登录
8. 如图，在$□ ABCD$中，点E在AB上，$AE:EB=1:2$，连接DE交对角线AC于点F。
(1)求$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}$；
(2)若$△ AEF$的面积为$6\ \mathrm{cm}^2$，求四边形BCFE的面积。
(1)求$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}$；
(2)若$△ AEF$的面积为$6\ \mathrm{cm}^2$，求四边形BCFE的面积。
答案
8.解:(1)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore CD=AB,AB// CD$，
$\therefore ∠ AEF=∠ CDF,∠ EAF=∠ DCF$，
$\therefore △ AEF∽△ CDF$。
$\because AE:EB=1:2$，
$\therefore AE:AB=1:3$，
$\therefore AE:CD=1:3$，
$\therefore \frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}=(\frac{AE}{CD})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
(2)$\because △ AEF∽△ CDF,\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}=\frac{1}{9},AE:CD=1:3$，
$\therefore EF:DF=1:3,\therefore \frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ADF}}=\frac{1}{3}$。
$\because S_{△ AEF}=6\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore \frac{6}{S_{△ ADF}}=\frac{1}{3},\frac{6}{S_{△ CDF}}=\frac{1}{9}$，
$\therefore S_{△ ADF}=18,S_{△ CDF}=54$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}BCFE}=S_{□ ABCD}-S_{△ ADF}-S_{△ AEF}-S_{△ CDF}=2×(18+54)-18-6-54=66(\mathrm{cm}^2)$，
$\therefore$四边形$BCFE$的面积为$66\ \mathrm{cm}^2$。
$\therefore CD=AB,AB// CD$，
$\therefore ∠ AEF=∠ CDF,∠ EAF=∠ DCF$，
$\therefore △ AEF∽△ CDF$。
$\because AE:EB=1:2$，
$\therefore AE:AB=1:3$，
$\therefore AE:CD=1:3$，
$\therefore \frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}=(\frac{AE}{CD})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
(2)$\because △ AEF∽△ CDF,\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}=\frac{1}{9},AE:CD=1:3$，
$\therefore EF:DF=1:3,\therefore \frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ADF}}=\frac{1}{3}$。
$\because S_{△ AEF}=6\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore \frac{6}{S_{△ ADF}}=\frac{1}{3},\frac{6}{S_{△ CDF}}=\frac{1}{9}$，
$\therefore S_{△ ADF}=18,S_{△ CDF}=54$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}BCFE}=S_{□ ABCD}-S_{△ ADF}-S_{△ AEF}-S_{△ CDF}=2×(18+54)-18-6-54=66(\mathrm{cm}^2)$，
$\therefore$四边形$BCFE$的面积为$66\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
(1)求解两个三角形的面积比，首先结合平行四边形对边平行且相等的性质，可证△AEF与△CDF相似；再由AE:EB=1:2推出AE与CD的相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得出结果。
(2)已知△AEF的面积，先根据第一问的面积比求出△CDF的面积；再利用△AEF和△ADF同高，面积比等于对应底EF、DF的比值，求出△ADF的面积；进而得到△ACD的面积，推出平行四边形ABCD的总面积，最后用总面积减去已知的三个三角形的面积，即可得到四边形BCFE的面积。
【解析】
(1)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore CD=AB,AB// CD$，
$\therefore ∠AEF=∠CDF,∠EAF=∠DCF$，
$\therefore △AEF∽△CDF$。
$\because AE:EB=1:2$，
$\therefore AE:AB=1:3$，
$\therefore AE:CD=1:3$，
$\therefore \frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}=(\frac{AE}{CD})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
