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3. 如图,在$△ ABC$中,P是边BC上一点,按以下步骤作图:①以点B为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB,BC于点E,F;②以点P为圆心,BE长为半径作弧,交PC于点$F'$;③以点$F'$为圆心,EF长为半径作弧,在$∠ ACB$内部交前面的弧于点$E'$;④连接$PE'$交AC于点Q。若$\frac{CP}{BP}=\frac{3}{5}$,则$△ CPQ$与四边形ABPQ的面积比为(
A.$\frac{9}{16}$
B.$\frac{9}{25}$
C.$\frac{9}{55}$
D.$\frac{9}{64}$
C
)。A.$\frac{9}{16}$
B.$\frac{9}{25}$
C.$\frac{9}{55}$
D.$\frac{9}{64}$
答案
3.C
解析
【分析】
首先根据尺规作图的步骤，判断出所作的∠QPC与∠B相等，依据同位角相等两直线平行，得到PQ//AB，进而推出△CPQ与△CBA相似；再结合已知的CP与BP的比例，求出两个相似三角形的相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，算出△CPQ与△ABC的面积比，最后用△ABC的面积减去△CPQ的面积得到四边形ABPQ的面积，即可求出二者的比值。
【解析】
1. 由尺规作图的操作可得：$∠ QPC=∠ B$，
根据“同位角相等，两直线平行”，得$PQ// AB$，
根据“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，得$△ CPQ ∽ △ CBA$。
2. 已知$\frac{CP}{BP}=\frac{3}{5}$，设$CP=3k$，$BP=5k$（$k＞0$），则$BC=CP+BP=8k$，
因此两个相似三角形的相似比为$\frac{CP}{CB}=\frac{3k}{8k}=\frac{3}{8}$。
3. 根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
可得$\frac{S_{△ CPQ}}{S_{△ CBA}}=(\frac{3}{8})^2=\frac{9}{64}$。
设$S_{△ CPQ}=9a$（$a＞0$），则$S_{△ CBA}=64a$，
因此四边形ABPQ的面积为$S_{四边形ABPQ}=S_{△ CBA}-S_{△ CPQ}=64a-9a=55a$，
故$\frac{S_{△ CPQ}}{S_{四边形ABPQ}}=\frac{9a}{55a}=\frac{9}{55}$。
【答案】
C
【知识点】
尺规作图作等角，相似三角形判定，相似三角形性质
【点评】
本题综合考查尺规作图的识别和相似三角形的相关应用，解题的关键是正确通过作图特征判断出平行线，进而得到相似三角形，再结合相似三角形的面积比规律计算即可。
【难度系数】
0.6
首先根据尺规作图的步骤，判断出所作的∠QPC与∠B相等，依据同位角相等两直线平行，得到PQ//AB，进而推出△CPQ与△CBA相似；再结合已知的CP与BP的比例，求出两个相似三角形的相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，算出△CPQ与△ABC的面积比，最后用△ABC的面积减去△CPQ的面积得到四边形ABPQ的面积，即可求出二者的比值。
【解析】
1. 由尺规作图的操作可得：$∠ QPC=∠ B$，
根据“同位角相等，两直线平行”，得$PQ// AB$，
根据“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，得$△ CPQ ∽ △ CBA$。
2. 已知$\frac{CP}{BP}=\frac{3}{5}$，设$CP=3k$，$BP=5k$（$k＞0$），则$BC=CP+BP=8k$，
因此两个相似三角形的相似比为$\frac{CP}{CB}=\frac{3k}{8k}=\frac{3}{8}$。
3. 根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
可得$\frac{S_{△ CPQ}}{S_{△ CBA}}=(\frac{3}{8})^2=\frac{9}{64}$。
设$S_{△ CPQ}=9a$（$a＞0$），则$S_{△ CBA}=64a$，
因此四边形ABPQ的面积为$S_{四边形ABPQ}=S_{△ CBA}-S_{△ CPQ}=64a-9a=55a$，
故$\frac{S_{△ CPQ}}{S_{四边形ABPQ}}=\frac{9a}{55a}=\frac{9}{55}$。
【答案】
C
【知识点】
尺规作图作等角，相似三角形判定，相似三角形性质
【点评】
本题综合考查尺规作图的识别和相似三角形的相关应用，解题的关键是正确通过作图特征判断出平行线，进而得到相似三角形，再结合相似三角形的面积比规律计算即可。
【难度系数】
0.6
4. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$在$BC$上，且$∠ B=∠ BAD$，若$∠ BAC=120°$，则$\frac{△ ABD的周长}{△ ABC的周长}=$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
。答案
4.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
首先利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，求出底角∠B、∠C的度数；再结合∠B=∠BAD推出AD=BD，通过角度计算得到△ADC是含30°角的直角三角形；之后设参数表示各边长度，分别计算两个三角形的周长，约去公共因子后化简得到比值即可。
【解析】
解：
