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2. 下列各式中,最简分式有
①$\frac{1}{1-x}$；②$\frac{4y+2}{2x}$；③$\frac{x}{3π}$；④$\frac{10+4a}{5+2a}$；⑤$\frac{9+7π}{3+5π}$；⑥$\frac{4y^2+10y}{2y+5}$.
1
个.①$\frac{1}{1-x}$；②$\frac{4y+2}{2x}$；③$\frac{x}{3π}$；④$\frac{10+4a}{5+2a}$；⑤$\frac{9+7π}{3+5π}$；⑥$\frac{4y^2+10y}{2y+5}$.
答案
1
解析
【分析】要判断最简分式的个数，需先明确两个判断依据：1. 是分式（分母中含有表示变量的字母，π是固定常数，不属于字母）；2. 分子和分母没有公因式，无法再约分。接下来逐个分析每个式子，先判断是否为分式，再判断能否约分，最后统计符合条件的个数即可。
【解析】根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，逐个分析如下：
①$\frac{1}{1-x}$：分母含字母$x$，属于分式；分子是1，和分母$1-x$没有公因式，是最简分式；
②$\frac{4y+2}{2x}$：分子提取公因式2得$2(2y+1)$，分子分母有公因式2，可约分为$\frac{2y+1}{x}$，不是最简分式；
③$\frac{x}{3π}$：分母中$π$是常数，不含表示变量的字母，属于整式，不是分式，因此不是最简分式；
④$\frac{10+4a}{5+2a}$：分子提取公因式2得$2(5+2a)$，分子分母有公因式$5+2a$，可约分为2，不是最简分式；
⑤$\frac{9+7π}{3+5π}$：分子分母的$π$都是常数，整个式子是固定常数，属于整式，不是分式，因此不是最简分式；
⑥$\frac{4y^2+10y}{2y+5}$：分子提取公因式$2y$得$2y(2y+5)$，分子分母有公因式$2y+5$，可约分为$2y$，不是最简分式。
综上，只有①是最简分式，共1个。
【答案】1
【知识点】最简分式的定义、分式的定义、提公因式法因式分解
【点评】本题考查最简分式的判断，解题关键是明确π是常数，同时能正确对分子因式分解来判断是否存在公因式，注意整式不属于分式，不可能是最简分式。
【难度系数】0.7
【解析】根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，逐个分析如下：
①$\frac{1}{1-x}$：分母含字母$x$，属于分式；分子是1，和分母$1-x$没有公因式，是最简分式；
②$\frac{4y+2}{2x}$：分子提取公因式2得$2(2y+1)$，分子分母有公因式2，可约分为$\frac{2y+1}{x}$，不是最简分式；
③$\frac{x}{3π}$：分母中$π$是常数，不含表示变量的字母，属于整式，不是分式，因此不是最简分式；
④$\frac{10+4a}{5+2a}$：分子提取公因式2得$2(5+2a)$，分子分母有公因式$5+2a$，可约分为2，不是最简分式；
⑤$\frac{9+7π}{3+5π}$：分子分母的$π$都是常数，整个式子是固定常数，属于整式，不是分式，因此不是最简分式；
⑥$\frac{4y^2+10y}{2y+5}$：分子提取公因式$2y$得$2y(2y+5)$，分子分母有公因式$2y+5$，可约分为$2y$，不是最简分式。
综上，只有①是最简分式，共1个。
【答案】1
【知识点】最简分式的定义、分式的定义、提公因式法因式分解
【点评】本题考查最简分式的判断，解题关键是明确π是常数，同时能正确对分子因式分解来判断是否存在公因式，注意整式不属于分式，不可能是最简分式。
【难度系数】0.7
3. 从三个整式:①$a^2 - 2ab + b^2$, ②$3a - 3b$, ③$a^2 - b^2$中,任意选择两个分别作为一个分式的分子和分母.
(1)一共能得到
(2)这些分式化简后结果为整式的分式有哪些?并写出化简结果.
(1)一共能得到
6
个不同的分式;(2)这些分式化简后结果为整式的分式有哪些?并写出化简结果.
