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例 下列分式为最简分式的是 ()
A. $\frac{3a}{5a^3b^2}$
B. $\frac{2a}{a^2+3a}$
C. $\frac{a+2}{a^2+2}$
D. $\frac{a^2-ab}{a^2-b^2}$
分析:根据最简分式的定义分别对每一选项进行判断,即可得出答案.
A. $\frac{3a}{5a^3b^2}=\frac{3}{5a^2b^2}$,故此选项不符合题意;
B. $\frac{2a}{a^2+3a}=\frac{2}{a+3}$,故此选项不符合题意;
C. $\frac{a+2}{a^2+2}$不能约分,故此选项符合题意;
D. $\frac{a^2-ab}{a^2-b^2}=\frac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)}=\frac{a}{a+b}$,故此选项不符合题意.
答案:C
方法点拨 最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式,不能再约分.判断的方法是把分子、分母分解因式,并且观察有无互为相反数的因式,这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式,从而进行约分.
A. $\frac{3a}{5a^3b^2}$
B. $\frac{2a}{a^2+3a}$
C. $\frac{a+2}{a^2+2}$
D. $\frac{a^2-ab}{a^2-b^2}$
分析:根据最简分式的定义分别对每一选项进行判断,即可得出答案.
A. $\frac{3a}{5a^3b^2}=\frac{3}{5a^2b^2}$,故此选项不符合题意;
B. $\frac{2a}{a^2+3a}=\frac{2}{a+3}$,故此选项不符合题意;
C. $\frac{a+2}{a^2+2}$不能约分,故此选项符合题意;
D. $\frac{a^2-ab}{a^2-b^2}=\frac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)}=\frac{a}{a+b}$,故此选项不符合题意.
答案:C
方法点拨 最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式,不能再约分.判断的方法是把分子、分母分解因式,并且观察有无互为相反数的因式,这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式,从而进行约分.
答案
$\boldsymbol{C}$
解析
【分析】
要判断哪个是最简分式，首先明确最简分式的判定标准：分子、分母不含公因式，无法再约分的分式为最简分式。解题时需对每个选项的分子、分母分别进行因式分解，再判断是否存在公因式：若存在公因式则可约分，不是最简分式，直接排除；若不存在公因式，无法约分，就是符合要求的最简分式。
【解析】
根据最简分式的定义逐一判断：
A. 分子为$3a$，分母$5a^3b^2$，分子分母存在公因式$a$，约分可得$\frac{3a}{5a^3b^2}=\frac{3}{5a^2b^2}$，不是最简分式，不符合题意；
B. 分母$a^2+3a$可提公因式分解为$a(a+3)$，分子为$2a$，分子分母存在公因式$a$，约分可得$\frac{2a}{a^2+3a}=\frac{2}{a+3}$，不是最简分式，不符合题意；
C. 分子$a+2$已是最简因式，无法再分解；分母$a^2+2$不存在公因式也无法分解为含$a+2$的因式，分子分母没有公因式，不能约分，是最简分式，符合题意；
D. 分子$a^2-ab$提公因式分解为$a(a-b)$，分母$a^2-b^2$用平方差公式分解为$(a+b)(a-b)$，分子分母存在公因式$a-b$，约分可得$\frac{a^2-ab}{a^2-b^2}=\frac{a}{a+b}$，不是最简分式，不符合题意。
【答案】
$\boldsymbol{C}$
【知识点】
最简分式的定义；因式分解；分式的约分
【点评】
本题属于分式章节的基础题型，核心考查最简分式的判断方法，解题关键是熟练掌握提公因式法、公式法等常见因式分解方法，准确排查分子分母的公因式，判断时要注意可通过符号变化转化为相同的互为相反数的因式，也属于可约分的公因式。
【难度系数】
0.75
要判断哪个是最简分式，首先明确最简分式的判定标准：分子、分母不含公因式，无法再约分的分式为最简分式。解题时需对每个选项的分子、分母分别进行因式分解，再判断是否存在公因式：若存在公因式则可约分，不是最简分式，直接排除；若不存在公因式，无法约分，就是符合要求的最简分式。
【解析】
根据最简分式的定义逐一判断：
