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1.关于二次函数$y=2(x-4)^2+6$的最大值或最小值，下列说法正确的是（
A.有最大值4
B.有最小值4
C.有最大值6
D.有最小值6
D
）A.有最大值4
B.有最小值4
C.有最大值6
D.有最小值6
答案
1.D
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以从二次函数顶点式的性质入手思考：首先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中，$a$的符号决定抛物线的开口方向，开口方向决定函数有最大值还是最小值，顶点的纵坐标$k$就是对应的最值。第一步先判断本题中$a$的正负，确定开口方向；第二步找到顶点纵坐标的取值，就能得出对应的最值，进而选出正确选项。
【解析】
已知二次函数解析式为顶点式$y=2(x-4)^2+6$，其中二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，函数存在最小值，最小值为顶点的纵坐标值。
该函数顶点的纵坐标$k=6$，因此二次函数有最小值6，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数相关的基础题型，核心考察对二次函数顶点式中各参数含义及最值规律的掌握程度，熟练掌握开口方向与最值的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，我们可以从二次函数顶点式的性质入手思考：首先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中，$a$的符号决定抛物线的开口方向，开口方向决定函数有最大值还是最小值，顶点的纵坐标$k$就是对应的最值。第一步先判断本题中$a$的正负，确定开口方向；第二步找到顶点纵坐标的取值，就能得出对应的最值，进而选出正确选项。
【解析】
已知二次函数解析式为顶点式$y=2(x-4)^2+6$，其中二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，函数存在最小值，最小值为顶点的纵坐标值。
该函数顶点的纵坐标$k=6$，因此二次函数有最小值6，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数相关的基础题型，核心考察对二次函数顶点式中各参数含义及最值规律的掌握程度，熟练掌握开口方向与最值的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.已知二次函数的图象$(0 ≤ x ≤ 3)$如图所示.关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是 (
A.有最小值0,有最大值3
B.有最小值$-1$,有最大值0
C.有最小值$-1$,有最大值3
D.有最小值$-1$,无最大值
（第2题图）
（第4题图）
（第5题图）
C
)A.有最小值0,有最大值3
B.有最小值$-1$,有最大值0
C.有最小值$-1$,有最大值3
D.有最小值$-1$,无最大值
（第2题图）
（第4题图）
（第5题图）
答案
2.C
解析
【分析】
解决这道题的核心是结合给定的自变量取值范围$0 ≤ x ≤ 3$，通过观察函数图象判断最值：在指定自变量区间内，图象最低点对应的$y$值就是函数的最小值，图象最高点对应的$y$值就是函数的最大值。我们需要同时对比区间内顶点和两个端点的函数值，最终确定最值再匹配选项即可。
【解析】
观察$0 ≤ x ≤ 3$范围内的二次函数图象：
1. 图象的最低点坐标为$(1,-1)$，因此该区间内函数的最小值为$-1$；
2. 图象的最高点坐标为$(3,3)$，因此该区间内函数的最大值为$3$。
逐一分析选项：A选项最小值为0的描述错误；B选项最大值为0的描述错误；C选项结论符合推导结果；D选项无最大值的描述错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的最值 2.函数图象识别
【点评】
本题主要考查从函数图象中提取有效信息的能力，求解二次函数在固定区间内的最值时，不能仅关注顶点坐标，要结合区间端点的函数值综合判断，避免忽略边界取值导致出错。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是结合给定的自变量取值范围$0 ≤ x ≤ 3$，通过观察函数图象判断最值：在指定自变量区间内，图象最低点对应的$y$值就是函数的最小值，图象最高点对应的$y$值就是函数的最大值。我们需要同时对比区间内顶点和两个端点的函数值，最终确定最值再匹配选项即可。
【解析】
观察$0 ≤ x ≤ 3$范围内的二次函数图象：
1. 图象的最低点坐标为$(1,-1)$，因此该区间内函数的最小值为$-1$；
2. 图象的最高点坐标为$(3,3)$，因此该区间内函数的最大值为$3$。