答案
(1)6
(2)化简结果为整式的是$\frac{a^2-2ab+b^2}{3a-3b}$，$\frac{a^2-b^2}{3a-3b}$；化简结果分别为$\frac{a-b}{3}$，$\frac{a+b}{3}$。
(2)化简结果为整式的是$\frac{a^2-2ab+b^2}{3a-3b}$，$\frac{a^2-b^2}{3a-3b}$；化简结果分别为$\frac{a-b}{3}$，$\frac{a+b}{3}$。
解析
【分析】
（1）要确定能得到多少个不同的分式，首先明确分式的定义：分母含有字母的有理式是分式。从3个整式中任选1个作为分子，再从剩余2个中选1个作为分母，属于排列问题，所有组合的分母都含有字母，均符合分式定义，直接计算排列数即可。
（2）先将三个整式分别因式分解，再逐一写出所有分式进行约分，若约分后分母不含字母，则结果为整式，据此筛选符合条件的分式即可。
【解析】
（1）从3个整式中选1个作分子，剩余2个中选1个作分母，共有$3×2=6$种组合，且所有组合的分母都含有字母，均为分式，因此一共能得到6个不同的分式。
（2）先对三个整式因式分解：
①$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$
②$3a - 3b=3(a-b)$
③$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$
将6个分式逐一约分：
$\frac{a^2-2ab+b^2}{3a-3b}=\frac{(a-b)^2}{3(a-b)}=\frac{a-b}{3}$，分母为常数，是整式；
$\frac{a^2-2ab+b^2}{a^2-b^2}=\frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{a-b}{a+b}$，分母含字母，是分式；
$\frac{3a-3b}{a^2-2ab+b^2}=\frac{3(a-b)}{(a-b)^2}=\frac{3}{a-b}$，分母含字母，是分式；
$\frac{3a-3b}{a^2-b^2}=\frac{3(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{3}{a+b}$，分母含字母，是分式；
$\frac{a^2-b^2}{a^2-2ab+b^2}=\frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)^2}=\frac{a+b}{a-b}$，分母含字母，是分式；
$\frac{a^2-b^2}{3a-3b}=\frac{(a-b)(a+b)}{3(a-b)}=\frac{a+b}{3}$，分母为常数，是整式。
因此化简后为整式的分式共2个。
【答案】
(1)6
(2)化简结果为整式的是$\frac{a^2-2ab+b^2}{3a-3b}$，$\frac{a^2-b^2}{3a-3b}$；化简结果分别为$\frac{a-b}{3}$，$\frac{a+b}{3}$。
【知识点】
分式的定义，因式分解，分式的约分
【点评】
本题围绕分式的相关概念设计，解题时要注意分子分母顺序不同对应不同的分式，避免漏算；约分前先对整式因式分解，能更快速判断约分后是否为整式，同时要注意约分时要保证分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
（1）要确定能得到多少个不同的分式，首先明确分式的定义：分母含有字母的有理式是分式。从3个整式中任选1个作为分子，再从剩余2个中选1个作为分母，属于排列问题，所有组合的分母都含有字母，均符合分式定义，直接计算排列数即可。
（2）先将三个整式分别因式分解，再逐一写出所有分式进行约分，若约分后分母不含字母，则结果为整式，据此筛选符合条件的分式即可。
【解析】
（1）从3个整式中选1个作分子，剩余2个中选1个作分母，共有$3×2=6$种组合，且所有组合的分母都含有字母，均为分式，因此一共能得到6个不同的分式。
（2）先对三个整式因式分解：
①$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$
②$3a - 3b=3(a-b)$
③$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$
将6个分式逐一约分：
$\frac{a^2-2ab+b^2}{3a-3b}=\frac{(a-b)^2}{3(a-b)}=\frac{a-b}{3}$，分母为常数，是整式；
$\frac{a^2-2ab+b^2}{a^2-b^2}=\frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{a-b}{a+b}$，分母含字母，是分式；
$\frac{3a-3b}{a^2-2ab+b^2}=\frac{3(a-b)}{(a-b)^2}=\frac{3}{a-b}$，分母含字母，是分式；
$\frac{3a-3b}{a^2-b^2}=\frac{3(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{3}{a+b}$，分母含字母，是分式；
$\frac{a^2-b^2}{a^2-2ab+b^2}=\frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)^2}=\frac{a+b}{a-b}$，分母含字母，是分式；
$\frac{a^2-b^2}{3a-3b}=\frac{(a-b)(a+b)}{3(a-b)}=\frac{a+b}{3}$，分母为常数，是整式。
因此化简后为整式的分式共2个。
【答案】
(1)6
(2)化简结果为整式的是$\frac{a^2-2ab+b^2}{3a-3b}$，$\frac{a^2-b^2}{3a-3b}$；化简结果分别为$\frac{a-b}{3}$，$\frac{a+b}{3}$。
【知识点】
分式的定义，因式分解，分式的约分
【点评】
本题围绕分式的相关概念设计，解题时要注意分子分母顺序不同对应不同的分式，避免漏算；约分前先对整式因式分解，能更快速判断约分后是否为整式，同时要注意约分时要保证分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
4. 已知$a+b-3=0$，求代数式$\frac{4(a-b)+8b}{a^2+2ab+b^2}$的值.
