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变式训练3 | 如图是由5个全等的正方形组成的图案,请按下列要求画图:
(1)在图案(1)中添加1个正方形,使它成轴对称图形但不是中心对称图形;
(2)在图案(2)中添加1个正方形,使它成中心对称图形但不是轴对称图形;
(3)在图案(3)中添加1个正方形,使它既成轴对称图形,又成中心对称图形。
(1)在图案(1)中添加1个正方形,使它成轴对称图形但不是中心对称图形;
(2)在图案(2)中添加1个正方形,使它成中心对称图形但不是轴对称图形;
(3)在图案(3)中添加1个正方形,使它既成轴对称图形,又成中心对称图形。
答案
解:(1)如图2所示。(答案不唯一)(2)如图3所示。(3)如图4所示。
解析
【分析】
解题前先明确两个核心定义：①轴对称图形：沿一条直线折叠后，直线两侧的部分可以完全重合的图形；②中心对称图形：绕某一点旋转180°后，能与自身重合的图形。
针对三个小问分别思考：
(1) 要求添加后是轴对称、非中心对称：先确定一条对称轴，在能让整个图形沿该对称轴折叠重合的空缺位置添加正方形，同时保证添加后图形旋转180°无法与自身重合即可，画法不唯一。
(2) 要求添加后是中心对称、非轴对称：先确定图形的对称中心，找到与现有某个正方形关于该中心对称的空缺位置添加正方形，再验证此时图形不存在对称轴即可。
(3) 要求添加后同时满足两种对称性：添加的正方形既要让图形有至少一条对称轴，又要满足旋转180°后与自身重合即可。
【解析】
首先明确相关概念：
1. 轴对称图形：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。
2. 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能和原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形。
(1) 可任选满足“添加后图形有对称轴、旋转180°不与自身重合”的位置添加正方形，比如在图案(1)第二行第一个正方形的正下方添加即可，答案不唯一。
(2) 可任选满足“添加后图形旋转180°与自身重合、无对称轴”的位置添加正方形，比如在图案(2)第一行第一个正方形的左侧添加即可。
(3) 可任选满足“添加后图形既有对称轴、旋转180°也与自身重合”的位置添加正方形，比如在图案(3)最下方正方形的左侧添加即可。
【答案】
(1)如图2所示。(答案不唯一)
(2)如图3所示。
(3)如图4所示。
【知识点】
轴对称图形；中心对称图形；图案设计
【点评】
本题属于开放性作图题，核心考查对轴对称、中心对称图形概念的理解与运用，只要紧扣两个图形的定义尝试添加，就能得到符合要求的图案，能有效锻炼空间想象能力和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
解题前先明确两个核心定义：①轴对称图形：沿一条直线折叠后，直线两侧的部分可以完全重合的图形；②中心对称图形：绕某一点旋转180°后，能与自身重合的图形。
针对三个小问分别思考：
(1) 要求添加后是轴对称、非中心对称：先确定一条对称轴，在能让整个图形沿该对称轴折叠重合的空缺位置添加正方形，同时保证添加后图形旋转180°无法与自身重合即可，画法不唯一。
(2) 要求添加后是中心对称、非轴对称：先确定图形的对称中心，找到与现有某个正方形关于该中心对称的空缺位置添加正方形，再验证此时图形不存在对称轴即可。
(3) 要求添加后同时满足两种对称性：添加的正方形既要让图形有至少一条对称轴，又要满足旋转180°后与自身重合即可。
【解析】
首先明确相关概念：
1. 轴对称图形：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。
2. 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能和原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形。
(1) 可任选满足“添加后图形有对称轴、旋转180°不与自身重合”的位置添加正方形，比如在图案(1)第二行第一个正方形的正下方添加即可，答案不唯一。
(2) 可任选满足“添加后图形旋转180°与自身重合、无对称轴”的位置添加正方形，比如在图案(2)第一行第一个正方形的左侧添加即可。
