根据“三次三项式”的要求，可得最高次项的次数为3；再根据“最高次项的系数是-3”的条件，可得最高次项的数字因数为-3，分别列等式求解即可得到m、n的值。
【解析】
解：多项式$3x^2 - nx^m y - x$共有3个项，其中$3x^2$的次数是2，$-x$的次数是1，因此最高次项为$-nx^m y$。
1. 求m的值：
因为多项式是三次三项式，所以最高次项的次数为3。
单项式$-nx^m y$中x的指数是m，y的指数是1，次数为所有字母指数和，即$m+1$，因此列等式：
$m+1=3$
解得$m=2$。
2. 求n的值：
因为最高次项的系数是$-3$，单项式$-nx^m y$的系数为$-n$，因此列等式：
$-n=-3$
解得$n=3$。
【答案】
2 3
【知识点】
多项式的次数；单项式的系数与次数
【点评】
本题考查整式的基础概念，解题核心是准确识别最高次项，计算单项式次数时不要遗漏任意一个字母的指数，同时注意系数要包含前面的符号，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要先明确多项式的相关核心概念：①多项式的次数是指多项式里次数最高项的次数；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，单项式的系数是单项式中的数字因数（包含前面的符号）。首先观察给出的多项式，共有3个项：$3x^2$（次数为2）、$-nx^m y$、$-x$（次数为1），因此最高次项只能是$-nx^m y$。接下来根据“三次三项式”的要求，可得最高次项的次数为3；再根据“最高次项的系数是-3”的条件，可得最高次项的数字因数为-3，分别列等式求解即可得到m、n的值。
【解析】
解：多项式$3x^2 - nx^m y - x$共有3个项，其中$3x^2$的次数是2，$-x$的次数是1，因此最高次项为$-nx^m y$。
1. 求m的值：
因为多项式是三次三项式，所以最高次项的次数为3。
单项式$-nx^m y$中x的指数是m，y的指数是1，次数为所有字母指数和，即$m+1$，因此列等式：
$m+1=3$
解得$m=2$。
2. 求n的值：
因为最高次项的系数是$-3$，单项式$-nx^m y$的系数为$-n$，因此列等式：
$-n=-3$
解得$n=3$。
【答案】
2 3
【知识点】
多项式的次数；单项式的系数与次数
【点评】
本题考查整式的基础概念，解题核心是准确识别最高次项，计算单项式次数时不要遗漏任意一个字母的指数，同时注意系数要包含前面的符号，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.8
5. 下列式子: ①$-\dfrac{1}{2}$；②$a+b$；③$\dfrac{a^2b^2}{π}$；④$\dfrac{5}{x}$；⑤$a^2 -2a +1$；⑥$\dfrac{1}{3}x$. 其中单项式是________，多项式是________，整式是________.(填序号)
答案
5. ①③⑥ ②⑤ ①②③⑤⑥
解析
【分析】
解题前先明确三类代数式的核心定义：①单项式：仅由数与字母的乘积构成的代数式，单独的数或单独的字母也属于单项式，注意π是常数不是字母；②多项式：几个单项式的和组成的代数式；③整式是单项式和多项式的统称，只要分母中含有字母的式子，既不属于单项式、也不属于多项式和整式。接下来逐个分析6个式子，对应分类即可。
【解析】
我们逐个判断每个式子的类型：
1. ①$-\dfrac{1}{2}$是单独的常数，属于单项式，也属于整式；
2. ②$a+b$是单项式$a$和$b$的和，属于多项式，也属于整式；
3. ③$\dfrac{a^2b^2}{π}$中π是常数，该式为常数与字母的乘积，属于单项式，也属于整式；
4. ④$\dfrac{5}{x}$分母中含有字母$x$，属于分式，不属于单项式、多项式、整式范畴；
5. ⑤$a^2 -2a +1$是单项式$a^2$、$-2a$、$1$的和，属于多项式，也属于整式；
6. ⑥$\dfrac{1}{3}x$是常数与字母的乘积，属于单项式，也属于整式。
综上分类可得：单项式为①③⑥，多项式为②⑤，整式为①②③⑤⑥。
【答案】
①③⑥；②⑤；①②③⑤⑥
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；整式的定义
【点评】
本题属于整式相关概念的基础辨析题，易错点是易误将π当作字母判断③的类型，或忽略分母含字母的式子不属于整式的规则，牢记相关定义即可准确解答。
【难度系数】
0.8