(2)$\because △AEF∽△CDF,\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}=\frac{1}{9},AE:CD=1:3$，
$\therefore EF:DF=1:3,\therefore \frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ADF}}=\frac{1}{3}$。
$\because S_{△ AEF}=6\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore \frac{6}{S_{△ ADF}}=\frac{1}{3},\frac{6}{S_{△ CDF}}=\frac{1}{9}$，
$\therefore S_{△ ADF}=18\ \mathrm{cm}^2,S_{△ CDF}=54\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore S_{□ ABCD}=2S_{△ ACD}=2×(S_{△ ADF}+S_{△ CDF})=2×(18+54)=144\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}BCFE}=S_{□ ABCD}-S_{△ ADF}-S_{△ AEF}-S_{△ CDF}=144-18-6-54=66(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1)$\frac{1}{9}$；(2)$66\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、同高三角形面积规律
【点评】
本题是相似三角形性质的常规应用题型，解题关键是先结合平行四边形性质找到相似三角形，再灵活运用相似三角形的面积比规律、同高三角形的面积与底的关系逐步推导，侧重考查基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1)求解两个三角形的面积比，首先结合平行四边形对边平行且相等的性质，可证△AEF与△CDF相似；再由AE:EB=1:2推出AE与CD的相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得出结果。
(2)已知△AEF的面积，先根据第一问的面积比求出△CDF的面积；再利用△AEF和△ADF同高，面积比等于对应底EF、DF的比值，求出△ADF的面积；进而得到△ACD的面积，推出平行四边形ABCD的总面积，最后用总面积减去已知的三个三角形的面积，即可得到四边形BCFE的面积。
【解析】
(1)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore CD=AB,AB// CD$，
$\therefore ∠AEF=∠CDF,∠EAF=∠DCF$，
$\therefore △AEF∽△CDF$。
$\because AE:EB=1:2$，
$\therefore AE:AB=1:3$，
$\therefore AE:CD=1:3$，
$\therefore \frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}=(\frac{AE}{CD})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
(2)$\because △AEF∽△CDF,\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}=\frac{1}{9},AE:CD=1:3$，
$\therefore EF:DF=1:3,\therefore \frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ADF}}=\frac{1}{3}$。
$\because S_{△ AEF}=6\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore \frac{6}{S_{△ ADF}}=\frac{1}{3},\frac{6}{S_{△ CDF}}=\frac{1}{9}$，
$\therefore S_{△ ADF}=18\ \mathrm{cm}^2,S_{△ CDF}=54\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore S_{□ ABCD}=2S_{△ ACD}=2×(S_{△ ADF}+S_{△ CDF})=2×(18+54)=144\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}BCFE}=S_{□ ABCD}-S_{△ ADF}-S_{△ AEF}-S_{△ CDF}=144-18-6-54=66(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1)$\frac{1}{9}$；(2)$66\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、同高三角形面积规律
【点评】
本题是相似三角形性质的常规应用题型，解题关键是先结合平行四边形性质找到相似三角形，再灵活运用相似三角形的面积比规律、同高三角形的面积与底的关系逐步推导，侧重考查基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
9. 在△ABC中，∠ACB=90°, AC=BC=6, D是边AB上一点，F是边BC上一点，E是边AC上一点，∠EDF=45°。
(1)如图①,若点E与点C重合, BD=3AD,求△ACD与△BDF的周长比；
(2)如图②,若AE=2CE, $\frac{S_{△ AED}}{S_{△ BDF}}=\frac{16}{49}$, 求$\frac{AD}{BD}$的值。