(3) 可任选满足“添加后图形既有对称轴、旋转180°也与自身重合”的位置添加正方形，比如在图案(3)最下方正方形的左侧添加即可。
【答案】
(1)如图2所示。(答案不唯一)
(2)如图3所示。
(3)如图4所示。
【知识点】
轴对称图形；中心对称图形；图案设计
【点评】
本题属于开放性作图题，核心考查对轴对称、中心对称图形概念的理解与运用，只要紧扣两个图形的定义尝试添加，就能得到符合要求的图案，能有效锻炼空间想象能力和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
1. 下列图形中，不能通过基本图形平移得到的是（
B
）答案
1.B
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住平移的本质特征：平移只改变图形的位置，不会改变图形的形状、大小和方向。解题时只需逐个分析每个选项的图案，判断其是否可以由一个基本图形仅通过平移（不需要旋转、翻折）拼接得到即可。
【解析】
根据平移的性质：图形平移后，形状、大小、方向均保持不变，仅位置发生变化，逐一分析选项：
1. 选项A：基本图形为单个“C”形，3个“C”形的方向、形状、大小完全一致，仅位置沿水平方向依次平移，可通过基本图形平移得到；
2. 选项B：基本图形为单个菱形，图案中相邻菱形的方向不同，需要将基本图形旋转才能拼接成该图案，无法仅通过平移得到；
3. 选项C：基本图形为单个小正方形，4个小正方形的方向、形状、大小完全一致，仅位置分别沿水平、竖直方向平移，可通过基本图形平移得到；
4. 选项D：基本图形为单个曲面图形，各组成部分的方向、形状、大小完全一致，仅位置平移后可拼成该图案，可通过基本图形平移得到。
因此不能通过基本图形平移得到的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质；图案设计；平移的识别
【点评】
本题侧重考查平移性质的实际应用，判断时要抓住“平移不改变图形方向”这一核心要点，注意区分平移和旋转的特征，避免混淆。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是抓住平移的本质特征：平移只改变图形的位置，不会改变图形的形状、大小和方向。解题时只需逐个分析每个选项的图案，判断其是否可以由一个基本图形仅通过平移（不需要旋转、翻折）拼接得到即可。
【解析】
根据平移的性质：图形平移后，形状、大小、方向均保持不变，仅位置发生变化，逐一分析选项：
1. 选项A：基本图形为单个“C”形，3个“C”形的方向、形状、大小完全一致，仅位置沿水平方向依次平移，可通过基本图形平移得到；
2. 选项B：基本图形为单个菱形，图案中相邻菱形的方向不同，需要将基本图形旋转才能拼接成该图案，无法仅通过平移得到；
3. 选项C：基本图形为单个小正方形，4个小正方形的方向、形状、大小完全一致，仅位置分别沿水平、竖直方向平移，可通过基本图形平移得到；
4. 选项D：基本图形为单个曲面图形，各组成部分的方向、形状、大小完全一致，仅位置平移后可拼成该图案，可通过基本图形平移得到。
因此不能通过基本图形平移得到的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质；图案设计；平移的识别
【点评】
本题侧重考查平移性质的实际应用，判断时要抓住“平移不改变图形方向”这一核心要点，注意区分平移和旋转的特征，避免混淆。
【难度系数】
0.8
2.如图,有四个形状和大小相同的等腰三角形。下面的四个图形中,不能由这四个小三角形经过平移得到的是 (
C
) 答案
2.C
解析
【分析】解题时首先要回忆平移的核心性质：平移仅改变图形的位置，不会改变图形的形状、大小和自身的摆放方向，而旋转会改变图形的方向。我们只需要对比每个选项中小三角形的摆放方向和题干给出的小三角形是否一致，若存在方向不同的情况，说明该图形需要旋转才能得到，不能仅通过平移得到。
【解析】根据平移的性质可知，平移不改变图形的形状、大小和摆放方向，仅改变图形的位置。
观察题干中的4个等腰三角形，每个三角形的直角均位于外侧端点，斜边为最长边，各三角形的摆放角度固定：
选项A、B、D中的小三角形摆放方向均和题干给出的三角形一致，仅位置发生变化，可通过平移组合得到；
选项C中的小三角形直角均朝向图形中心，摆放方向和题干的三角形不同，必须经过旋转才能得到，无法仅通过平移得到。
因此本题选C。
