1.如图,已知抛物线$y=ax^2 -x +c$与$x$轴相交于$A$,$B$两点,并与直线$y=x-2$交于$B$,$C$两点,其中点$C$是直线$y=x-2$与$y$轴的交点.
(1)求点$B$,点$C$的坐标.
(2)求抛物线的函数表达式.

1.解:(1)
∵直线$y=x-2$交$x$轴、$y$轴于$B$,$C$两点，
∴$B(2,0)$,$C(0,-2)$.
(2)
∵$y=ax^2 -x +c$过$B$,$C$两点，
将$B$,$C$坐标代入抛物线的解析式，
可求得$a=1$,$c=-2$.
∴抛物线的解析式为$y=x^2 -x -2$.

【分析】
(1) 求点B、C的坐标时，先明确两点的位置特征：点B是直线与x轴的交点，x轴上点的纵坐标恒为0，将y=0代入直线解析式即可求出点B的横坐标；点C是直线与y轴的交点，y轴上点的横坐标恒为0，将x=0代入直线解析式即可求出点C的纵坐标。
(2) 求抛物线的函数表达式时，已知抛物线解析式中只有a、c两个未知系数，且抛物线经过已求出坐标的B、C两点，将两点坐标分别代入抛物线解析式，得到关于a、c的二元一次方程组，解出a、c的值即可得到抛物线的表达式。
【解析】
(1)
∵直线$y=x-2$与x轴交于点B，x轴上的点纵坐标为0，
∴令$y=0$，则$0=x-2$，解得$x=2$，即$B(2,0)$。
∵直线$y=x-2$与y轴交于点C，y轴上的点横坐标为0，
∴令$x=0$，则$y=0-2=-2$，即$C(0,-2)$。
(2)
∵抛物线$y=ax^2 -x +c$经过$B(2,0)$、$C(0,-2)$两点，
将两点坐标分别代入解析式得：
$\begin{cases}0=4a -2 +c \\-2=c \end{cases}$
把$c=-2$代入第一个方程，得$0=4a-2-2$，解得$a=1$。
∴抛物线的函数表达式为$y=x^2 -x -2$。
【答案】
(1) $B(2,0)$，$C(0,-2)$；
(2) $y=x^2 -x -2$
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，主要考查坐标轴上点的坐标规律和待定系数法的应用，解题逻辑清晰，难度较低，掌握基础方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

2.二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的对称轴为直线 $ x=3 $，最小值为$-2$，且过$(0,1)$，求此二次函数的表达式.

2.解:
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=3$,最小值为$-2$,
∴二次函数的顶点坐标为$(3,-2)$.
设二次函数为$y=a(x-3)^2 -2$,
∵抛物线经过$(0,1)$,
∴$9a-2=1$,解得$a=\frac{1}{3}$.
∴此二次函数的表达式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2 -2$.

【分析】
本题要求二次函数的表达式，已知函数的对称轴和最小值，首先可直接得出二次函数的顶点坐标，此时选择顶点式求解会比一般式更简便。第一步先根据对称轴和最值确定顶点坐标，第二步设顶点式解析式，第三步将已知的过点坐标代入解析式求出未知系数$a$，最后整理得到最终表达式即可。
【解析】
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=3$，最小值为$-2$，
∴二次函数的顶点坐标为$(3,-2)$，
设该二次函数的顶点式为$y=a(x-3)^2 -2$（$a\ne0$），
∵抛物线经过点$(0,1)$，将$x=0$，$y=1$代入顶点式得：
$a(0-3)^2 -2=1$，即$9a-2=1$，
解得$a=\frac{1}{3}$，
∴此二次函数的表达式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2 -2$。
【答案】
$y=\frac{1}{3}(x-3)^2 -2$
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求解析式；二次函数的对称轴与最值
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础常考题，解题核心是根据已知条件选择最简便的解析式形式，本题给出对称轴和最值，选用顶点式可大幅减少计算量，同学们要熟练掌握不同已知条件对应的解析式选择方法。
【难度系数】
0.8