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10. 如图,设$ k = \frac{甲图中阴影部分的面积}{乙图中阴影部分的面积}(a＞b＞0) $,则k的值可以为 (
A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{3}{2}$
D.2
C
)A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{3}{2}$
D.2
答案
C
解析
【分析】
要得到k的取值，首先需分别求出甲、乙两图阴影部分的面积，再写出k的分式表达式，通过因式分解、约分简化表达式，最后结合a＞b＞0的条件判断k的取值范围，匹配选项即可。
第一步：计算甲图阴影面积：甲图是边长为a的大正方形减去边长为b的空白小正方形，面积等于大正方形面积减小正方形面积；
第二步：计算乙图阴影面积：乙图阴影是长为a，宽为(a-b)的长方形，面积按长方形面积公式计算；
第三步：写出k的表达式后，利用平方差公式分解分子，约去公因式得到最简形式，再根据a＞b＞0推导k的范围，选出符合范围的选项。
【解析】
首先计算两图阴影部分面积：
甲图阴影面积：$S_甲 = a^2 - b^2$
乙图阴影面积：$S_乙 = a(a - b)$
则$k = \frac{S_甲}{S_乙} = \frac{a^2 - b^2}{a(a - b)}$
利用平方差公式分解分子：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，代入得：
$k = \frac{(a + b)(a - b)}{a(a - b)}$
已知$a＞b＞0$，故$a - b ≠ 0$，可约去公因式$(a - b)$，化简得：
$k = \frac{a + b}{a} = 1 + \frac{b}{a}$
因为$a＞b＞0$，所以$0 ＜ \frac{b}{a} ＜ 1$，因此$1 ＜ 1 + \frac{b}{a} ＜ 2$，即$1 ＜ k ＜ 2$。
观察选项，只有$\frac{3}{2}$在(1,2)区间内，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，分式约分，代数式取值范围
【点评】
本题属于基础综合题，将几何面积计算与代数化简结合，解题的核心是正确表示阴影面积，再通过因式分解、约分简化分式，最后结合已知条件判断取值范围即可求解。
【难度系数】
0.7
要得到k的取值，首先需分别求出甲、乙两图阴影部分的面积，再写出k的分式表达式，通过因式分解、约分简化表达式，最后结合a＞b＞0的条件判断k的取值范围，匹配选项即可。
第一步：计算甲图阴影面积：甲图是边长为a的大正方形减去边长为b的空白小正方形，面积等于大正方形面积减小正方形面积；
第二步：计算乙图阴影面积：乙图阴影是长为a，宽为(a-b)的长方形，面积按长方形面积公式计算；
第三步：写出k的表达式后，利用平方差公式分解分子，约去公因式得到最简形式，再根据a＞b＞0推导k的范围，选出符合范围的选项。
【解析】
首先计算两图阴影部分面积：
甲图阴影面积：$S_甲 = a^2 - b^2$
乙图阴影面积：$S_乙 = a(a - b)$
则$k = \frac{S_甲}{S_乙} = \frac{a^2 - b^2}{a(a - b)}$
利用平方差公式分解分子：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，代入得：
$k = \frac{(a + b)(a - b)}{a(a - b)}$
已知$a＞b＞0$，故$a - b ≠ 0$，可约去公因式$(a - b)$，化简得：
$k = \frac{a + b}{a} = 1 + \frac{b}{a}$
因为$a＞b＞0$，所以$0 ＜ \frac{b}{a} ＜ 1$，因此$1 ＜ 1 + \frac{b}{a} ＜ 2$，即$1 ＜ k ＜ 2$。
观察选项，只有$\frac{3}{2}$在(1,2)区间内，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，分式约分，代数式取值范围
【点评】
本题属于基础综合题，将几何面积计算与代数化简结合，解题的核心是正确表示阴影面积，再通过因式分解、约分简化分式，最后结合已知条件判断取值范围即可求解。
【难度系数】
0.7
11.定义:若一个分式约分后是一个整式,则称这个分式为“巧分式”,约分后的整式称为这个分式的“巧整式”.例如:$\frac{4x^2 -8x}{x-2}=\frac{4x(x-2)}{x-2}=4x$,则称分式$\frac{4x^2 -8x}{x-2}$是“巧分式”,$4x$为它的“巧整式”.根据上述定义,解答下列问题:
(1)下列分式中是“巧分式”的有
(2)若分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$,请判断$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是否是“巧分式”.
(1)下列分式中是“巧分式”的有
①③
(填序号);(2)若分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$,请判断$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是否是“巧分式”.
