7.已知二次函数$y=2x^2 -4x -1$在$0≤ x≤ a$时，$y$取得的最大值为15，则$a$的值为（）

A.1
B.2
C.3
D.4

7.D

【分析】
解决本题首先要明确二次函数的基本性质，先通过配方确定函数的开口方向、对称轴，判断函数的增减规律；再求出函数值为15时对应的自变量取值，结合给定的x取值范围分析最大值的取值位置，最终推导得到a的值。
【解析】
先将二次函数$y=2x^2-4x-1$配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=2x^2-4x-1\\&=2(x^2-2x)-1\\&=2(x-1)^2-3\end{aligned}$
可知该函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-3)$。
当$y=15$时，代入解析式列方程：
$2x^2-4x-1=15$
整理得$x^2-2x-8=0$，因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-2$。
再分析区间$0≤x≤a$的函数最大值：
代入$x=0$得$y=-1＜15$，说明最大值不在$x=0$处取得。
因为函数开口向上，$x＞1$时$y$随$x$增大而增大，因此区间最大值只能在右端点$x=a$处取得，即$x=a$时$y=15$，结合正根结果得$a=4$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的最值，解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数最值的常规应用题型，解题核心是先确定函数的对称轴和增减性，再结合区间判断最值的取值位置，计算时要注意舍去不符合区间范围的解。
【难度系数】
0.7

8.教育部颁布的《义务教育劳动课程标准(2022年版)》中,要求以丰富开放的劳动项目为载体,培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质.某校为此规划出矩形苗圃ABCD.苗圃的一面靠墙(墙最大可用长度为12米),另三边用木栏围成,中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域,并在如图所示的两处各留1米宽的门(门不用木栏),修建所用木栏总长为28米,设矩形ABCD的一边CD长为x米.
(1)用含x的代数式表示矩形ABCD的另一边BC的长.
(2)当x为何值时,矩形ABCD的面积最大?最大面积为多少平方米?

8.解:(1)$(30-3x)$米.
(2)设矩形$ABCD$的面积为$w$平方米,
则$w=x(30-3x)=-3(x-5)^2+75$,
$\because 30-3x ≤ 12$,$\therefore x ≥ 6$.
$\because -3＜0$,
$\therefore x=6$时,$w$的值最大,最大值为72,
$\therefore$ 当$x$为6米时,矩形$ABCD$的面积最大,最大面积为72平方米.

【分析】
（1）求解BC的长度时，先明确木栏的构成：3段垂直于墙的木栏长度均为x米，平行于墙的木栏需扣除2个1米宽的门的长度（门无需木栏），结合木栏总长为28米，即可推导出BC的代数式；（2）求解面积最值时，先根据矩形面积公式列出面积关于x的二次函数表达式，再结合墙的最大可用长度求出x的取值范围，最后根据二次函数的增减性在取值范围内求出最大值即可。
【解析】
（1）由题意可知，垂直于墙的木栏共有3段，每段长为x米，两处门各宽1米，无需使用木栏，因此总木栏长度满足：$3x + (BC - 2×1) = 28$，整理可得$BC = 28 + 2 - 3x = 30 - 3x$，即BC的长为$(30-3x)$米。
（2）设矩形ABCD的面积为w平方米，根据矩形面积公式可得：
$w = x(30-3x) = -3x^2 + 30x$
配方得：$w = -3(x-5)^2 +75$
根据墙的最大可用长度为12米，可得BC的长度不能超过12米，即：
$30-3x ≤ 12$，解得$x≥6$
同时BC长度为正，故$30-3x＞0$，解得$x＜10$，因此x的取值范围为$6≤x＜10$
$\because$ 二次函数$w=-3(x-5)^2 +75$中，$a=-3＜0$，抛物线开口向下，且对称轴为$x=5$
$\therefore$ 在$x≥5$的区间内，w随x的增大而减小
因此在$6≤x＜10$的范围内，当$x=6$时，w取得最大值，最大值为：
$w=-3×(6-5)^2 +75 = 72$
【答案】
(1) $(30-3x)$米；
(2) 当x为6米时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为72平方米。
【知识点】
列代数式；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合实际生活场景出题，既考查了代数式的表示和二次函数最值的计算，也提醒同学们解题时要注意实际问题对自变量的取值限制，避免直接套用顶点公式得出错误结果。
【难度系数】
0.6

9.如图所示，抛物线$y=x^2-2x-3$与$x$轴相交于$A$，$B$两点，与$y$轴相交于点$C$，点$M$为抛物线的顶点。
(1)求点$C$及顶点$M$的坐标。
(2)若点$N$是第四象限内抛物线上的一个动点，连结$BN$，$CN$，求$△ BCN$面积的最大值及此时点$N$的坐标。

9.解:(1)$C$点坐标为$(0,-3)$,抛物线的顶点$M$的坐标为$(1,-4)$.