A. 分子为$3a$，分母$5a^3b^2$，分子分母存在公因式$a$，约分可得$\frac{3a}{5a^3b^2}=\frac{3}{5a^2b^2}$，不是最简分式，不符合题意；
B. 分母$a^2+3a$可提公因式分解为$a(a+3)$，分子为$2a$，分子分母存在公因式$a$，约分可得$\frac{2a}{a^2+3a}=\frac{2}{a+3}$，不是最简分式，不符合题意；
C. 分子$a+2$已是最简因式，无法再分解；分母$a^2+2$不存在公因式也无法分解为含$a+2$的因式，分子分母没有公因式，不能约分，是最简分式，符合题意；
D. 分子$a^2-ab$提公因式分解为$a(a-b)$，分母$a^2-b^2$用平方差公式分解为$(a+b)(a-b)$，分子分母存在公因式$a-b$，约分可得$\frac{a^2-ab}{a^2-b^2}=\frac{a}{a+b}$，不是最简分式，不符合题意。
【答案】
$\boldsymbol{C}$
【知识点】
最简分式的定义；因式分解；分式的约分
【点评】
本题属于分式章节的基础题型，核心考查最简分式的判断方法，解题关键是熟练掌握提公因式法、公式法等常见因式分解方法，准确排查分子分母的公因式，判断时要注意可通过符号变化转化为相同的互为相反数的因式，也属于可约分的公因式。
【难度系数】
0.75
如果一个分式的分子或分母可以分解因式，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”。
(1)下列分式:①$\frac{x-1}{x^2+1}$;②$\frac{a-2b}{a^2-b^2}$;③$\frac{x+y}{x^2-y^2}$;④$\frac{a^2-b^2}{(a+b)^2}$. 其中是“和谐分式”的是
(2)若$a$为正整数,且$\frac{x+1}{x^2+ax+4}$为“和谐分式”,请写出$a$的值:
(3)在下列三个整式中,任意选择两个式子分别作为分子、分母构造分式,要求构造的分式是“和谐分式”,直接写出所有的结果
①$m^2-n^2$;②$m^2+2mn+n^2$;③$m-n$.
(1)下列分式:①$\frac{x-1}{x^2+1}$;②$\frac{a-2b}{a^2-b^2}$;③$\frac{x+y}{x^2-y^2}$;④$\frac{a^2-b^2}{(a+b)^2}$. 其中是“和谐分式”的是
②
(填序号即可);(2)若$a$为正整数,且$\frac{x+1}{x^2+ax+4}$为“和谐分式”,请写出$a$的值:
4
;(3)在下列三个整式中,任意选择两个式子分别作为分子、分母构造分式,要求构造的分式是“和谐分式”,直接写出所有的结果
$\frac{m-n}{m^2+2mn+n^2},\frac{m^2+2mn+n^2}{m-n}$
.①$m^2-n^2$;②$m^2+2mn+n^2$;③$m-n$.
答案
(1)②
(2)4
(3)$\frac{m-n}{m^2+2mn+n^2},\frac{m^2+2mn+n^2}{m-n}$
(2)4
(3)$\frac{m-n}{m^2+2mn+n^2},\frac{m^2+2mn+n^2}{m-n}$
解析
【分析】
解题核心是准确掌握“和谐分式”的两个判定条件：①分子或分母可以分解因式；②分式不可约分。解题时先对涉及的多项式分解因式，再对照两个条件逐一判断即可：
(1) 逐个分析4个分式，先判断分子分母能否因式分解，再验证是否有公因式；
(2) 先确定分母$x^2+ax+4$需能分解为一次因式乘积，且分解后不含因式$x+1$（保证不可约分），结合$a$为正整数，用十字相乘法拆分常数项求$a$；
(3) 先将三个整式分别因式分解，两两组合后排除有公因式的组合，剩余符合条件的即为所求。
【解析】
(1) 逐个判断分式：
① $\frac{x-1}{x^2+1}$：分母$x^2+1$无法分解因式，不符合“分子或分母可分解因式”的要求，不是和谐分式；
② $\frac{a-2b}{a^2-b^2}$：分母$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$可分解，分子$a-2b$与分母无公因式，不可约分，符合和谐分式定义；
③ $\frac{x+y}{x^2-y^2}$：分母$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，分子分母有公因式$x+y$，可约分，不是和谐分式；
④ $\frac{a^2-b^2}{(a+b)^2}$：分子$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，分子分母有公因式$a+b$，可约分，不是和谐分式；
故填②。
(2) $\frac{x+1}{x^2+ax+4}$为和谐分式，则分母$x^2+ax+4$可分解因式，且与分子$x+1$无公因式。
$x^2+ax+4$是二次三项式，$a$为正整数，拆分常数项4：