【答案】C
【知识点】平移的性质；图案设计
【点评】本题解题的关键是明确平移和旋转的区别，牢记平移不会改变图形的朝向这一特点，就能快速判断出正确选项。
【难度系数】0.7
【解析】根据平移的性质可知，平移不改变图形的形状、大小和摆放方向，仅改变图形的位置。
观察题干中的4个等腰三角形，每个三角形的直角均位于外侧端点，斜边为最长边，各三角形的摆放角度固定：
选项A、B、D中的小三角形摆放方向均和题干给出的三角形一致，仅位置发生变化，可通过平移组合得到；
选项C中的小三角形直角均朝向图形中心，摆放方向和题干的三角形不同，必须经过旋转才能得到，无法仅通过平移得到。
因此本题选C。
【答案】C
【知识点】平移的性质；图案设计
【点评】本题解题的关键是明确平移和旋转的区别，牢记平移不会改变图形的朝向这一特点，就能快速判断出正确选项。
【难度系数】0.7
3.如图,以该图形的右侧边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转180°，
再按顺时针方向旋转180°,所得的图形是 (
再按顺时针方向旋转180°,所得的图形是 (
A
)答案
3.A
解析
【分析】
解题时需严格按照题目给定的变换顺序分步分析：首先明确第一次变换是轴对称变换，对称轴为图形右侧边缘所在直线，向右翻转180°本质是作原图形关于该对称轴的轴对称图形；第二次变换是旋转变换，旋转方向为顺时针、旋转角度为180°，旋转180°的特征是图形的上下、左右朝向均发生反转。也可以通过在草稿纸上手动模拟变换过程，直观得到变换后的图形再匹配选项。
【解析】
第一步：执行“以右侧边缘所在直线为轴向右翻转180°”操作，得到的图形与原图形关于右侧边缘所在直线成轴对称，此时原图形左右朝向反转，图案位于对称轴右侧，与原图形沿对称轴对称。
第二步：将翻转后得到的图形按顺时针方向旋转180°，根据旋转180°的性质，图形的上下、左右均颠倒，最终得到的图形和选项A完全一致。
【答案】
A
【知识点】
轴对称变换,旋转变换,图案设计
【点评】
本题考查图形变换的实际应用，解题核心是准确把握变换的先后顺序和每种变换的规则，通过动手模拟变换过程可以大幅降低解题难度。
【难度系数】
0.7
解题时需严格按照题目给定的变换顺序分步分析：首先明确第一次变换是轴对称变换，对称轴为图形右侧边缘所在直线，向右翻转180°本质是作原图形关于该对称轴的轴对称图形；第二次变换是旋转变换，旋转方向为顺时针、旋转角度为180°，旋转180°的特征是图形的上下、左右朝向均发生反转。也可以通过在草稿纸上手动模拟变换过程，直观得到变换后的图形再匹配选项。
【解析】
第一步：执行“以右侧边缘所在直线为轴向右翻转180°”操作，得到的图形与原图形关于右侧边缘所在直线成轴对称，此时原图形左右朝向反转，图案位于对称轴右侧，与原图形沿对称轴对称。
第二步：将翻转后得到的图形按顺时针方向旋转180°，根据旋转180°的性质，图形的上下、左右均颠倒，最终得到的图形和选项A完全一致。
【答案】
A
【知识点】
轴对称变换,旋转变换,图案设计
【点评】
本题考查图形变换的实际应用，解题核心是准确把握变换的先后顺序和每种变换的规则，通过动手模拟变换过程可以大幅降低解题难度。
【难度系数】
0.7
4. 风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，才能平稳旋转。如图，现有一个矩形硬纸板(其中心有一个小孔)和两张全等的矩形薄纸片，将纸片粘到硬纸板上，做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车，下列粘贴方法正确的是 （
A
）答案
4.A
解析
【分析】
解题前先明确题干的核心要求：粘贴后的整体图形需同时满足两个条件：1. 是中心对称图形（保证绕小孔旋转时平稳）；2. 不是轴对称图形，符合风车的设计要求。解题时首先回忆中心对称图形、轴对称图形的判定定义，再对每个选项依次从这两个维度判断即可：先排除不属于中心对称的选项，再从剩余选项中排除是轴对称图形的选项，最终得到正确答案。
【解析】
首先明确两个图形的定义：
1. 中心对称图形：平面内，将图形绕某一个点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合的图形；
2. 轴对称图形：平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。