答案
$\frac{4}{3}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，可直接得出$a+b=3$；再观察待求代数式，先对分子展开合并同类项，分母利用完全平方公式因式分解，再对分式约分，化简为仅含$a+b$的最简形式，最后整体代入$a+b$的数值即可求解，不需要单独计算$a$、$b$的具体值。
【解析】
解：由$a+b-3=0$，可得$a+b=3$，且$a+b≠0$。
先化简代数式：
分子：$4(a-b)+8b=4a-4b+8b=4a+4b=4(a+b)$
分母：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
则原式$=\frac{4(a+b)}{(a+b)^2}=\frac{4}{a+b}$
将$a+b=3$代入上式，得原式$=\frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
完全平方公式，分式约分，整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，解题核心是先通过整式运算、因式分解将分式化为最简形式，再用整体代入思想计算，简化了运算过程。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，可直接得出$a+b=3$；再观察待求代数式，先对分子展开合并同类项，分母利用完全平方公式因式分解，再对分式约分，化简为仅含$a+b$的最简形式，最后整体代入$a+b$的数值即可求解，不需要单独计算$a$、$b$的具体值。
【解析】
解：由$a+b-3=0$，可得$a+b=3$，且$a+b≠0$。
先化简代数式：
分子：$4(a-b)+8b=4a-4b+8b=4a+4b=4(a+b)$
分母：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
则原式$=\frac{4(a+b)}{(a+b)^2}=\frac{4}{a+b}$
将$a+b=3$代入上式，得原式$=\frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
完全平方公式，分式约分，整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，解题核心是先通过整式运算、因式分解将分式化为最简形式，再用整体代入思想计算，简化了运算过程。
【难度系数】
0.7
5. 把分式$\frac{1}{x-2}$，$\frac{1}{(x-2)(x+3)}$，$\frac{2}{(x+3)^2}$通分的过程中，不正确的是（
A.最简公分母是$(x-2)(x+3)^2$
B.$\frac{1}{x-2}=\frac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$
C.$\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{x+3}{(x-2)(x+3)^2}$
D.$\frac{2}{(x+3)^2}=\frac{2x-2}{(x-2)(x+3)^2}$
D
）A.最简公分母是$(x-2)(x+3)^2$
B.$\frac{1}{x-2}=\frac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$
C.$\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{x+3}{(x-2)(x+3)^2}$
D.$\frac{2}{(x+3)^2}=\frac{2x-2}{(x-2)(x+3)^2}$
答案
D
解析
【分析】
这道题考查分式通分的相关知识，解题思路分为两步：第一步先确定三个分式的最简公分母，判断A选项是否正确；第二步依据分式的基本性质，将每个分式的分母转化为最简公分母，分子同步乘对应因式，逐一核对B、C、D的变形是否正确，最终选出错误选项。
【解析】
1. 确定最简公分母：
三个分式的分母分别为$x-2$、$(x-2)(x+3)$、$(x+3)^2$，取各分母所有因式的最高次幂的乘积，可得最简公分母是$(x-2)(x+3)^2$，因此A选项正确。
2. 逐一验证各分式变形：
对$\frac{1}{x-2}$通分：分母需乘$(x+3)^2$，根据分式基本性质，分子也乘$(x+3)^2$，可得$\frac{1}{x-2}=\frac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$，B选项正确。
对$\frac{1}{(x-2)(x+3)}$通分：分母需乘$(x+3)$，分子同步乘$(x+3)$，可得$\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{x+3}{(x-2)(x+3)^2}$，C选项正确。