(1)如图①,若点E与点C重合, BD=3AD,求△ACD与△BDF的周长比；
(2)如图②,若AE=2CE, $\frac{S_{△ AED}}{S_{△ BDF}}=\frac{16}{49}$, 求$\frac{AD}{BD}$的值。
答案
9.解:(1)$\because ∠ ACB=90°,AC=BC=6$，
$\therefore ∠ A = ∠ B = 45°, AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
$\because BD=3AD$，
$\therefore BD=\frac{3}{4}AB=\frac{3}{4}×6\sqrt{2}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$。
$\because ∠ A=∠ CDF=45°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ CDA=∠ BDF+∠ CDA$，
$\therefore ∠ ACD=∠ BDF$，
$\therefore △ ACD∽△ BDF$，
$\because \frac{△ ACD的周长}{△ BDF的周长}=\frac{AC}{BD}=\frac{6}{\frac{9\sqrt{2}}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
即$△ ACD$与$△ DBF$的周长比是$2\sqrt{2}:3$。
(2)由(1)得$∠ A=∠ B=45°,AB=6\sqrt{2}$。
$\because ∠ A=∠ EDF=45°$，
$\therefore ∠ AED+∠ EDA=∠ BDF+∠ EDA$，
$\therefore ∠ AED=∠ BDF$，
$\therefore △ AED∽△ BDF$。
$\because AE=2CE,AE+CE=AC=6$，
$\therefore AE=4$。
$\because \frac{S_{△ AED}}{S_{△ BDF}}=\frac{16}{49}$，
$\therefore (\frac{AE}{BD})^2=\frac{16}{49}$，
$\therefore BD=7$，
$\therefore AD=AB-BD=6\sqrt{2}-7$，
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{6\sqrt{2}-7}{7}$。
$\therefore ∠ A = ∠ B = 45°, AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
$\because BD=3AD$，
$\therefore BD=\frac{3}{4}AB=\frac{3}{4}×6\sqrt{2}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$。
$\because ∠ A=∠ CDF=45°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ CDA=∠ BDF+∠ CDA$，
$\therefore ∠ ACD=∠ BDF$，
$\therefore △ ACD∽△ BDF$，
$\because \frac{△ ACD的周长}{△ BDF的周长}=\frac{AC}{BD}=\frac{6}{\frac{9\sqrt{2}}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
即$△ ACD$与$△ DBF$的周长比是$2\sqrt{2}:3$。
(2)由(1)得$∠ A=∠ B=45°,AB=6\sqrt{2}$。
$\because ∠ A=∠ EDF=45°$，
$\therefore ∠ AED+∠ EDA=∠ BDF+∠ EDA$，
$\therefore ∠ AED=∠ BDF$，
$\therefore △ AED∽△ BDF$。
$\because AE=2CE,AE+CE=AC=6$，
$\therefore AE=4$。
$\because \frac{S_{△ AED}}{S_{△ BDF}}=\frac{16}{49}$，
$\therefore (\frac{AE}{BD})^2=\frac{16}{49}$，
$\therefore BD=7$，
$\therefore AD=AB-BD=6\sqrt{2}-7$，
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{6\sqrt{2}-7}{7}$。
解析
【分析】
(1) 首先根据△ABC是等腰直角三角形的性质，求解出∠A、∠B的度数和AB的总长度，再结合BD=3AD的关系算出BD的长度；之后通过角度推导得到∠ACD=∠BDF，结合∠A=∠B=45°证明△ACD与△BDF相似，最后利用相似三角形周长比等于相似比的性质计算周长比即可。
(2) 先沿用(1)的结论得到∠A=∠B=45°，通过角度推导得到∠AED=∠BDF，证明△AED与△BDF相似；再根据AE=2CE的关系求出AE的长度，结合相似三角形面积比是相似比的平方的性质，利用已知面积比求出BD的长度，最后计算AD长度即可得到AD与BD的比值。
【解析】
(1) $\because ∠ ACB=90°, AC=BC=6$，
$\therefore ∠ A = ∠ B = 45°, AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
$\because BD=3AD$，
$\therefore BD=\frac{3}{4}AB=\frac{3}{4}×6\sqrt{2}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$。