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=120°$
∴ $∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ BAC}{2}=30°$
又
∵ $∠ B=∠ BAD=30°$
∴ $AD=BD$，$∠ ADC=∠ B+∠ BAD=60°$
∴ $∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD=120°-30°=90°$，即$△ ADC$为直角三角形
设$AD=BD=x$，在$Rt△ ADC$中，$∠ C=30°$，故$DC=2AD=2x$
由勾股定理得：$AC=\sqrt{DC^2-AD^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$
∴ $AB=AC=\sqrt{3}x$，$BC=BD+DC=x+2x=3x$
计算周长：
$C_{△ ABD}=AB+BD+AD=\sqrt{3}x+x+x=(2+\sqrt{3})x$
$C_{△ ABC}=AB+AC+BC=\sqrt{3}x+\sqrt{3}x+3x=(2\sqrt{3}+3)x=\sqrt{3}(2+\sqrt{3})x$
因此比值为：
$\frac{C_{△ ABD}}{C_{△ ABC}}=\frac{(2+\sqrt{3})x}{\sqrt{3}(2+\sqrt{3})x}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考察了等腰三角形、直角三角形的核心性质，解题的关键是通过角度推导得到直角三角形，设参数表示边长后可约去公共因子简化计算，注意最后结果要将二次根式化为最简形式。
【难度系数】
0.6
首先利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，求出底角∠B、∠C的度数；再结合∠B=∠BAD推出AD=BD，通过角度计算得到△ADC是含30°角的直角三角形；之后设参数表示各边长度，分别计算两个三角形的周长，约去公共因子后化简得到比值即可。
【解析】
解：
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=120°$
∴ $∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ BAC}{2}=30°$
又
∵ $∠ B=∠ BAD=30°$
∴ $AD=BD$，$∠ ADC=∠ B+∠ BAD=60°$
∴ $∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD=120°-30°=90°$，即$△ ADC$为直角三角形
设$AD=BD=x$，在$Rt△ ADC$中，$∠ C=30°$，故$DC=2AD=2x$
由勾股定理得：$AC=\sqrt{DC^2-AD^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$
∴ $AB=AC=\sqrt{3}x$，$BC=BD+DC=x+2x=3x$
计算周长：
$C_{△ ABD}=AB+BD+AD=\sqrt{3}x+x+x=(2+\sqrt{3})x$
$C_{△ ABC}=AB+AC+BC=\sqrt{3}x+\sqrt{3}x+3x=(2\sqrt{3}+3)x=\sqrt{3}(2+\sqrt{3})x$
因此比值为：
$\frac{C_{△ ABD}}{C_{△ ABC}}=\frac{(2+\sqrt{3})x}{\sqrt{3}(2+\sqrt{3})x}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考察了等腰三角形、直角三角形的核心性质，解题的关键是通过角度推导得到直角三角形，设参数表示边长后可约去公共因子简化计算，注意最后结果要将二次根式化为最简形式。
【难度系数】
0.6
5. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，棱长为1的立方体表面展开图有两条边分别在AC，BC上，有两个顶点在斜边AB上，则$Rt△ ABC$的面积为
16
。答案
5.16
解析
【分析】
本题可利用相似三角形的性质求解，解题思路如下：首先，已知小正方形边长为1，观察图形可得斜边上的两个顶点分别与直角边构成两个小直角三角形，二者均与大$Rt△ABC$相似；第一步先根据上方小三角形与大三角形的相似关系，推导得到AC和BC的倍数关系；第二步再根据下方小三角形与大三角形的相似关系，代入倍数关系求出BC、AC的长度；最后代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
设小正方形的边长为1，$BC=x$，$AC=y$。
1. 上方顶点在AB上的小三角形与$Rt△ABC$相似，它的竖直直角边长为1，水平直角边长为2，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{2}{y}=\frac{1}{x}$，化简得$y=2x$。
2. 下方顶点在AB上的小三角形与$Rt△ABC$相似，它的竖直直角边长为2，水平直角边长为$y-4$，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{2}{x}=\frac{y-4}{y}$。
3. 将$y=2x$代入上式：
$\frac{2}{x}=\frac{2x-4}{2x}$，右边约分得$\frac{x-2}{x}$，因此$2=x-2$，解得$x=4$，则$y=2x=8$。
4. 所以$Rt△ABC$的面积为：$S=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×8×4=16$。
【答案】
16
【知识点】
相似三角形的性质，直角三角形面积计算，比例方程求解
【点评】