对$\frac{2}{(x+3)^2}$通分：分母需乘$(x-2)$，分子同步乘$(x-2)$，得$2×(x-2)=2x-4$，因此变形后应为$\frac{2x-4}{(x-2)(x+3)^2}$，D选项分子计算错误。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质；最简公分母；分式的通分
【点评】
本题重点考查分式通分的操作规则，解题核心是先准确找到最简公分母，再保证分子和分母同乘相同的非零因式，计算分子时要注意乘法分配律的正确运用，避免漏乘常数项出错。
【难度系数】
0.7
这道题考查分式通分的相关知识，解题思路分为两步：第一步先确定三个分式的最简公分母，判断A选项是否正确；第二步依据分式的基本性质，将每个分式的分母转化为最简公分母，分子同步乘对应因式，逐一核对B、C、D的变形是否正确，最终选出错误选项。
【解析】
1. 确定最简公分母：
三个分式的分母分别为$x-2$、$(x-2)(x+3)$、$(x+3)^2$，取各分母所有因式的最高次幂的乘积，可得最简公分母是$(x-2)(x+3)^2$，因此A选项正确。
2. 逐一验证各分式变形：
对$\frac{1}{x-2}$通分：分母需乘$(x+3)^2$，根据分式基本性质，分子也乘$(x+3)^2$，可得$\frac{1}{x-2}=\frac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$，B选项正确。
对$\frac{1}{(x-2)(x+3)}$通分：分母需乘$(x+3)$，分子同步乘$(x+3)$，可得$\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{x+3}{(x-2)(x+3)^2}$，C选项正确。
对$\frac{2}{(x+3)^2}$通分：分母需乘$(x-2)$，分子同步乘$(x-2)$，得$2×(x-2)=2x-4$，因此变形后应为$\frac{2x-4}{(x-2)(x+3)^2}$，D选项分子计算错误。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质；最简公分母；分式的通分
【点评】
本题重点考查分式通分的操作规则，解题核心是先准确找到最简公分母，再保证分子和分母同乘相同的非零因式，计算分子时要注意乘法分配律的正确运用，避免漏乘常数项出错。
【难度系数】
0.7
6. 通分：
(1) $\frac{b}{3a^2c^2}, \frac{c}{-2ab}, \frac{a}{5cb^3};$
(2) $\frac{a-1}{a^2+2a+1}, \frac{6}{a^2-1}.$
(1) $\frac{b}{3a^2c^2}, \frac{c}{-2ab}, \frac{a}{5cb^3};$
(2) $\frac{a-1}{a^2+2a+1}, \frac{6}{a^2-1}.$
答案
(1)
∵ $\frac{b}{3a^2c^2},\frac{c}{-2ab},\frac{a}{5cb^3}$的最简公分母是$30a^2b^3c^2$，
∴ $\frac{b}{3a^2c^2} = \frac{10b^4}{30a^2b^3c^2}, \frac{c}{-2ab} = -\frac{15ab^2c^3}{30a^2b^3c^2}$，$\frac{a}{5cb^3}=\frac{6a^3c}{30a^2b^3c^2}$。
(2)
∵ $\frac{a-1}{a^2+2a+1},\frac{6}{a^2-1}$的最简公分母是$(a+1)^2(a-1)$，
∴ $\frac{a-1}{a^2+2a+1}=\frac{a-1}{(a+1)^2}=\frac{(a-1)^2}{(a+1)^2(a-1)},\frac{6}{a^2-1}=\frac{6}{(a+1)(a-1)}=\frac{6(a+1)}{(a+1)^2(a-1)}$。
∵ $\frac{b}{3a^2c^2},\frac{c}{-2ab},\frac{a}{5cb^3}$的最简公分母是$30a^2b^3c^2$，
∴ $\frac{b}{3a^2c^2} = \frac{10b^4}{30a^2b^3c^2}, \frac{c}{-2ab} = -\frac{15ab^2c^3}{30a^2b^3c^2}$，$\frac{a}{5cb^3}=\frac{6a^3c}{30a^2b^3c^2}$。
(2)
∵ $\frac{a-1}{a^2+2a+1},\frac{6}{a^2-1}$的最简公分母是$(a+1)^2(a-1)$，
∴ $\frac{a-1}{a^2+2a+1}=\frac{a-1}{(a+1)^2}=\frac{(a-1)^2}{(a+1)^2(a-1)},\frac{6}{a^2-1}=\frac{6}{(a+1)(a-1)}=\frac{6(a+1)}{(a+1)^2(a-1)}$。
解析