拆为1和4时，$x^2+ax+4=(x+1)(x+4)$，$a=5$，此时分母含因式$x+1$，可与分子约分，不符合要求；
拆为2和2时，$x^2+ax+4=(x+2)^2$，$a=4$，分母与分子$x+1$无公因式，不可约分，符合要求；
故$a$的值为4。
(3) 先分解三个整式：
①$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$；②$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$；③$m-n$。
两两组合验证：
①和②、①和③组合均有公因式，可约分，不符合要求；②和③组合无公因式，不可约分，符合要求，可构造分式$\frac{m-n}{m^2+2mn+n^2}$和$\frac{m^2+2mn+n^2}{m-n}$。
【答案】
(1)②；(2)4；(3)$\frac{m-n}{m^2+2mn+n^2},\frac{m^2+2mn+n^2}{m-n}$
【知识点】
因式分解；分式的约分；新定义理解
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的关键是准确理解新定义的判定规则，结合因式分解、分式约分的基础知识进行判断，侧重考查对新知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
解题核心是准确掌握“和谐分式”的两个判定条件：①分子或分母可以分解因式；②分式不可约分。解题时先对涉及的多项式分解因式，再对照两个条件逐一判断即可：
(1) 逐个分析4个分式，先判断分子分母能否因式分解，再验证是否有公因式；
(2) 先确定分母$x^2+ax+4$需能分解为一次因式乘积，且分解后不含因式$x+1$（保证不可约分），结合$a$为正整数，用十字相乘法拆分常数项求$a$；
(3) 先将三个整式分别因式分解，两两组合后排除有公因式的组合，剩余符合条件的即为所求。
【解析】
(1) 逐个判断分式：
① $\frac{x-1}{x^2+1}$：分母$x^2+1$无法分解因式，不符合“分子或分母可分解因式”的要求，不是和谐分式；
② $\frac{a-2b}{a^2-b^2}$：分母$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$可分解，分子$a-2b$与分母无公因式，不可约分，符合和谐分式定义；
③ $\frac{x+y}{x^2-y^2}$：分母$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，分子分母有公因式$x+y$，可约分，不是和谐分式；
④ $\frac{a^2-b^2}{(a+b)^2}$：分子$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，分子分母有公因式$a+b$，可约分，不是和谐分式；
故填②。
(2) $\frac{x+1}{x^2+ax+4}$为和谐分式，则分母$x^2+ax+4$可分解因式，且与分子$x+1$无公因式。
$x^2+ax+4$是二次三项式，$a$为正整数，拆分常数项4：
拆为1和4时，$x^2+ax+4=(x+1)(x+4)$，$a=5$，此时分母含因式$x+1$，可与分子约分，不符合要求；
拆为2和2时，$x^2+ax+4=(x+2)^2$，$a=4$，分母与分子$x+1$无公因式，不可约分，符合要求；
故$a$的值为4。
(3) 先分解三个整式：
①$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$；②$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$；③$m-n$。
两两组合验证：
①和②、①和③组合均有公因式，可约分，不符合要求；②和③组合无公因式，不可约分，符合要求，可构造分式$\frac{m-n}{m^2+2mn+n^2}$和$\frac{m^2+2mn+n^2}{m-n}$。
【答案】
(1)②；(2)4；(3)$\frac{m-n}{m^2+2mn+n^2},\frac{m^2+2mn+n^2}{m-n}$
【知识点】
因式分解；分式的约分；新定义理解
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的关键是准确理解新定义的判定规则，结合因式分解、分式约分的基础知识进行判断，侧重考查对新知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 约分：
(1) $\frac{2a(a-1)}{8ab^2(1-a)}$；
(2) $\frac{a^2 -4ab +4b^2}{a^2 -4b^2}$；
(3) $\frac{2ax^2y}{3axy^2}$；
(4) $\frac{(a-x)^2}{(x-a)^3}$；