本题将立方体表面展开图与相似三角形知识结合，考查学生的图形识别能力和相似性质的应用能力，解题的核心是找准相似三角形的对应边长，建立比例关系求解直角边长度。
【难度系数】
0.6
本题可利用相似三角形的性质求解，解题思路如下：首先，已知小正方形边长为1，观察图形可得斜边上的两个顶点分别与直角边构成两个小直角三角形，二者均与大$Rt△ABC$相似；第一步先根据上方小三角形与大三角形的相似关系，推导得到AC和BC的倍数关系；第二步再根据下方小三角形与大三角形的相似关系，代入倍数关系求出BC、AC的长度；最后代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
设小正方形的边长为1，$BC=x$，$AC=y$。
1. 上方顶点在AB上的小三角形与$Rt△ABC$相似，它的竖直直角边长为1，水平直角边长为2，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{2}{y}=\frac{1}{x}$，化简得$y=2x$。
2. 下方顶点在AB上的小三角形与$Rt△ABC$相似，它的竖直直角边长为2，水平直角边长为$y-4$，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{2}{x}=\frac{y-4}{y}$。
3. 将$y=2x$代入上式：
$\frac{2}{x}=\frac{2x-4}{2x}$，右边约分得$\frac{x-2}{x}$，因此$2=x-2$，解得$x=4$，则$y=2x=8$。
4. 所以$Rt△ABC$的面积为：$S=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×8×4=16$。
【答案】
16
【知识点】
相似三角形的性质，直角三角形面积计算，比例方程求解
【点评】
本题将立方体表面展开图与相似三角形知识结合，考查学生的图形识别能力和相似性质的应用能力，解题的核心是找准相似三角形的对应边长，建立比例关系求解直角边长度。
【难度系数】
0.6
6. 如图，将矩形纸片放在等边三角形ABC上，EH//BC，AB被点E，F三等分，若三角形被覆盖的面积为18，则四边形BCGF的面积为
30
。答案
6.30
解析
【分析】首先由矩形对边平行的性质可得EH//FG，结合已知EH//BC，可推出△AEH、△AFG、△ABC两两相似。由AB被E、F三等分可得三个三角形的相似比为1:2:3，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得到三个三角形的面积比为1:4:9。被覆盖的面积是△AFG与△AEH的面积差，据此可求出每份面积的大小，再用△ABC的面积减去△AFG的面积即可得到四边形BCGF的面积。
【解析】
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH//FG，
又
∵EH//BC，
∴EH//FG//BC，
∴$△ AEH ∽ △ AFG ∽ △ ABC$，
∵AB被点E，F三等分，
∴$AE:AF:AB=1:2:3$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得：
$S_{△ AEH}:S_{△ AFG}:S_{△ ABC}=1^2:2^2:3^2=1:4:9$，
设$S_{△ AEH}=k$，则$S_{△ AFG}=4k$，$S_{△ ABC}=9k$，
由题意得被覆盖的面积为$S_{△ AFG}-S_{△ AEH}=4k -k=3k=18$，
解得$k=6$，
∴四边形BCGF的面积为$S_{△ ABC}-S_{△ AFG}=9k -4k=5k=5×6=30$。
【答案】30
【知识点】相似三角形的性质，矩形的性质，平行线判定相似
【点评】本题核心是利用相似三角形的面积比与相似比的关系求解，通过设份数的方法可以快速建立面积和已知条件的联系，简化计算过程。
【难度系数】0.7
【解析】
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH//FG，
又
∵EH//BC，
∴EH//FG//BC，
∴$△ AEH ∽ △ AFG ∽ △ ABC$，
∵AB被点E，F三等分，
∴$AE:AF:AB=1:2:3$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得：
$S_{△ AEH}:S_{△ AFG}:S_{△ ABC}=1^2:2^2:3^2=1:4:9$，
设$S_{△ AEH}=k$，则$S_{△ AFG}=4k$，$S_{△ ABC}=9k$，
由题意得被覆盖的面积为$S_{△ AFG}-S_{△ AEH}=4k -k=3k=18$，
解得$k=6$，
∴四边形BCGF的面积为$S_{△ ABC}-S_{△ AFG}=9k -4k=5k=5×6=30$。
【答案】30
【知识点】相似三角形的性质，矩形的性质，平行线判定相似
【点评】本题核心是利用相似三角形的面积比与相似比的关系求解，通过设份数的方法可以快速建立面积和已知条件的联系，简化计算过程。
【难度系数】0.7
7. 如图,纸片ABCD为矩形,沿BE折叠△CBE得到△FBE,F是AD的中点,且△ABF∽△CBE。
(1)求$\frac{FE}{BF}$；
(2)求$\frac{S_{△ DFE}}{S_{△ CBE}}$。
(1)求$\frac{FE}{BF}$；
(2)求$\frac{S_{△ DFE}}{S_{△ CBE}}$。
答案
7.解:(1)$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore ∠ A=∠ C=∠ D=∠ ABC=90°$。
$\because$沿$BE$折叠$△ BCE$得到$△ BFE$，
$\therefore △ CBE≌△ FBE$，
$\therefore ∠ CBE=∠ FBE,∠ BFE=∠ C=90°$。