【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，思路如下：①若分母是单项式，取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有出现过的字母的乘积作为最简公分母；②若分母是多项式，先对分母因式分解，再取各因式的最高次幂的乘积作为最简公分母。确定公分母后，利用分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘分母缺少的因式，在保证分式值不变的前提下将分母统一为最简公分母即可。
(1)三个分式的分母都是单项式，系数3、-2、5的最小公倍数为30，字母a的最高次是$a^2$，b的最高次是$b^3$，c的最高次是$c^2$，因此最简公分母是$30a^2b^3c^2$；
(2)两个分式的分母是多项式，先因式分解：$a^2+2a+1=(a+1)^2$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$，因此最简公分母是$(a+1)^2(a-1)$。
【解析】
(1) 先确定最简公分母：$\frac{b}{3a^2c^2},\frac{c}{-2ab},\frac{a}{5cb^3}$的最简公分母为$30a^2b^3c^2$。
根据分式的基本性质对每个分式变形：
$\frac{b}{3a^2c^2}$的分母缺少$10b^3$，分子分母同乘$10b^3$，得$\frac{b · 10b^3}{3a^2c^2 · 10b^3} = \frac{10b^4}{30a^2b^3c^2}$；
$\frac{c}{-2ab}$的分母缺少$15ab^2c^2$，分子分母同乘$15ab^2c^2$，得$\frac{c · 15ab^2c^2}{-2ab · 15ab^2c^2} = -\frac{15ab^2c^3}{30a^2b^3c^2}$；
$\frac{a}{5cb^3}$的分母缺少$6a^2c$，分子分母同乘$6a^2c$，得$\frac{a · 6a^2c}{5cb^3 · 6a^2c} = \frac{6a^3c}{30a^2b^3c^2}$。
(2) 先对分母因式分解，再确定最简公分母：
$a^2+2a+1=(a+1)^2$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$，因此最简公分母为$(a+1)^2(a-1)$。
根据分式的基本性质对每个分式变形：
$\frac{a-1}{a^2+2a+1}=\frac{a-1}{(a+1)^2}$，分母缺少$(a-1)$，分子分母同乘$(a-1)$，得$\frac{(a-1)·(a-1)}{(a+1)^2·(a-1)}=\frac{(a-1)^2}{(a+1)^2(a-1)}$；
$\frac{6}{a^2-1}=\frac{6}{(a+1)(a-1)}$，分母缺少$(a+1)$，分子分母同乘$(a+1)$，得$\frac{6·(a+1)}{(a+1)(a-1)·(a+1)}=\frac{6(a+1)}{(a+1)^2(a-1)}$。
【答案】
(1) 通分结果为：$\frac{b}{3a^2c^2} = \frac{10b^4}{30a^2b^3c^2}, \frac{c}{-2ab} = -\frac{15ab^2c^3}{30a^2b^3c^2}$，$\frac{a}{5cb^3}=\frac{6a^3c}{30a^2b^3c^2}$；
(2) 通分结果为：$\frac{a-1}{a^2+2a+1}=\frac{(a-1)^2}{(a+1)^2(a-1)},\frac{6}{a^2-1}=\frac{6(a+1)}{(a+1)^2(a-1)}$。
【知识点】
分式通分，最简公分母确定，因式分解
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题关键是准确确定最简公分母，注意分母为多项式时要先因式分解再找公分母，计算过程中要注意符号，避免出现分子漏乘的问题，熟练掌握通分方法是后续分式加减运算的基础。
【难度系数】
0.75
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，思路如下：①若分母是单项式，取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有出现过的字母的乘积作为最简公分母；②若分母是多项式，先对分母因式分解，再取各因式的最高次幂的乘积作为最简公分母。确定公分母后，利用分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘分母缺少的因式，在保证分式值不变的前提下将分母统一为最简公分母即可。
(1)三个分式的分母都是单项式，系数3、-2、5的最小公倍数为30，字母a的最高次是$a^2$，b的最高次是$b^3$，c的最高次是$c^2$，因此最简公分母是$30a^2b^3c^2$；