逐一分析选项：A选项最小值为0的描述错误；B选项最大值为0的描述错误；C选项结论符合推导结果；D选项无最大值的描述错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的最值 2.函数图象识别
【点评】
本题主要考查从函数图象中提取有效信息的能力，求解二次函数在固定区间内的最值时，不能仅关注顶点坐标，要结合区间端点的函数值综合判断，避免忽略边界取值导致出错。
【难度系数】
0.8
二次函数$y=x^2+2x-5(0≤ x≤ 3)$的最小值为
-5
.答案
3.-5
解析
【分析】
要解决二次函数在给定自变量范围内的最值问题，首先需明确二次函数的开口方向、对称轴，再判断对称轴是否落在给定的自变量区间内，结合二次函数的增减性确定取最值的自变量取值，最后代入计算即可。本题二次项系数为正，开口向上，先计算对称轴，再判断给定区间[0,3]与对称轴的位置关系，就能找到取最小值的x值。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=x^2+2x-5$中，二次项系数$a=1＞0$，因此函数图象开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大。
2. 计算对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$、$b=2$，得对称轴为$x=-\frac{2}{2×1}=-1$。
3. 判断区间位置：给定自变量范围$0≤ x≤3$，全部在对称轴$x=-1$的右侧，因此该区间内y随x的增大而增大。
4. 计算最小值：当x取区间内最小值0时，y取得最小值，代入函数得$y=0^2+2×0-5=-5$。
【答案】
-5
【知识点】
二次函数性质，二次函数最值，函数增减性
【点评】
本题是二次函数区间最值的基础题型，易错点是忽略自变量的取值范围，直接将顶点纵坐标作为最小值，解题时需先确认对称轴是否在给定区间内，再结合函数增减性计算最值。
【难度系数】
0.7
要解决二次函数在给定自变量范围内的最值问题，首先需明确二次函数的开口方向、对称轴，再判断对称轴是否落在给定的自变量区间内，结合二次函数的增减性确定取最值的自变量取值，最后代入计算即可。本题二次项系数为正，开口向上，先计算对称轴，再判断给定区间[0,3]与对称轴的位置关系，就能找到取最小值的x值。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=x^2+2x-5$中，二次项系数$a=1＞0$，因此函数图象开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大。
2. 计算对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$、$b=2$，得对称轴为$x=-\frac{2}{2×1}=-1$。
3. 判断区间位置：给定自变量范围$0≤ x≤3$，全部在对称轴$x=-1$的右侧，因此该区间内y随x的增大而增大。
4. 计算最小值：当x取区间内最小值0时，y取得最小值，代入函数得$y=0^2+2×0-5=-5$。
【答案】
-5
【知识点】
二次函数性质，二次函数最值，函数增减性
【点评】
本题是二次函数区间最值的基础题型，易错点是忽略自变量的取值范围，直接将顶点纵坐标作为最小值，解题时需先确认对称轴是否在给定区间内，再结合函数增减性计算最值。
【难度系数】
0.7
4.如图,在长度为1的线段AB上取一点P,分别以AP,BP为边作正方形,则这两个正方形面积之和的最小值为
$\frac{1}{2}$
.答案
4.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要求两个正方形面积之和的最小值，首先我们需要将面积之和转化为关于某一变量的函数关系式。我们可以设线段AP的长度为x，那么BP的长度就是1-x，再根据正方形面积公式分别表示出两个正方形的面积，求和即可得到关于x的二次函数，最后利用二次函数的最值性质就能求出最小值。
【解析】
设AP的长为$x$（$0＜x＜1$），则BP的长为$1-x$，设两个正方形的面积之和为$S$。
根据正方形面积公式可得：
$S=x^2+(1-x)^2$
展开并整理得：$S=2x^2-2x+1$
该式为二次函数，其中$a=2＞0$，函数图象开口向上，存在最小值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×2}=\frac{1}{2}$时，$S$取得最小值。
将$x=\frac{1}{2}$代入表达式得：
$S_{\mathrm{min}}=2×(\frac{1}{2})^2 - 2×\frac{1}{2} +1=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数的最值、列函数关系式、正方形面积计算
【点评】
本题是二次函数在几何最值问题中的典型应用，解题的核心是将几何问题转化为函数问题，通过合理设变量建立函数关系，再结合二次函数性质求解，属于二次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