解题前先明确三类代数式的核心定义：①单项式：仅由数与字母的乘积构成的代数式，单独的数或单独的字母也属于单项式，注意π是常数不是字母；②多项式：几个单项式的和组成的代数式；③整式是单项式和多项式的统称，只要分母中含有字母的式子，既不属于单项式、也不属于多项式和整式。接下来逐个分析6个式子，对应分类即可。
【解析】
我们逐个判断每个式子的类型：
1. ①$-\dfrac{1}{2}$是单独的常数，属于单项式，也属于整式；
2. ②$a+b$是单项式$a$和$b$的和，属于多项式，也属于整式；
3. ③$\dfrac{a^2b^2}{π}$中π是常数，该式为常数与字母的乘积，属于单项式，也属于整式；
4. ④$\dfrac{5}{x}$分母中含有字母$x$，属于分式，不属于单项式、多项式、整式范畴；
5. ⑤$a^2 -2a +1$是单项式$a^2$、$-2a$、$1$的和，属于多项式，也属于整式；
6. ⑥$\dfrac{1}{3}x$是常数与字母的乘积，属于单项式，也属于整式。
综上分类可得：单项式为①③⑥，多项式为②⑤，整式为①②③⑤⑥。
【答案】
①③⑥；②⑤；①②③⑤⑥
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；整式的定义
【点评】
本题属于整式相关概念的基础辨析题，易错点是易误将π当作字母判断③的类型，或忽略分母含字母的式子不属于整式的规则，牢记相关定义即可准确解答。
【难度系数】
0.8
6. 若$2x^3y^n + (m-2)x$是关于$x,y$的五次二项式，则关于$m,n$的值描述正确的是（
A.$m≠2,n=2$
B.$m≠2,n$为任意数
C.$m$为任意数,$n=2$
D.$m≠2,n=3$
A
）A.$m≠2,n=2$
B.$m≠2,n$为任意数
C.$m$为任意数,$n=2$
D.$m≠2,n=3$
答案
6.A
解析
【分析】
解决本题需要先明确多项式的次数和项数的核心定义：“五次”指多项式中最高次项的次数为5，“二项式”指多项式共有2个非零的项。我们可以分两步推导：第一步根据次数要求计算n的值，第二步根据二项式的要求确定m的取值范围，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
1. 求n的值：
多项式的次数由最高次项的次数决定，观察式子的两个项：第二项$(m-2)x$的次数是1，因此最高次项为第一项$2x^3y^n$。
单项式的次数是所有字母的指数和，因此第一项的次数为$3+n$，结合“五次”的要求可得：
$3+n=5$，解得$n=2$。
2. 求m的取值范围：
该多项式是二项式，说明两个项都不能为0，因此第二项的系数不能为0，即：
$m-2≠0$，解得$m≠2$。
综上可得$m≠2,n=2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
多项式的项与次数，单项式的次数
【点评】
本题重点考查整式中多项式的基础概念，易错点是容易忽略二项式要求每一项系数不为0的条件，只要准确掌握多项式次数、项数的定义即可正确解答。
【难度系数】
0.7
解决本题需要先明确多项式的次数和项数的核心定义：“五次”指多项式中最高次项的次数为5，“二项式”指多项式共有2个非零的项。我们可以分两步推导：第一步根据次数要求计算n的值，第二步根据二项式的要求确定m的取值范围，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
1. 求n的值：
多项式的次数由最高次项的次数决定，观察式子的两个项：第二项$(m-2)x$的次数是1，因此最高次项为第一项$2x^3y^n$。
单项式的次数是所有字母的指数和，因此第一项的次数为$3+n$，结合“五次”的要求可得：
$3+n=5$，解得$n=2$。
2. 求m的取值范围：
该多项式是二项式，说明两个项都不能为0，因此第二项的系数不能为0，即：
$m-2≠0$，解得$m≠2$。
综上可得$m≠2,n=2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
多项式的项与次数，单项式的次数
【点评】
本题重点考查整式中多项式的基础概念，易错点是容易忽略二项式要求每一项系数不为0的条件，只要准确掌握多项式次数、项数的定义即可正确解答。
【难度系数】
0.7
因项数而“存项”→因项数而“消项”→因次数而“消项”
(1)若多项式$3x^{|m|}y^2+(m+2)x-1$是四次二项式，则$m$的值为
(2)若多项式$xy^{|m-n|}+(n-2)x^2y^2+1$是关于$x$，$y$的三次多项式，则$m=$
