3. 计算:$2024^2-4048×2025+2025^2=$。

3.1

【分析】
观察算式结构，发现4048可转化为2×2024，此时算式符合完全平方差公式的形式$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$。我们先将原式变形为完全平方差的形式，再进行计算，能大幅简化运算，避免复杂的乘方和乘法计算。
【解析】
$\begin{aligned}&2024^2 - 4048×2025 + 2025^2\\=&2024^2 - 2×2024×2025 + 2025^2\\=&(2024 - 2025)^2\\=&(-1)^2\\=&1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
完全平方差公式
【点评】
本题核心考查完全平方差公式的灵活运用，关键在于识别算式中隐藏的完全平方结构，通过变形将复杂运算转化为简单的平方运算，体现了简便运算的技巧和整体思想。
【难度系数】
0.7

4. 若$x^2+4x-4=0$,则$2(x-2)^2-4(x+1)(x-1)$的值为。

4.4

【分析】
首先观察题目，已知方程$x^2+4x-4=0$，可变形得到$x^2+4x=4$，要求的是整式$2(x-2)^2-4(x+1)(x-1)$的值。解题思路是先利用完全平方公式和平方差公式将所求整式展开、化简，再把$x^2+4x=4$整体代入化简后的式子计算，这样无需求解$x$的具体值，能简化运算步骤。
【解析】
第一步，展开整式：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$2(x-2)^2=2(x^2-4x+4)=2x^2-8x+8$；
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得$4(x+1)(x-1)=4(x^2-1)=4x^2-4$。
第二步，代入原式并化简：
$\begin{aligned}&2(x-2)^2-4(x+1)(x-1)\\=&2x^2-8x+8-(4x^2-4)\\=&2x^2-8x+8-4x^2+4\\=&-2x^2-8x+12\\=&-2(x^2+4x)+12\end{aligned}$
第三步，整体代入计算：
由$x^2+4x-4=0$得$x^2+4x=4$，将其代入上式：
$-2×4+12=-8+12=4$
【答案】
4
【知识点】
整式化简求值、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题主要考查整式的化简求值，重点运用了完全平方公式和平方差公式进行整式变形，同时通过整体代入的思想，将已知条件变形后代入化简后的式子，避免了解一元二次方程的复杂过程，有效简化了运算，体现了整体思想在代数运算中的重要性。
【难度系数】
0.7

5. 如果$(x-y)^2=6$,$(x+y)^2=3$,那么
(1)$xy=$;
(2)$x^2+y^2=$。

5.(1)$-\frac{3}{4}$ (2)$\frac{9}{2}$

【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路是先将已知的两个完全平方展开，得到包含$x^2+y^2$和$xy$的两个等式，再通过等式的加减运算消去其中一个未知量，从而求出另一个未知量。具体来说：
1. 对于求$xy$，用$(x+y)^2$的展开式减去$(x-y)^2$的展开式，可消去$x^2+y^2$，得到只含$xy$的方程，进而求解；
2. 对于求$x^2+y^2$，将两个展开式相加，可消去$xy$，得到只含$x^2+y^2$的方程，进而求解。
【解析】
根据完全平方公式展开已知等式：
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = 6$ ①
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 3$ ②
(1) 求$xy$：
用② - ①得：
$(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 3 - 6$
去括号化简：
$x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 = -3$
合并同类项：
$4xy = -3$
解得：$xy = -\frac{3}{4}$
(2) 求$x^2+y^2$：
用① + ②得：
$(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 + 2xy + y^2) = 6 + 3$
去括号化简：
$x^2 - 2xy + y^2 + x^2 + 2xy + y^2 = 9$
合并同类项：
$2(x^2 + y^2) = 9$
解得：$x^2 + y^2 = \frac{9}{2}$
【答案】
(1)$-\frac{3}{4}$；(2)$\frac{9}{2}$
【知识点】
完全平方公式应用
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用，通过对两个完全平方展开式进行加减运算实现整体消元，属于基础题型，需熟练掌握完全平方公式的结构特征，注意运算中的符号问题。
【难度系数】
0.7

6. 若$a+\frac{1}{a}=5$,则$a^2+\frac{1}{a^2}=$,
$(a-\frac{1}{a})^2=$。

6.23 21

【分析】
这道题考查完全平方公式的应用，解题思路是利用完全平方公式对已知等式进行变形，从而求出目标式子的值。首先，我们知道完全平方公式为$(x\pm y)^2=x^2\pm2xy+y^2$，观察已知条件$a+\frac{1}{a}=5$，其中$a×\frac{1}{a}=1$是定值，所以可以对已知等式两边平方，得到包含$a^2+\frac{1}{a^2}$的式子，进而求出它的值；对于$(a-\frac{1}{a})^2$，同样利用完全平方公式展开，再代入已求出的$a^2+\frac{1}{a^2}$的值计算即可。
【解析】
1. 求$a^2+\frac{1}{a^2}$的值：
对$a+\frac{1}{a}=5$两边同时平方，根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$可得：
$(a+\frac{1}{a})^2=a^2+2× a×\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}$
因为$a×\frac{1}{a}=1$，且$(a+\frac{1}{a})^2=5^2=25$，代入得：
$25=a^2+2+\frac{1}{a^2}$
移项计算：
$a^2+\frac{1}{a^2}=25-2=23$
2. 求$(a-\frac{1}{a})^2$的值：
根据完全平方公式$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$展开可得：
$(a-\frac{1}{a})^2=a^2-2× a×\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}$
代入$a×\frac{1}{a}=1$和$a^2+\frac{1}{a^2}=23$，得：
$(a-\frac{1}{a})^2=23-2=21$
【答案】
23；21
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用，关键是发现已知式与目标式之间的联系，通过对已知式平方构建出目标式，计算时注意$a×\frac{1}{a}=1$这个定值的运用，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