$\because ∠ A=∠ CDF=45°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ CDA=180°-∠A=135°，∠ BDF+∠ CDA=180°-∠CDF=135°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ BDF$，
又$\because ∠A=∠B=45°$，
$\therefore △ ACD∽△ BDF$，
$\therefore \frac{△ ACD的周长}{△ BDF的周长}=\frac{AC}{BD}=\frac{6}{\frac{9\sqrt{2}}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
(2) 由(1)得$∠ A=∠ B=45°,AB=6\sqrt{2}$。
$\because ∠ A=∠ EDF=45°$，
$\therefore ∠ AED+∠ EDA=180°-∠A=135°，∠ BDF+∠ EDA=180°-∠EDF=135°$，
$\therefore ∠ AED=∠ BDF$，
又$\because ∠A=∠B=45°$，
$\therefore △ AED∽△ BDF$。
$\because AE=2CE,AE+CE=AC=6$，
$\therefore AE=4$。
$\because \frac{S_{△ AED}}{S_{△ BDF}}=\frac{16}{49}$，相似三角形面积比为相似比的平方，
$\therefore (\frac{AE}{BD})^2=\frac{16}{49}$，取正值得$\frac{AE}{BD}=\frac{4}{7}$，代入$AE=4$得$BD=7$，
$\therefore AD=AB-BD=6\sqrt{2}-7$，
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{6\sqrt{2}-7}{7}$。
【答案】
(1) $2\sqrt{2}:3$；(2) $\dfrac{6\sqrt{2}-7}{7}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合应用题，解题关键是通过角度关系推导得到两组对应角相等，从而证明三角形相似，再结合相似三角形的性质转化边长、周长、面积的关系，对学生的角度分析能力和相似性质的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据△ABC是等腰直角三角形的性质，求解出∠A、∠B的度数和AB的总长度，再结合BD=3AD的关系算出BD的长度；之后通过角度推导得到∠ACD=∠BDF，结合∠A=∠B=45°证明△ACD与△BDF相似，最后利用相似三角形周长比等于相似比的性质计算周长比即可。
(2) 先沿用(1)的结论得到∠A=∠B=45°，通过角度推导得到∠AED=∠BDF，证明△AED与△BDF相似；再根据AE=2CE的关系求出AE的长度，结合相似三角形面积比是相似比的平方的性质，利用已知面积比求出BD的长度，最后计算AD长度即可得到AD与BD的比值。
【解析】
(1) $\because ∠ ACB=90°, AC=BC=6$，
$\therefore ∠ A = ∠ B = 45°, AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
$\because BD=3AD$，
$\therefore BD=\frac{3}{4}AB=\frac{3}{4}×6\sqrt{2}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$。
$\because ∠ A=∠ CDF=45°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ CDA=180°-∠A=135°，∠ BDF+∠ CDA=180°-∠CDF=135°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ BDF$，
又$\because ∠A=∠B=45°$，
$\therefore △ ACD∽△ BDF$，
$\therefore \frac{△ ACD的周长}{△ BDF的周长}=\frac{AC}{BD}=\frac{6}{\frac{9\sqrt{2}}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
(2) 由(1)得$∠ A=∠ B=45°,AB=6\sqrt{2}$。
$\because ∠ A=∠ EDF=45°$，
$\therefore ∠ AED+∠ EDA=180°-∠A=135°，∠ BDF+∠ EDA=180°-∠EDF=135°$，
$\therefore ∠ AED=∠ BDF$，
又$\because ∠A=∠B=45°$，
$\therefore △ AED∽△ BDF$。
$\because AE=2CE,AE+CE=AC=6$，
$\therefore AE=4$。
$\because \frac{S_{△ AED}}{S_{△ BDF}}=\frac{16}{49}$，相似三角形面积比为相似比的平方，
$\therefore (\frac{AE}{BD})^2=\frac{16}{49}$，取正值得$\frac{AE}{BD}=\frac{4}{7}$，代入$AE=4$得$BD=7$，
$\therefore AD=AB-BD=6\sqrt{2}-7$，
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{6\sqrt{2}-7}{7}$。
【答案】
(1) $2\sqrt{2}:3$；(2) $\dfrac{6\sqrt{2}-7}{7}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合应用题，解题关键是通过角度关系推导得到两组对应角相等，从而证明三角形相似，再结合相似三角形的性质转化边长、周长、面积的关系，对学生的角度分析能力和相似性质的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