(2)过$N$点作$x$轴的垂线交直线$BC$于$Q$点,连结$BN,CN$,由题意,得$B(3,0)$,$A(-1,0)$,设直线$BC$的解析式为$y=ax+b$,代入$C(0,-3)$,$B(3,0)$,解得直线$BC$的解析式为$y=x-3$,设$N$点坐标为$(n,n^2-2n-3)$,$\therefore Q$点坐标为$(n,n-3)$,其中$0＜n＜3$,则$S_{△ BCN}=S_{△ NQC}+S_{△ NQB}=\frac{1}{2} · QN · (x_Q-x_C)+\frac{1}{2} · QN · (x_B-x_Q)=\frac{1}{2} · QN · (x_B-x_C)$,且$QN=(n-3)-(n^2-2n-3)=-n^2+3n$,$x_B-x_C=3$,$\therefore S_{△ BCN}=\frac{1}{2} · (-n^2+3n) · 3=-\frac{3}{2}(n-\frac{3}{2})^2+\frac{27}{8}$,其中$0＜n＜3$,当$n=\frac{3}{2}$时,$S_{△ BCN}$有最大值为$\frac{27}{8}$,此时点$N$的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$.

【分析】
(1) 求抛物线与y轴交点C的坐标，只需令x=0代入抛物线解析式计算对应y值即可；求顶点M的坐标，可将抛物线一般式通过配方法转化为顶点式，直接得到顶点坐标，也可使用顶点坐标公式计算。
(2) 求△BCN的面积最大值，首先求出B点坐标和直线BC的解析式，采用“铅垂高、水平宽”的面积计算方法：过N作x轴垂线交BC于Q，将△BCN拆分为两个同底的三角形，面积可表示为$\frac{1}{2}×$铅垂高$QN×$水平宽，再设N的横坐标为n，用含n的代数式表示QN的长度，将面积转化为关于n的二次函数，结合n的取值范围求二次函数的最大值，同时得到对应N的坐标。
【解析】
(1) 求点C坐标：
抛物线与y轴交点横坐标为0，将x=0代入$y=x^2-2x-3$，得$y=-3$，$\therefore C(0,-3)$。
求顶点M坐标：
将抛物线解析式配方得$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
$\therefore$ 抛物线顶点M的坐标为$(1,-4)$。

(2) 求B点坐标：令$y=0$，即$x^2-2x-3=0$，解得$x_1=3,x_2=-1$，$\because$ B在x轴正半轴，$\therefore B(3,0)$。
设直线BC的解析式为$y=ax+b$，将$C(0,-3)$、$B(3,0)$代入，解得$a=1,b=-3$，即直线BC的解析式为$y=x-3$。
设点N的横坐标为$n(0＜n＜3)$，则$N(n,n^2-2n-3)$，过N作x轴垂线交BC于Q，则$Q(n,n-3)$。
铅垂高$QN=(n-3)-(n^2-2n-3)=-n^2+3n$，水平宽为$x_B-x_C=3$。
则$S_{△BCN}=\frac{1}{2}·QN·3=\frac{3}{2}(-n^2+3n)=-\frac{3}{2}(n-\frac{3}{2})^2+\frac{27}{8}$。
$\because -\frac{3}{2}＜0$，且$0＜\frac{3}{2}＜3$，$\therefore$ 当$n=\frac{3}{2}$时，$S_{△BCN}$取最大值$\frac{27}{8}$，此时N点纵坐标为$(\frac{3}{2})^2-2×\frac{3}{2}-3=-\frac{15}{4}$，即$N(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$。
【答案】
(1) $C$点坐标为$(0,-3)$，顶点$M$的坐标为$(1,-4)$；

(2) $△ BCN$面积的最大值为$\frac{27}{8}$，此时点$N$的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$。
【知识点】
二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数最值应用
【点评】
本题考查二次函数与几何的综合应用，第一问是二次函数基础考点，第二问用到的铅垂高法是求解坐标系中动态三角形面积最值的常用方法，需掌握将几何面积问题转化为二次函数求最值的解题思路，注意动点取值范围对最值的影响。
【难度系数】
0.65