要求两个正方形面积之和的最小值，首先我们需要将面积之和转化为关于某一变量的函数关系式。我们可以设线段AP的长度为x，那么BP的长度就是1-x，再根据正方形面积公式分别表示出两个正方形的面积，求和即可得到关于x的二次函数，最后利用二次函数的最值性质就能求出最小值。
【解析】
设AP的长为$x$（$0＜x＜1$），则BP的长为$1-x$，设两个正方形的面积之和为$S$。
根据正方形面积公式可得：
$S=x^2+(1-x)^2$
展开并整理得：$S=2x^2-2x+1$
该式为二次函数，其中$a=2＞0$，函数图象开口向上，存在最小值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×2}=\frac{1}{2}$时，$S$取得最小值。
将$x=\frac{1}{2}$代入表达式得：
$S_{\mathrm{min}}=2×(\frac{1}{2})^2 - 2×\frac{1}{2} +1=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数的最值、列函数关系式、正方形面积计算
【点评】
本题是二次函数在几何最值问题中的典型应用，解题的核心是将几何问题转化为函数问题，通过合理设变量建立函数关系，再结合二次函数性质求解，属于二次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
5.如图,用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏(墙足够长),则这个围栏的最大面积为 $\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$ m².
答案
5.32
解析
【分析】
这是一道利用二次函数求实际问题最值的题目，解题思路如下：第一步，合理设置未知数，因为围栏一边靠墙，篱笆仅需围3条边，可设垂直于墙的边长为x m，那么平行于墙的边长就等于篱笆总长减去2个垂直边的长度，即(16-2x)m；第二步，根据矩形面积公式列出面积关于x的函数表达式，这是一个开口向下的二次函数，其顶点处的函数值就是最大值；第三步，先确定自变量x的取值范围（边长为正，因此x＞0且16-2x＞0，即0＜x＜8），再通过二次函数顶点公式或配方法求出最大值即可。
【解析】
设垂直于墙的边长为$ x $ m，围栏的面积为$ S $ m²，则平行于墙的边长为$ (16-2x) $ m。
根据矩形面积公式可得：
$ S = x(16-2x) $
整理为二次函数一般式：$ S = -2x^2 + 16x $
其中二次项系数$ a=-2＜0 $，因此函数有最大值。
用配方法变形：
$ S = -2(x^2 - 8x) = -2(x^2 -8x +16 -16) = -2(x-4)^2 +32 $
结合自变量取值范围：$ \begin{cases} x＞0 \\ 16-2x＞0 \end{cases} $，解得$ 0＜x＜8 $，$ x=4 $在该范围内。
因此当$ x=4 $时，$ S $取得最大值32。
【答案】
32
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型习题，解题的核心是结合题意建立正确的函数关系式，同时要注意实际问题中自变量的取值范围，确保所求最值符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数求实际问题最值的题目，解题思路如下：第一步，合理设置未知数，因为围栏一边靠墙，篱笆仅需围3条边，可设垂直于墙的边长为x m，那么平行于墙的边长就等于篱笆总长减去2个垂直边的长度，即(16-2x)m；第二步，根据矩形面积公式列出面积关于x的函数表达式，这是一个开口向下的二次函数，其顶点处的函数值就是最大值；第三步，先确定自变量x的取值范围（边长为正，因此x＞0且16-2x＞0，即0＜x＜8），再通过二次函数顶点公式或配方法求出最大值即可。
【解析】
设垂直于墙的边长为$ x $ m，围栏的面积为$ S $ m²，则平行于墙的边长为$ (16-2x) $ m。
根据矩形面积公式可得：
$ S = x(16-2x) $
整理为二次函数一般式：$ S = -2x^2 + 16x $
其中二次项系数$ a=-2＜0 $，因此函数有最大值。
用配方法变形：
$ S = -2(x^2 - 8x) = -2(x^2 -8x +16 -16) = -2(x-4)^2 +32 $
结合自变量取值范围：$ \begin{cases} x＞0 \\ 16-2x＞0 \end{cases} $，解得$ 0＜x＜8 $，$ x=4 $在该范围内。
因此当$ x=4 $时，$ S $取得最大值32。
【答案】
32
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型习题，解题的核心是结合题意建立正确的函数关系式，同时要注意实际问题中自变量的取值范围，确保所求最值符合实际意义。
【难度系数】
0.7
6.求出下列二次函数的最值.