(2)两个分式的分母是多项式，先因式分解：$a^2+2a+1=(a+1)^2$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$，因此最简公分母是$(a+1)^2(a-1)$。
【解析】
(1) 先确定最简公分母：$\frac{b}{3a^2c^2},\frac{c}{-2ab},\frac{a}{5cb^3}$的最简公分母为$30a^2b^3c^2$。
根据分式的基本性质对每个分式变形：
$\frac{b}{3a^2c^2}$的分母缺少$10b^3$，分子分母同乘$10b^3$，得$\frac{b · 10b^3}{3a^2c^2 · 10b^3} = \frac{10b^4}{30a^2b^3c^2}$；
$\frac{c}{-2ab}$的分母缺少$15ab^2c^2$，分子分母同乘$15ab^2c^2$，得$\frac{c · 15ab^2c^2}{-2ab · 15ab^2c^2} = -\frac{15ab^2c^3}{30a^2b^3c^2}$；
$\frac{a}{5cb^3}$的分母缺少$6a^2c$，分子分母同乘$6a^2c$，得$\frac{a · 6a^2c}{5cb^3 · 6a^2c} = \frac{6a^3c}{30a^2b^3c^2}$。
(2) 先对分母因式分解，再确定最简公分母：
$a^2+2a+1=(a+1)^2$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$，因此最简公分母为$(a+1)^2(a-1)$。
根据分式的基本性质对每个分式变形：
$\frac{a-1}{a^2+2a+1}=\frac{a-1}{(a+1)^2}$，分母缺少$(a-1)$，分子分母同乘$(a-1)$，得$\frac{(a-1)·(a-1)}{(a+1)^2·(a-1)}=\frac{(a-1)^2}{(a+1)^2(a-1)}$；
$\frac{6}{a^2-1}=\frac{6}{(a+1)(a-1)}$，分母缺少$(a+1)$，分子分母同乘$(a+1)$，得$\frac{6·(a+1)}{(a+1)(a-1)·(a+1)}=\frac{6(a+1)}{(a+1)^2(a-1)}$。
【答案】
(1) 通分结果为：$\frac{b}{3a^2c^2} = \frac{10b^4}{30a^2b^3c^2}, \frac{c}{-2ab} = -\frac{15ab^2c^3}{30a^2b^3c^2}$，$\frac{a}{5cb^3}=\frac{6a^3c}{30a^2b^3c^2}$；
(2) 通分结果为：$\frac{a-1}{a^2+2a+1}=\frac{(a-1)^2}{(a+1)^2(a-1)},\frac{6}{a^2-1}=\frac{6(a+1)}{(a+1)^2(a-1)}$。
【知识点】
分式通分，最简公分母确定，因式分解
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题关键是准确确定最简公分母，注意分母为多项式时要先因式分解再找公分母，计算过程中要注意符号，避免出现分子漏乘的问题，熟练掌握通分方法是后续分式加减运算的基础。
【难度系数】
0.75
7. 甲工程队完成一项工程需要$(2a-6)$天，乙工程队要比甲工程队多用8天才能完成这项工程，设工作总量为1，分别写出表示甲、乙两工程队每天完成的工作量的式子，若两式的分母不同，则进行通分.
答案
甲工程队每天完成的工作量为$\frac{1}{2a-6}$，
乙工程队每天完成的工作量为$\frac{1}{2a+2}$。
通分：$\frac{1}{2a-6}=\frac{a+1}{2(a-3)(a+1)}$，
$\frac{1}{2a+2}=\frac{a-3}{2(a-3)(a+1)}$。
乙工程队每天完成的工作量为$\frac{1}{2a+2}$。
通分：$\frac{1}{2a-6}=\frac{a+1}{2(a-3)(a+1)}$，
$\frac{1}{2a+2}=\frac{a-3}{2(a-3)(a+1)}$。
解析
【分析】
解题首先回忆工程问题的基本数量关系：工作效率=工作总量÷工作时间。第一步先根据甲的工作时间求出乙的工作时间，再分别写出甲、乙两队的工作效率（即每天完成的工作量）；接下来进行通分，先把两个分式的分母因式分解，找到最简公分母，再依据分式的基本性质，将两个分式的分母都化为最简公分母即可。
【解析】
1. 计算乙工程队的工作时间：
已知甲完成工程需要$(2a-6)$天，乙比甲多用8天，因此乙的工作时间为$(2a-6)+8=2a+2$天。
2. 计算甲、乙每天完成的工作量：
工作总量为1，根据工作效率公式可得：
甲每天完成的工作量为$\frac{1}{2a-6}$，乙每天完成的工作量为$\frac{1}{2a+2}$。
3. 通分：
先对两个分母因式分解：$2a-6=2(a-3)$，$2a+2=2(a+1)$，因此两个分式的最简公分母为$2(a-3)(a+1)$。