(1)若多项式$3x^{|m|}y^2+(m+2)x-1$是四次二项式，则$m$的值为
-2
。(2)若多项式$xy^{|m-n|}+(n-2)x^2y^2+1$是关于$x$，$y$的三次多项式，则$m=$
0或4
，$n=$2
。答案
【变式训练】(1)-2 (2)0或4 2
解析
【分析】
(1) 解决本题需先明确多项式的相关定义：多项式的次数是所有项中次数最高的项的次数，项数是系数不为0的单项式的总个数。首先根据“四次”的限定，列方程求出m的可能取值；再结合“二项式”的要求，确定需消去一次项，进而筛选出符合条件的m值。
(2) 先观察多项式各项的次数，其中第二项的次数为4，要使多项式为三次多项式，必须让该项的系数为0，先求出n的值；再根据最高次项的次数为3，列绝对值方程求出m的取值即可。
【解析】
(1)
∵ 多项式$3x^{|m|}y^2+(m+2)x-1$是四次二项式
∴ 最高次项的次数为4，可得：$|m| + 2 = 4$
解得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$
又
∵ 多项式为二项式，需消去一次项，即一次项系数为0：
$m + 2 = 0$，解得$m=-2$
验证：当$m=-2$时，四次项系数为3≠0，符合要求，故$m=-2$。
(2)
∵ 多项式$xy^{|m-n|}+(n-2)x^2y^2+1$是关于$x,y$的三次多项式
观察第二项$(n-2)x^2y^2$的次数为$2+2=4$，若该项存在则多项式次数为4，不符合要求
∴ 第二项系数为0：$n - 2 = 0$，解得$n=2$
此时最高次项为第一项，次数为3，可得：$1 + |m - n| = 3$
将$n=2$代入得：$|m - 2| = 2$
∴ $m - 2 = 2$或$m - 2 = -2$
解得$m=4$或$m=0$
综上，$m=0$或$4$，$n=2$。
【答案】
(1) -2
(2) 0或4；2
【知识点】
多项式的项与次数，解绝对值方程
【点评】
本题考查多项式基本概念的应用，解题时需先根据次数要求排除不符合的高次项，再结合项数或次数的限定计算参数，注意参数取值要满足所有限定条件，避免出现多解或漏解的问题。
【难度系数】
0.7
(1) 解决本题需先明确多项式的相关定义：多项式的次数是所有项中次数最高的项的次数，项数是系数不为0的单项式的总个数。首先根据“四次”的限定，列方程求出m的可能取值；再结合“二项式”的要求，确定需消去一次项，进而筛选出符合条件的m值。
(2) 先观察多项式各项的次数，其中第二项的次数为4，要使多项式为三次多项式，必须让该项的系数为0，先求出n的值；再根据最高次项的次数为3，列绝对值方程求出m的取值即可。
【解析】
(1)
∵ 多项式$3x^{|m|}y^2+(m+2)x-1$是四次二项式
∴ 最高次项的次数为4，可得：$|m| + 2 = 4$
解得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$
又
∵ 多项式为二项式，需消去一次项，即一次项系数为0：
$m + 2 = 0$，解得$m=-2$
验证：当$m=-2$时，四次项系数为3≠0，符合要求，故$m=-2$。
(2)
∵ 多项式$xy^{|m-n|}+(n-2)x^2y^2+1$是关于$x,y$的三次多项式
观察第二项$(n-2)x^2y^2$的次数为$2+2=4$，若该项存在则多项式次数为4，不符合要求
∴ 第二项系数为0：$n - 2 = 0$，解得$n=2$
此时最高次项为第一项，次数为3，可得：$1 + |m - n| = 3$
将$n=2$代入得：$|m - 2| = 2$
∴ $m - 2 = 2$或$m - 2 = -2$
解得$m=4$或$m=0$
综上，$m=0$或$4$，$n=2$。
【答案】
(1) -2
(2) 0或4；2
【知识点】
多项式的项与次数，解绝对值方程
【点评】
本题考查多项式基本概念的应用，解题时需先根据次数要求排除不符合的高次项，再结合项数或次数的限定计算参数，注意参数取值要满足所有限定条件，避免出现多解或漏解的问题。
【难度系数】
0.7
7. 已知关于$x,y$的多项式$\frac{1}{5}x^{m+1}y^2 + xy -4x^3 +1$（$m$是自然数）.
（1）该多项式的次数最小是
（2）若该多项式是八次多项式，且单项式$\frac{1}{8}x^{2n}y^{m-3}$与该多项式的次数相同，求$m,n$的值.
（1）该多项式的次数最小是
3
；（2）若该多项式是八次多项式，且单项式$\frac{1}{8}x^{2n}y^{m-3}$与该多项式的次数相同，求$m,n$的值.