$\because △ ABF∽△ CBE$，
$\therefore ∠ ABF=∠ CBE$，
$\therefore ∠ ABF=∠ CBE=∠ FBE=\frac{1}{3}∠ ABC=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中,$AF=\frac{1}{2}BF$，
$\therefore BF=2AF$。
由勾股定理,得
$AB=\sqrt{BF^2-AF^2}=\sqrt{(2AF)^2-AF^2}=\sqrt{3}AF$。
$\because$点$F$是$AD$的中点，
$\therefore AF=DF$。
$\because ∠ BFE=∠ D=∠ A=90°$，
$\therefore ∠ ABF+∠ AFB=∠ DFE+∠ AFB=90°$，
$\therefore ∠ ABF=∠ DFE$，
$\therefore △ ABF∽△ DFE$，
$\therefore \frac{FE}{BF}=\frac{DF}{AB}=\frac{AF}{\sqrt{3}AF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
(2)$\because △ ABF∽△ DFE,△ ABF∽△ CBE$，
$\therefore △ CBE∽△ DFE,\therefore \frac{S_{△ DFE}}{S_{△ CBE}}=(\frac{FE}{BE})^2$。
在$\mathrm{Rt}△ FBE$中,$∠ BFE=90°,∠ FBE=30°$，
$\therefore FE=\frac{1}{2}BE,\therefore \frac{FE}{BE}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{S_{△ DFE}}{S_{△ CBE}}=(\frac{FE}{BE})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
$\therefore ∠ A=∠ C=∠ D=∠ ABC=90°$。
$\because$沿$BE$折叠$△ BCE$得到$△ BFE$，
$\therefore △ CBE≌△ FBE$，
$\therefore ∠ CBE=∠ FBE,∠ BFE=∠ C=90°$。
$\because △ ABF∽△ CBE$，
$\therefore ∠ ABF=∠ CBE$，
$\therefore ∠ ABF=∠ CBE=∠ FBE=\frac{1}{3}∠ ABC=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中,$AF=\frac{1}{2}BF$，
$\therefore BF=2AF$。
由勾股定理,得
$AB=\sqrt{BF^2-AF^2}=\sqrt{(2AF)^2-AF^2}=\sqrt{3}AF$。
$\because$点$F$是$AD$的中点，
$\therefore AF=DF$。
$\because ∠ BFE=∠ D=∠ A=90°$，
$\therefore ∠ ABF+∠ AFB=∠ DFE+∠ AFB=90°$，
$\therefore ∠ ABF=∠ DFE$，
$\therefore △ ABF∽△ DFE$，
$\therefore \frac{FE}{BF}=\frac{DF}{AB}=\frac{AF}{\sqrt{3}AF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
(2)$\because △ ABF∽△ DFE,△ ABF∽△ CBE$，
$\therefore △ CBE∽△ DFE,\therefore \frac{S_{△ DFE}}{S_{△ CBE}}=(\frac{FE}{BE})^2$。
在$\mathrm{Rt}△ FBE$中,$∠ BFE=90°,∠ FBE=30°$，
$\therefore FE=\frac{1}{2}BE,\therefore \frac{FE}{BE}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{S_{△ DFE}}{S_{△ CBE}}=(\frac{FE}{BE})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
(1) 首先结合矩形的性质得到四个内角为直角，再根据折叠的性质可得△CBE≌△FBE，对应角相等；结合已知△ABF∽△CBE，可推出∠ABF=∠FBE=∠CBE=30°，得到30°直角三角形的边的关系；再由F是AD中点，利用同角的余角相等证明△ABF∽△DFE，即可将所求$\frac{FE}{BF}$转化为$\frac{DF}{AB}$计算。
(2) 求三角形面积比时，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，先通过相似的传递性证明△DFE∽△CBE，再结合30°直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，得到两个三角形的相似比，平方后即可得到面积比。
【解析】
(1) $\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore ∠ A=∠ C=∠ D=∠ ABC=90°$。
$\because$沿$BE$折叠$△ BCE$得到$△ BFE$，
$\therefore △ CBE≌△ FBE$，
$\therefore ∠ CBE=∠ FBE,∠ BFE=∠ C=90°$。
$\because △ ABF∽△ CBE$，
$\therefore ∠ ABF=∠ CBE$，
$\therefore ∠ ABF=∠ CBE=∠ FBE=\frac{1}{3}∠ ABC=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中,$AF=\frac{1}{2}BF$，