根据分式的基本性质，对两个分式通分：
$\frac{1}{2a-6}=\frac{1×(a+1)}{2(a-3)×(a+1)}=\frac{a+1}{2(a-3)(a+1)}$
$\frac{1}{2a+2}=\frac{1×(a-3)}{2(a+1)×(a-3)}=\frac{a-3}{2(a-3)(a+1)}$
【答案】
甲工程队每天完成的工作量为$\frac{1}{2a-6}$，
乙工程队每天完成的工作量为$\frac{1}{2a+2}$。
通分：$\frac{1}{2a-6}=\frac{a+1}{2(a-3)(a+1)}$，
$\frac{1}{2a+2}=\frac{a-3}{2(a-3)(a+1)}$。
【知识点】
工程问题基本关系，因式分解，分式通分
【点评】
本题结合实际工程场景，同时考查了工程问题的数量关系和分式通分的方法，解题关键是先准确写出表示两队工作效率的分式，再正确分解分母因式、确定最简公分母完成通分，计算时注意不要漏乘分子对应的因式。
【难度系数】
0.8
解题首先回忆工程问题的基本数量关系：工作效率=工作总量÷工作时间。第一步先根据甲的工作时间求出乙的工作时间，再分别写出甲、乙两队的工作效率（即每天完成的工作量）；接下来进行通分，先把两个分式的分母因式分解，找到最简公分母，再依据分式的基本性质，将两个分式的分母都化为最简公分母即可。
【解析】
1. 计算乙工程队的工作时间：
已知甲完成工程需要$(2a-6)$天，乙比甲多用8天，因此乙的工作时间为$(2a-6)+8=2a+2$天。
2. 计算甲、乙每天完成的工作量：
工作总量为1，根据工作效率公式可得：
甲每天完成的工作量为$\frac{1}{2a-6}$，乙每天完成的工作量为$\frac{1}{2a+2}$。
3. 通分：
先对两个分母因式分解：$2a-6=2(a-3)$，$2a+2=2(a+1)$，因此两个分式的最简公分母为$2(a-3)(a+1)$。
根据分式的基本性质，对两个分式通分：
$\frac{1}{2a-6}=\frac{1×(a+1)}{2(a-3)×(a+1)}=\frac{a+1}{2(a-3)(a+1)}$
$\frac{1}{2a+2}=\frac{1×(a-3)}{2(a+1)×(a-3)}=\frac{a-3}{2(a-3)(a+1)}$
【答案】
甲工程队每天完成的工作量为$\frac{1}{2a-6}$，
乙工程队每天完成的工作量为$\frac{1}{2a+2}$。
通分：$\frac{1}{2a-6}=\frac{a+1}{2(a-3)(a+1)}$，
$\frac{1}{2a+2}=\frac{a-3}{2(a-3)(a+1)}$。
【知识点】
工程问题基本关系，因式分解，分式通分
【点评】
本题结合实际工程场景，同时考查了工程问题的数量关系和分式通分的方法，解题关键是先准确写出表示两队工作效率的分式，再正确分解分母因式、确定最简公分母完成通分，计算时注意不要漏乘分子对应的因式。
【难度系数】
0.8
8. 分式$\frac{1}{2x^2y}$与$\frac{3}{4x^3}$的最简公分母是 （
A.$2x^2$
B.$2x^2y$
C.$4x^5y$
D.$4x^3y$
D
）A.$2x^2$
B.$2x^2y$
C.$4x^5y$
D.$4x^3y$
答案
D
解析
【分析】
本题考查最简公分母的确定，解题时先回忆最简公分母的确定规则：①取各分母系数的最小公倍数；②相同字母（或因式）取最高次幂；③独有的字母（或因式）连同它的指数直接作为公分母的因式。接下来分别对两个分母$2x^2y$和$4x^3$按规则分析：先找系数2和4的最小公倍数，再找x的最高次幂，最后补充独有的字母y，将各部分相乘即可得到最简公分母。
【解析】
两个分式的分母分别为$2x^2y$和$4x^3$，按步骤确定最简公分母：
1. 求系数的最小公倍数：2和4的最小公倍数是4；
2. 找相同字母的最高次幂：两个分母都含有字母x，次数分别为2和3，取最高次幂$x^3$；
3. 纳入独有的字母因式：仅第一个分母含有字母y，需将y纳入最简公分母。
将上述部分相乘得：$4× x^3× y=4x^3y$，因此最简公分母是$4x^3y$。
【答案】
D
【知识点】
最简公分母的确定、最小公倍数计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查最简公分母的找法，是后续学习分式通分、分式加减运算的必备基础，掌握确定最简公分母的三个规则就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
本题考查最简公分母的确定，解题时先回忆最简公分母的确定规则：①取各分母系数的最小公倍数；②相同字母（或因式）取最高次幂；③独有的字母（或因式）连同它的指数直接作为公分母的因式。接下来分别对两个分母$2x^2y$和$4x^3$按规则分析：先找系数2和4的最小公倍数，再找x的最高次幂，最后补充独有的字母y，将各部分相乘即可得到最简公分母。
【解析】