答案
7.(1)3 (2)$m=5,n=3.$
解析
【分析】
解题前先明确两个核心概念：①多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数；②单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。
（1）先分别算出已知各项的次数：第二项$xy$次数为2，第三项$-4x^3$次数为3，常数项1次数为0，第一项$\frac{1}{5}x^{m+1}y^2$的次数为$(m+1)+2=m+3$。要找多项式的最小次数，就是找最高次项的最小次数：已知已有次数为3的项，且m是自然数（$m≥0$），因此$m+3≥3$，当$m+3≤3$时最高次就是3，即最小次数为3。
（2）若多项式是八次多项式，说明最高次项的次数为8，即第一项的次数等于8，据此可列方程求出m的值；再根据单项式与多项式次数相同，利用单项式次数的定义列方程即可求出n的值。
【解析】
（1）多项式各项的次数分别为：
$\frac{1}{5}x^{m+1}y^2$的次数：$(m+1)+2=m+3$，
$xy$的次数：$1+1=2$，
$-4x^3$的次数：$3$，
常数项$1$的次数：$0$。
∵m是自然数，
∴$m≥0$，则$m+3≥3$，
∴该多项式的最高次项次数最小为3，即多项式的次数最小是3。
（2）
∵该多项式是八次多项式，
∴最高次项$\frac{1}{5}x^{m+1}y^2$的次数为8，即：
$m+3=8$，
解得$m=5$。
又
∵单项式$\frac{1}{8}x^{2n}y^{m-3}$与多项式的次数相同，即单项式次数为8，
∴$2n + (m-3)=8$，
把$m=5$代入上式得：$2n + (5-3)=8$，
即$2n+2=8$，
解得$n=3$。
【答案】
（1）$\boxed{3}$；（2）$\boxed{m=5,n=3}$
【知识点】
多项式的次数；单项式的次数；一元一次方程求解
【点评】
本题围绕整式的基础概念命题，重点考查对多项式、单项式次数定义的理解与应用，解题时只需紧扣定义列等式计算即可，是巩固整式概念的典型习题。
【难度系数】
0.75
解题前先明确两个核心概念：①多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数；②单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。
（1）先分别算出已知各项的次数：第二项$xy$次数为2，第三项$-4x^3$次数为3，常数项1次数为0，第一项$\frac{1}{5}x^{m+1}y^2$的次数为$(m+1)+2=m+3$。要找多项式的最小次数，就是找最高次项的最小次数：已知已有次数为3的项，且m是自然数（$m≥0$），因此$m+3≥3$，当$m+3≤3$时最高次就是3，即最小次数为3。
（2）若多项式是八次多项式，说明最高次项的次数为8，即第一项的次数等于8，据此可列方程求出m的值；再根据单项式与多项式次数相同，利用单项式次数的定义列方程即可求出n的值。
【解析】
（1）多项式各项的次数分别为：
$\frac{1}{5}x^{m+1}y^2$的次数：$(m+1)+2=m+3$，
$xy$的次数：$1+1=2$，
$-4x^3$的次数：$3$，
常数项$1$的次数：$0$。
∵m是自然数，
∴$m≥0$，则$m+3≥3$，
∴该多项式的最高次项次数最小为3，即多项式的次数最小是3。
（2）
∵该多项式是八次多项式，
∴最高次项$\frac{1}{5}x^{m+1}y^2$的次数为8，即：
$m+3=8$，
解得$m=5$。
又
∵单项式$\frac{1}{8}x^{2n}y^{m-3}$与多项式的次数相同，即单项式次数为8，
∴$2n + (m-3)=8$，
把$m=5$代入上式得：$2n + (5-3)=8$，
即$2n+2=8$，
解得$n=3$。
【答案】
（1）$\boxed{3}$；（2）$\boxed{m=5,n=3}$
【知识点】
多项式的次数；单项式的次数；一元一次方程求解
【点评】
本题围绕整式的基础概念命题，重点考查对多项式、单项式次数定义的理解与应用，解题时只需紧扣定义列等式计算即可，是巩固整式概念的典型习题。
【难度系数】
0.75
8. 观察下列单项式：$-x,3x^{2},-5x^{3},7x^{4},\dots,-37x^{19},39x^{20},\dots$,写出第$n$($n$为正整数)个单项式.
为了解决这个问题,提供下面的解题思路:
(1)这组单项式的系数的规律:
①系数的符号规律是
②系数的绝对值规律是
(2)这组单项式的次数的规律是
(3)根据上面的归纳,你可以猜想出第$n$个单项式吗?
(4)请你根据猜想,写出第2025个和第2026个单项式.
为了解决这个问题,提供下面的解题思路:
(1)这组单项式的系数的规律:
①系数的符号规律是
$(-1)^n$(或负号、正号依次出现)
;②系数的绝对值规律是
$2n-1$(或从1开始的连续奇数)
.(2)这组单项式的次数的规律是
$n$(或从1开始的连续自然数)
.(3)根据上面的归纳,你可以猜想出第$n$个单项式吗?