$\therefore BF=2AF$。
由勾股定理,得
$AB=\sqrt{BF^2-AF^2}=\sqrt{(2AF)^2-AF^2}=\sqrt{3}AF$。
$\because$点$F$是$AD$的中点，
$\therefore AF=DF$。
$\because ∠ BFE=∠ D=∠ A=90°$，
$\therefore ∠ ABF+∠ AFB=∠ DFE+∠ AFB=90°$，
$\therefore ∠ ABF=∠ DFE$，
$\therefore △ ABF∽△ DFE$，
$\therefore \frac{FE}{BF}=\frac{DF}{AB}=\frac{AF}{\sqrt{3}AF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
(2) $\because △ ABF∽△ DFE,△ ABF∽△ CBE$，
$\therefore △ CBE∽△ DFE,\therefore \frac{S_{△ DFE}}{S_{△ CBE}}=(\frac{FE}{BE})^2$。
在$\mathrm{Rt}△ FBE$中,$∠ BFE=90°,∠ FBE=30°$，
$\therefore FE=\frac{1}{2}BE,\therefore \frac{FE}{BE}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{S_{△ DFE}}{S_{△ CBE}}=(\frac{FE}{BE})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}$；(2) $\frac{1}{4}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合了矩形、折叠变换、相似三角形的知识点，解题核心是利用折叠的全等性质和相似三角形的边角关系转化已知条件，同时结合特殊直角三角形的性质简化计算，能够较好地考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 首先结合矩形的性质得到四个内角为直角，再根据折叠的性质可得△CBE≌△FBE，对应角相等；结合已知△ABF∽△CBE，可推出∠ABF=∠FBE=∠CBE=30°，得到30°直角三角形的边的关系；再由F是AD中点，利用同角的余角相等证明△ABF∽△DFE，即可将所求$\frac{FE}{BF}$转化为$\frac{DF}{AB}$计算。
(2) 求三角形面积比时，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，先通过相似的传递性证明△DFE∽△CBE，再结合30°直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，得到两个三角形的相似比，平方后即可得到面积比。
【解析】
(1) $\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore ∠ A=∠ C=∠ D=∠ ABC=90°$。
$\because$沿$BE$折叠$△ BCE$得到$△ BFE$，
$\therefore △ CBE≌△ FBE$，
$\therefore ∠ CBE=∠ FBE,∠ BFE=∠ C=90°$。
$\because △ ABF∽△ CBE$，
$\therefore ∠ ABF=∠ CBE$，
$\therefore ∠ ABF=∠ CBE=∠ FBE=\frac{1}{3}∠ ABC=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中,$AF=\frac{1}{2}BF$，
$\therefore BF=2AF$。
由勾股定理,得
$AB=\sqrt{BF^2-AF^2}=\sqrt{(2AF)^2-AF^2}=\sqrt{3}AF$。
$\because$点$F$是$AD$的中点，
$\therefore AF=DF$。
$\because ∠ BFE=∠ D=∠ A=90°$，
$\therefore ∠ ABF+∠ AFB=∠ DFE+∠ AFB=90°$，
$\therefore ∠ ABF=∠ DFE$，
$\therefore △ ABF∽△ DFE$，
$\therefore \frac{FE}{BF}=\frac{DF}{AB}=\frac{AF}{\sqrt{3}AF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
(2) $\because △ ABF∽△ DFE,△ ABF∽△ CBE$，
$\therefore △ CBE∽△ DFE,\therefore \frac{S_{△ DFE}}{S_{△ CBE}}=(\frac{FE}{BE})^2$。
在$\mathrm{Rt}△ FBE$中,$∠ BFE=90°,∠ FBE=30°$，
$\therefore FE=\frac{1}{2}BE,\therefore \frac{FE}{BE}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{S_{△ DFE}}{S_{△ CBE}}=(\frac{FE}{BE})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}$；(2) $\frac{1}{4}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合了矩形、折叠变换、相似三角形的知识点，解题核心是利用折叠的全等性质和相似三角形的边角关系转化已知条件，同时结合特殊直角三角形的性质简化计算，能够较好地考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