两个分式的分母分别为$2x^2y$和$4x^3$，按步骤确定最简公分母：
1. 求系数的最小公倍数：2和4的最小公倍数是4；
2. 找相同字母的最高次幂：两个分母都含有字母x，次数分别为2和3，取最高次幂$x^3$；
3. 纳入独有的字母因式：仅第一个分母含有字母y，需将y纳入最简公分母。
将上述部分相乘得：$4× x^3× y=4x^3y$，因此最简公分母是$4x^3y$。
【答案】
D
【知识点】
最简公分母的确定、最小公倍数计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查最简公分母的找法，是后续学习分式通分、分式加减运算的必备基础，掌握确定最简公分母的三个规则就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
9. 已知分式$\frac{1}{3x^2 - 3}$与$\frac{2}{x - 1}$，$a$是这两个分式中分母的公因式，$b$是这两个分式的最简公分母，且$\frac{b}{a}=3$，试求这两个分式的值。
答案
由题意，得两分式分母的公因式为$a=x-1$，最简公分母为$b=3(x+1)(x-1)$。
∴ $\frac{b}{a}=\frac{3(x+1)(x-1)}{x-1}=3(x+1)=3$。
解得$x=0$。
∴ $\frac{1}{3x^2-3}=\frac{1}{0-3}=-\frac{1}{3}$，$\frac{2}{x-1}=\frac{2}{0-1}=-2$。
∴ $\frac{b}{a}=\frac{3(x+1)(x-1)}{x-1}=3(x+1)=3$。
解得$x=0$。
∴ $\frac{1}{3x^2-3}=\frac{1}{0-3}=-\frac{1}{3}$，$\frac{2}{x-1}=\frac{2}{0-1}=-2$。
解析
【分析】
解题时首先需要对两个分式的分母进行因式分解，再根据公因式、最简公分母的定义分别确定a和b；接着利用已知条件$\frac{b}{a}=3$列方程求出x的取值，注意要验证x的取值能让原分式的分母不为0，最后将x代入两个分式计算出对应的值即可。
【解析】
先对第一个分式的分母因式分解：$3x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1)$，
由题意可得，两个分母的公因式$a=x-1$，最简公分母$b=3(x+1)(x-1)$，
代入$\frac{b}{a}=3$得：$\frac{3(x+1)(x-1)}{x-1}=3(x+1)=3$，
解方程得$x+1=1$，即$x=0$，
验证：当$x=0$时，$3x^2-3=-3≠0$，$x-1=-1≠0$，$x=0$符合题意，
将$x=0$代入两个分式计算：
$\frac{1}{3x^2-3}=\frac{1}{3×0 - 3}=-\frac{1}{3}$，
$\frac{2}{x-1}=\frac{2}{0 - 1}=-2$。
【答案】
$\frac{1}{3x^2 - 3}$的值为$-\frac{1}{3}$，$\frac{2}{x - 1}$的值为$-2$。
【知识点】
因式分解，公因式与最简公分母，分式求值
【点评】
本题将分式的基础概念和求值结合考查，解题的核心是正确对分母因式分解，准确识别公因式和最简公分母，求出未知数后要注意验证其能使原分式有意义，再代入计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要对两个分式的分母进行因式分解，再根据公因式、最简公分母的定义分别确定a和b；接着利用已知条件$\frac{b}{a}=3$列方程求出x的取值，注意要验证x的取值能让原分式的分母不为0，最后将x代入两个分式计算出对应的值即可。
【解析】
先对第一个分式的分母因式分解：$3x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1)$，
由题意可得，两个分母的公因式$a=x-1$，最简公分母$b=3(x+1)(x-1)$，
代入$\frac{b}{a}=3$得：$\frac{3(x+1)(x-1)}{x-1}=3(x+1)=3$，
解方程得$x+1=1$，即$x=0$，
验证：当$x=0$时，$3x^2-3=-3≠0$，$x-1=-1≠0$，$x=0$符合题意，
将$x=0$代入两个分式计算：
$\frac{1}{3x^2-3}=\frac{1}{3×0 - 3}=-\frac{1}{3}$，
$\frac{2}{x-1}=\frac{2}{0 - 1}=-2$。
【答案】
$\frac{1}{3x^2 - 3}$的值为$-\frac{1}{3}$，$\frac{2}{x - 1}$的值为$-2$。
【知识点】
因式分解，公因式与最简公分母，分式求值
【点评】
本题将分式的基础概念和求值结合考查，解题的核心是正确对分母因式分解，准确识别公因式和最简公分母，求出未知数后要注意验证其能使原分式有意义，再代入计算即可。
【难度系数】
0.7