答案
(1)①③
(2)
∵ 分式$\frac{-2x^3+2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$，
∴ $A=\frac{-2x^3+2x}{1-x}$。
∴ $A = \frac{2x(1-x^2)}{1-x} = \frac{2x(1-x)(1+x)}{1-x} = 2x(1+x)=2x^2+2x$。
∴ $\frac{2x^3+4x^2+2x}{A}=\frac{2x^3+4x^2+2x}{2x^2+2x}=\frac{2x(x^2+2x+1)}{2x(x+1)}=\frac{(x+1)^2}{x+1}=x+1$，
∵ $x+1$是整式，
∴ $\frac{2x^3+4x^2+2x}{A}$是“巧分式”。
(2)
∵ 分式$\frac{-2x^3+2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$，
∴ $A=\frac{-2x^3+2x}{1-x}$。
∴ $A = \frac{2x(1-x^2)}{1-x} = \frac{2x(1-x)(1+x)}{1-x} = 2x(1+x)=2x^2+2x$。
∴ $\frac{2x^3+4x^2+2x}{A}=\frac{2x^3+4x^2+2x}{2x^2+2x}=\frac{2x(x^2+2x+1)}{2x(x+1)}=\frac{(x+1)^2}{x+1}=x+1$，
∵ $x+1$是整式，
∴ $\frac{2x^3+4x^2+2x}{A}$是“巧分式”。
解析
【分析】
(1)首先明确“巧分式”的定义：约分后结果为整式的分式。判断时先对每个分式的分子、分母因式分解，再约去公因式，判断结果是否为整式即可。①中分子分母有公因式$(x-1)(x+2)$，约去后得整式$2x-3$；②中分子分母无公因式，约分后仍为分式；③中分子是平方差，分解后有公因式$x+y$，约去后得整式$x-y$，据此可确定巧分式序号。
(2)根据“巧整式”的含义，分母$A$等于原分子除以巧整式$1-x$，先对分子因式分解计算出$A$的表达式，再将$A$代入待判断的分式，对分子分母因式分解后约分，判断结果是否为整式即可。
【解析】
(1)对三个分式逐个分析：
①$\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}$，约去公因式$(x-1)(x+2)$（$x≠1$且$x≠-2$），结果为$2x-3$，是整式，属于巧分式；
②$\frac{2x+5}{x+3}$，分子分母无公因式，无法约分得到整式，不属于巧分式；
③$\frac{x^2-y^2}{x+y}=\frac{(x+y)(x-y)}{x+y}$，约去公因式$x+y$（$x+y≠0$），结果为$x-y$，是整式，属于巧分式。
(2)已知分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$，说明该分式约分后结果为$1-x$，因此：
$A=\frac{-2x^3+2x}{1-x}$
对分子因式分解：$-2x^3+2x=2x(1-x^2)=2x(1-x)(1+x)$
代入得：$A=\frac{2x(1-x)(1+x)}{1-x}=2x(1+x)=2x^2+2x$（$1-x≠0$）
将$A=2x^2+2x$代入$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$：
先对分子因式分解：$2x^3 +4x^2 +2x=2x(x^2+2x+1)=2x(x+1)^2$
因此$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}=\frac{2x(x+1)^2}{2x(x+1)}$，约去公因式$2x(x+1)$（$x≠0$且$x≠-1$），结果为$x+1$，是整式。
【答案】
(1)①③
(2)$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是“巧分式”。
【知识点】
分式的约分；因式分解；新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查分式相关运算，解题关键是准确理解新定义的含义，再灵活运用因式分解、分式约分的方法求解，能有效考查知识迁移和运算能力。
【难度系数】
0.7
(1)首先明确“巧分式”的定义：约分后结果为整式的分式。判断时先对每个分式的分子、分母因式分解，再约去公因式，判断结果是否为整式即可。①中分子分母有公因式$(x-1)(x+2)$，约去后得整式$2x-3$；②中分子分母无公因式，约分后仍为分式；③中分子是平方差，分解后有公因式$x+y$，约去后得整式$x-y$，据此可确定巧分式序号。
(2)根据“巧整式”的含义，分母$A$等于原分子除以巧整式$1-x$，先对分子因式分解计算出$A$的表达式，再将$A$代入待判断的分式，对分子分母因式分解后约分，判断结果是否为整式即可。
【解析】
(1)对三个分式逐个分析：
①$\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}$，约去公因式$(x-1)(x+2)$（$x≠1$且$x≠-2$），结果为$2x-3$，是整式，属于巧分式；
②$\frac{2x+5}{x+3}$，分子分母无公因式，无法约分得到整式，不属于巧分式；
③$\frac{x^2-y^2}{x+y}=\frac{(x+y)(x-y)}{x+y}$，约去公因式$x+y$（$x+y≠0$），结果为$x-y$，是整式，属于巧分式。
(2)已知分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$，说明该分式约分后结果为$1-x$，因此：
$A=\frac{-2x^3+2x}{1-x}$
对分子因式分解：$-2x^3+2x=2x(1-x^2)=2x(1-x)(1+x)$
代入得：$A=\frac{2x(1-x)(1+x)}{1-x}=2x(1+x)=2x^2+2x$（$1-x≠0$）
将$A=2x^2+2x$代入$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$：
先对分子因式分解：$2x^3 +4x^2 +2x=2x(x^2+2x+1)=2x(x+1)^2$
因此$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}=\frac{2x(x+1)^2}{2x(x+1)}$，约去公因式$2x(x+1)$（$x≠0$且$x≠-1$），结果为$x+1$，是整式。
【答案】
(1)①③
(2)$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是“巧分式”。
【知识点】
分式的约分；因式分解；新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查分式相关运算，解题关键是准确理解新定义的含义，再灵活运用因式分解、分式约分的方法求解，能有效考查知识迁移和运算能力。
【难度系数】
0.7