(1) $\frac{2a(a-1)}{8ab^2(1-a)}$；
(2) $\frac{a^2 -4ab +4b^2}{a^2 -4b^2}$；
(3) $\frac{2ax^2y}{3axy^2}$；
(4) $\frac{(a-x)^2}{(x-a)^3}$；
答案
(1)$-\frac{1}{4b^2}$
(2)$\frac{a-2b}{a+2b}$
(3)$\frac{2x}{3y}$
(4)$\frac{1}{x-a}$
(2)$\frac{a-2b}{a+2b}$
(3)$\frac{2x}{3y}$
(4)$\frac{1}{x-a}$
解析
【分析】
分式约分的核心是利用分式的基本性质，约去分子分母的公因式，最终得到最简分式。解题思路如下：①先观察分子分母是否为整式乘积的形式，若不是则先对分子分母因式分解；②找公因式：包含系数的最大公约数、相同字母/因式的最低次幂，注意互为相反数的因式可通过提负号转化为相同因式；③约去公因式，保证结果为最简分式即可。
【解析】
(1) 将分母中$1-a$变形为$-(a-1)$，原式改写为：
$\frac{2a(a-1)}{-8ab^2(a-1)}$
分子分母公因式为$2a(a-1)$（需满足$a≠0,a≠1,b≠0$保证分式有意义），约去公因式得：
$-\frac{1}{4b^2}$
(2) 先对分子分母因式分解：
分子$a^2-4ab+4b^2=(a-2b)^2$，分母$a^2-4b^2=(a-2b)(a+2b)$
原式改写为$\frac{(a-2b)^2}{(a-2b)(a+2b)}$
公因式为$a-2b$（需满足$a≠\pm2b$），约去公因式得：
$\frac{a-2b}{a+2b}$
(3) 分子分母公因式为$axy$（需满足$a≠0,x≠0,y≠0$），直接约去公因式得：
$\frac{2ax^2y÷ axy}{3axy^2÷ axy}=\frac{2x}{3y}$
(4) 由互为相反数的偶次幂相等，得$(a-x)^2=(x-a)^2$，原式改写为：
$\frac{(x-a)^2}{(x-a)^3}$
公因式为$(x-a)^2$（需满足$x≠ a$），约去公因式得：
$\frac{1}{x-a}$
【答案】
(1)$-\frac{1}{4b^2}$；(2)$\frac{a-2b}{a+2b}$；(3)$\frac{2x}{3y}$；(4)$\frac{1}{x-a}$
【知识点】
分式的基本性质；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式约分的基础题型，既考察了完全平方公式、平方差公式等常用因式分解方法，也考察了互为相反数的因式的转化技巧，熟练掌握约分步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
分式约分的核心是利用分式的基本性质，约去分子分母的公因式，最终得到最简分式。解题思路如下：①先观察分子分母是否为整式乘积的形式，若不是则先对分子分母因式分解；②找公因式：包含系数的最大公约数、相同字母/因式的最低次幂，注意互为相反数的因式可通过提负号转化为相同因式；③约去公因式，保证结果为最简分式即可。
【解析】
(1) 将分母中$1-a$变形为$-(a-1)$，原式改写为：
$\frac{2a(a-1)}{-8ab^2(a-1)}$
分子分母公因式为$2a(a-1)$（需满足$a≠0,a≠1,b≠0$保证分式有意义），约去公因式得：
$-\frac{1}{4b^2}$
(2) 先对分子分母因式分解：
分子$a^2-4ab+4b^2=(a-2b)^2$，分母$a^2-4b^2=(a-2b)(a+2b)$
原式改写为$\frac{(a-2b)^2}{(a-2b)(a+2b)}$
公因式为$a-2b$（需满足$a≠\pm2b$），约去公因式得：
$\frac{a-2b}{a+2b}$
(3) 分子分母公因式为$axy$（需满足$a≠0,x≠0,y≠0$），直接约去公因式得：
$\frac{2ax^2y÷ axy}{3axy^2÷ axy}=\frac{2x}{3y}$
(4) 由互为相反数的偶次幂相等，得$(a-x)^2=(x-a)^2$，原式改写为：
$\frac{(x-a)^2}{(x-a)^3}$
公因式为$(x-a)^2$（需满足$x≠ a$），约去公因式得：
$\frac{1}{x-a}$
【答案】
(1)$-\frac{1}{4b^2}$；(2)$\frac{a-2b}{a+2b}$；(3)$\frac{2x}{3y}$；(4)$\frac{1}{x-a}$
【知识点】
分式的基本性质；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式约分的基础题型，既考察了完全平方公式、平方差公式等常用因式分解方法，也考察了互为相反数的因式的转化技巧，熟练掌握约分步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