(4)请你根据猜想,写出第2025个和第2026个单项式.
答案
8.(1)①$(-1)^n$(或负号、正号依次出现)
②$2n-1$(或从1开始的连续奇数)
(2)$n$(或从1开始的连续自然数)
(3)$(-1)^n(2n-1)x^n$
(4)第2 025个和第2 026个单项式分别为$-4049x^{2025}$，$4051x^{2026}.$
②$2n-1$(或从1开始的连续奇数)
(2)$n$(或从1开始的连续自然数)
(3)$(-1)^n(2n-1)x^n$
(4)第2 025个和第2 026个单项式分别为$-4049x^{2025}$，$4051x^{2026}.$
解析
【分析】
要推导第n个单项式，我们可以将单项式拆分为系数符号、系数绝对值、字母次数三个部分分别找规律：首先观察系数符号，奇数项为负、偶数项为正，符合乘方的符号变化规律；再看系数绝对值，是连续的奇数，可对应含n的奇数表达式；最后看x的次数，和项数一致。整合三部分规律就能得到第n个单项式，再代入对应n值即可求出指定项。
【解析】
(1)①观察系数符号：第1项为负，第2项为正，第3项为负……依次交替，因此规律为$(-1)^n$（或负号、正号依次出现）；
②观察系数绝对值：1、3、5、7……是从1开始的连续奇数，第n个奇数可表示为$2n-1$，因此规律为$2n-1$（或从1开始的连续奇数）；
(2)观察x的次数：第1项次数为1，第2项次数为2，第3项次数为3……和项数相同，因此规律为$n$（或从1开始的连续自然数）；
(3)将系数符号、系数绝对值、次数的规律组合，可得第n个单项式为$(-1)^n(2n-1)x^n$；
(4)代入$n=2025$：$(-1)^{2025}×(2×2025-1)x^{2025}=-4049x^{2025}$；
代入$n=2026$：$(-1)^{2026}×(2×2026-1)x^{2026}=4051x^{2026}$。
【答案】
(1)①$(-1)^n$(或负号、正号依次出现)
②$2n-1$(或从1开始的连续奇数)
(2)$n$(或从1开始的连续自然数)
(3)$(-1)^n(2n-1)x^n$
(4)第2025个和第2026个单项式分别为$-4049x^{2025}$，$4051x^{2026}$
【知识点】
单项式的概念，数字规律探究，列代数式
【点评】
本题是典型的规律探究题，需要从多个维度分别观察归纳规律，再整合得到通用表达式，考查从特殊到一般的归纳思维，掌握拆分观察的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要推导第n个单项式，我们可以将单项式拆分为系数符号、系数绝对值、字母次数三个部分分别找规律：首先观察系数符号，奇数项为负、偶数项为正，符合乘方的符号变化规律；再看系数绝对值，是连续的奇数，可对应含n的奇数表达式；最后看x的次数，和项数一致。整合三部分规律就能得到第n个单项式，再代入对应n值即可求出指定项。
【解析】
(1)①观察系数符号：第1项为负，第2项为正，第3项为负……依次交替，因此规律为$(-1)^n$（或负号、正号依次出现）；
②观察系数绝对值：1、3、5、7……是从1开始的连续奇数，第n个奇数可表示为$2n-1$，因此规律为$2n-1$（或从1开始的连续奇数）；
(2)观察x的次数：第1项次数为1，第2项次数为2，第3项次数为3……和项数相同，因此规律为$n$（或从1开始的连续自然数）；
(3)将系数符号、系数绝对值、次数的规律组合，可得第n个单项式为$(-1)^n(2n-1)x^n$；
(4)代入$n=2025$：$(-1)^{2025}×(2×2025-1)x^{2025}=-4049x^{2025}$；
代入$n=2026$：$(-1)^{2026}×(2×2026-1)x^{2026}=4051x^{2026}$。
【答案】
(1)①$(-1)^n$(或负号、正号依次出现)
②$2n-1$(或从1开始的连续奇数)
(2)$n$(或从1开始的连续自然数)
(3)$(-1)^n(2n-1)x^n$
(4)第2025个和第2026个单项式分别为$-4049x^{2025}$，$4051x^{2026}$
【知识点】
单项式的概念，数字规律探究，列代数式
【点评】
本题是典型的规律探究题，需要从多个维度分别观察归纳规律，再整合得到通用表达式，考查从特殊到一般的归纳思维，掌握拆分观察的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