对各选项逐一判断：
选项A：将图形绕硬纸板中心的小孔旋转180°后，能与自身完全重合，属于中心对称图形；且不存在任意一条直线，使图形沿直线折叠后两旁部分完全重合，不属于轴对称图形，完全符合题干要求。
其余选项：要么不属于中心对称图形，旋转时会出现受力不均无法平稳转动，要么同时是轴对称图形，不符合风车设计要求，均排除。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
中心对称图形，轴对称图形，图案设计
【点评】
本题结合生活中风车的设计场景，考查对中心对称和轴对称图形概念的掌握与实际应用能力，解题的关键是准确把握两个图形的判定标准，结合题干要求筛选符合条件的图案。
【难度系数】
0.8
解题前先明确题干的核心要求：粘贴后的整体图形需同时满足两个条件：1. 是中心对称图形（保证绕小孔旋转时平稳）；2. 不是轴对称图形，符合风车的设计要求。解题时首先回忆中心对称图形、轴对称图形的判定定义，再对每个选项依次从这两个维度判断即可：先排除不属于中心对称的选项，再从剩余选项中排除是轴对称图形的选项，最终得到正确答案。
【解析】
首先明确两个图形的定义：
1. 中心对称图形：平面内，将图形绕某一个点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合的图形；
2. 轴对称图形：平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。
对各选项逐一判断：
选项A：将图形绕硬纸板中心的小孔旋转180°后，能与自身完全重合，属于中心对称图形；且不存在任意一条直线，使图形沿直线折叠后两旁部分完全重合，不属于轴对称图形，完全符合题干要求。
其余选项：要么不属于中心对称图形，旋转时会出现受力不均无法平稳转动，要么同时是轴对称图形，不符合风车设计要求，均排除。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
中心对称图形，轴对称图形，图案设计
【点评】
本题结合生活中风车的设计场景，考查对中心对称和轴对称图形概念的掌握与实际应用能力，解题的关键是准确把握两个图形的判定标准，结合题干要求筛选符合条件的图案。
【难度系数】
0.8
5.右面的组合图案可以看作由一个正方形和正方形内通过一个“基本图案”半圆进行图形的“运动”变换而组成的，这个半圆的变换方式是
旋转
。答案
5.旋转
解析
【分析】
首先回忆常见的图形运动变换类型：平移、旋转、轴对称，明确各类变换的特征：平移是图形沿固定方向移动固定距离，变换后图形方向不变；轴对称是图形沿直线翻折180°得到新图形；旋转是图形绕某一定点转动一定角度，变换后图形方向随转动变化。再观察题中图案，基本图案为半圆，四个半圆朝向各不相同，均围绕正方形中心分布，符合旋转的特征，因此可判断变换方式为旋转。
【解析】
观察组合图案可知，基本图案为半圆，四个半圆以正方形的中心为旋转中心，将单个半圆分别旋转90°、180°、270°后即可得到全部四个半圆，共同组成题中的组合图案，因此该半圆的变换方式是旋转。
【答案】
旋转
【知识点】
图形的旋转、图案设计
【点评】
本题考查常见图形变换方式的区分，解题核心是熟练掌握各类图形变换的特点，结合图案结构特征判断即可。
【难度系数】
0.9
首先回忆常见的图形运动变换类型：平移、旋转、轴对称，明确各类变换的特征：平移是图形沿固定方向移动固定距离，变换后图形方向不变；轴对称是图形沿直线翻折180°得到新图形；旋转是图形绕某一定点转动一定角度，变换后图形方向随转动变化。再观察题中图案，基本图案为半圆，四个半圆朝向各不相同，均围绕正方形中心分布，符合旋转的特征，因此可判断变换方式为旋转。
【解析】
观察组合图案可知，基本图案为半圆，四个半圆以正方形的中心为旋转中心，将单个半圆分别旋转90°、180°、270°后即可得到全部四个半圆，共同组成题中的组合图案，因此该半圆的变换方式是旋转。
【答案】
旋转
【知识点】
图形的旋转、图案设计
【点评】
本题考查常见图形变换方式的区分，解题核心是熟练掌握各类图形变换的特点，结合图案结构特征判断即可。
【难度系数】
0.9
6.如图,第3个图案可以看成基本图案
[图5]
（画出示意图）绕中心每次旋转$60°$,旋转5
次得到的;也可以看成第1个基本图案绕中心每次旋转120°
,旋转2
次得到的;还可以看成第2个基本图案绕中心旋转180°
得到的。答案
6.