(1)$y=x^2+2x-3$.
(2)$y=1+6x-x^2$.
(1)$y=x^2+2x-3$.
(2)$y=1+6x-x^2$.
答案
6.解:(1)$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$,$a＞0$,图象开口向上,最小值是$-4$.
(2)$y=1+6x-x^2=-(x-3)^2+10$,图象开口向下,最大值是10.
(2)$y=1+6x-x^2=-(x-3)^2+10$,图象开口向下,最大值是10.
解析
【分析】
求二次函数的最值，可先通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，再根据二次项系数$a$的正负判断抛物线的开口方向：若$a＞0$，抛物线开口向上，顶点纵坐标为函数的最小值；若$a＜0$，抛物线开口向下，顶点纵坐标为函数的最大值，按照这个思路即可分别求解两小问。
【解析】
(1) 对$y=x^2+2x-3$进行配方：
$y=x^2+2x-3=x^2+2x+1-1-3=(x+1)^2-4$
二次项系数$a=1＞0$，函数图象开口向上，因此函数存在最小值，最小值为顶点的纵坐标$-4$。
(2) 对$y=1+6x-x^2$进行配方：
先整理为$y=-x^2+6x+1$，提取二次项系数得$y=-(x^2-6x)+1$，配方得：
$y=-(x^2-6x+9-9)+1=-(x-3)^2+9+1=-(x-3)^2+10$
二次项系数$a=-1＜0$，函数图象开口向下，因此函数存在最大值，最大值为顶点的纵坐标$10$。
【答案】
(1) 最小值是$\boldsymbol{-4}$；
(2) 最大值是$\boldsymbol{10}$。
【知识点】
二次函数的最值，配方法化顶点式，二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数最值的基础题型，核心是掌握配方法的操作以及开口方向和最值的对应关系，熟练后也可直接用顶点纵坐标公式快速求解最值。
【难度系数】
0.85
求二次函数的最值，可先通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，再根据二次项系数$a$的正负判断抛物线的开口方向：若$a＞0$，抛物线开口向上，顶点纵坐标为函数的最小值；若$a＜0$，抛物线开口向下，顶点纵坐标为函数的最大值，按照这个思路即可分别求解两小问。
【解析】
(1) 对$y=x^2+2x-3$进行配方：
$y=x^2+2x-3=x^2+2x+1-1-3=(x+1)^2-4$
二次项系数$a=1＞0$，函数图象开口向上，因此函数存在最小值，最小值为顶点的纵坐标$-4$。
(2) 对$y=1+6x-x^2$进行配方：
先整理为$y=-x^2+6x+1$，提取二次项系数得$y=-(x^2-6x)+1$，配方得：
$y=-(x^2-6x+9-9)+1=-(x-3)^2+9+1=-(x-3)^2+10$
二次项系数$a=-1＜0$，函数图象开口向下，因此函数存在最大值，最大值为顶点的纵坐标$10$。
【答案】
(1) 最小值是$\boldsymbol{-4}$；
(2) 最大值是$\boldsymbol{10}$。
【知识点】
二次函数的最值，配方法化顶点式，二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数最值的基础题型，核心是掌握配方法的操作以及开口方向和最值的对应关系，熟练后也可直接用顶点纵坐标公式快速求解最值。
【难度系数】
0.85