5 120° 2 180°解析
【分析】
解题时先观察各图案的构成：第3个图案由6个全等的菱形组成，周角为360°。首先确定最小基本图案是单个菱形，若每次旋转60°，总共有6个菱形位置，旋转次数为总个数减1（初始已存在1个基本图案）；再看第1个图案含2个菱形，对应中心角为2×60°=120°，因此每次旋转角度为120°，总组数为3组，旋转次数为组数减1；最后第2个图案含3个菱形，对应中心角为3×60°=180°，总组数为2组，旋转1次即可得到完整图案。
【解析】
1. 第3个图案由6个全等的单个菱形（即）组成，周角为360°，每次旋转60°，初始已有1个基本图案，因此需要旋转$6-1=5$次。
2. 第1个图案含2个菱形，两个菱形对应的中心角为$2×60°=120°$，因此每次旋转120°，总共需要3组该图案组成第3个图案，因此旋转次数为$3-1=2$次。
3. 第2个图案含3个菱形，三个菱形对应的中心角为$3×60°=180°$，总共需要2组该图案组成第3个图案，因此旋转1次180°即可得到。
【答案】
5 120° 2 180°
【知识点】
旋转的性质，简单图案设计，周角的特征
【点评】
本题考查图形旋转在图案设计中的应用，解题关键是明确基本图案对应的中心角度数，注意旋转次数为基本图案的总组数减1，不要误将组数当作旋转次数。
【难度系数】
0.7
解题时先观察各图案的构成：第3个图案由6个全等的菱形组成，周角为360°。首先确定最小基本图案是单个菱形，若每次旋转60°，总共有6个菱形位置，旋转次数为总个数减1（初始已存在1个基本图案）；再看第1个图案含2个菱形，对应中心角为2×60°=120°，因此每次旋转角度为120°，总组数为3组，旋转次数为组数减1；最后第2个图案含3个菱形，对应中心角为3×60°=180°，总组数为2组，旋转1次即可得到完整图案。
【解析】
1. 第3个图案由6个全等的单个菱形（即
）组成，周角为360°，每次旋转60°，初始已有1个基本图案，因此需要旋转$6-1=5$次。2. 第1个图案含2个菱形，两个菱形对应的中心角为$2×60°=120°$，因此每次旋转120°，总共需要3组该图案组成第3个图案，因此旋转次数为$3-1=2$次。
3. 第2个图案含3个菱形，三个菱形对应的中心角为$3×60°=180°$，总共需要2组该图案组成第3个图案，因此旋转1次180°即可得到。
【答案】
5 120° 2 180°【知识点】
旋转的性质，简单图案设计，周角的特征
【点评】
本题考查图形旋转在图案设计中的应用，解题关键是明确基本图案对应的中心角度数，注意旋转次数为基本图案的总组数减1，不要误将组数当作旋转次数。
【难度系数】
0.7