7. 运用乘法公式计算:
(1)$(3x-5)^2-(2x+7)^2$;
(2)$(2x-y-3)^2$;
(3)$[(x+2)(x-2)]^2$;
(4)$(2x-1)^2-4(x-1)(1+x)$。

7.解:(1)原式$=[(3x-5)+(2x+7)][(3x-5)-(2x+7)]$
$=(3x-5+2x+7)(3x-5-2x-7)=(5x+2)(x-12)$
$=5x^2-58x-24;$
(2)原式$=[(2x-y)-3]^2=(2x-y)^2-6(2x-y)+9$
$=4x^2-4xy+y^2-12x+6y+9;$
(3)原式$=(x^2-4)^2=x^4-8x^2+16;$
(4)原式$=4x^2-4x+1+4-4x^2=5-4x$。

【分析】
本题主要考查乘法公式的灵活运用，解题思路如下：
1. 对于(1)，式子是两个平方的差，符合平方差公式的形式，先利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$将原式分解，再展开括号并合并同类项得到最终结果；
2. 对于(2)，是三项式的平方，可将$2x-y$看作一个整体，转化为$(a-3)^2$的形式，再利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开，之后再展开$(2x-y)^2$，最后合并同类项；
3. 对于(3)，先利用平方差公式计算括号内的$(x+2)(x-2)$，得到$x^2-4$，再对这个结果利用完全平方公式展开即可；
4. 对于(4)，先分别利用完全平方公式展开$(2x-1)^2$，利用平方差公式计算$(x-1)(1+x)$，注意前面的系数-4，然后去括号、合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 原式$=[(3x-5)+(2x+7)][(3x-5)-(2x+7)]$
$=(3x-5+2x+7)(3x-5-2x-7)$
$=(5x+2)(x-12)$
$=5x^2-60x+2x-24$
$=5x^2-58x-24$;
(2) 原式$=[(2x-y)-3]^2$
$=(2x-y)^2-6(2x-y)+9$
$=4x^2-4xy+y^2-12x+6y+9$;
(3) 原式$=(x^2-4)^2$
$=x^4-8x^2+16$;
(4) 原式$=4x^2-4x+1-4(x^2-1)$
$=4x^2-4x+1-4x^2+4$
$=5-4x$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5x^2-58x-24}$；
(2) $\boldsymbol{4x^2-4xy+y^2-12x+6y+9}$；
(3) $\boldsymbol{x^4-8x^2+16}$；
(4) $\boldsymbol{5-4x}$。
【知识点】
平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题重点考查平方差公式和完全平方公式的应用，解题时需注意整体思想的运用，比如将三项式中的两项看作一个整体来套用公式，同时要留意符号的变化和同类项的合并，确保计算的准确性。
【难度系数】
0.7

8. 已知$a+b=6$,$ab=3$,则$\frac{a^2+b^2}{2}-ab$=()。

A.9
B.18
C.15
D.12

8.D

【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现其中包含$a^2+b^2$，而题目已知$a+b$和$ab$的值，因此可以利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，将所求代数式转化为用$a+b$和$ab$表示的形式，再代入已知数值进行计算即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
将其代入所求代数式：
$\begin{aligned}\frac{a^2+b^2}{2}-ab&=\frac{(a+b)^2-2ab}{2}-ab\\&=\frac{(a+b)^2}{2}-ab-ab\\&=\frac{(a+b)^2}{2}-2ab\end{aligned}$
把$a+b=6$，$ab=3$代入上式：
$\begin{aligned}&\frac{6^2}{2}-2×3\\=&\frac{36}{2}-6\\=&18-6\\=&12\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式变形，代数式求值
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活应用，核心是通过公式变形将未知代数式转化为已知条件的形式，采用整体代入法求值，属于基础题型，着重考查对公式的理解与运用能力。
【难度系数】
0.8

9. 如图,大正方形与小正方形的面积之差是48,则阴影部分的面积是。

9.24

【分析】
首先设大正方形边长为$a$，小正方形边长为$b$，根据题意可知$a^2 - b^2 = 48$。观察图形可发现，阴影部分的面积可转化为$△ ACD$与$△ ECD$的面积差。$△ ACD$和$△ ECD$的底均为$CD=a+b$，高分别为大正方形边长$a$和小正方形边长$b$，代入三角形面积公式后，利用平方差公式的变形即可结合已知条件求出阴影部分面积。
【解析】
设大正方形的边长为$a$，小正方形的边长为$b$，由题意得：
$a^2 - b^2 = 48$
阴影部分的面积$S_{阴影}=S_{△ ACD}-S_{△ ECD}$
根据三角形面积公式：
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× CD× AB=\frac{1}{2}(a+b)a$
$S_{△ ECD}=\frac{1}{2}× CD× EB=\frac{1}{2}(a+b)b$
则$S_{阴影}=\frac{1}{2}(a+b)a - \frac{1}{2}(a+b)b=\frac{1}{2}(a+b)(a - b)$
又因为$a^2 - b^2=(a+b)(a - b)=48$，代入得：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}×48=24$
【答案】
24
【知识点】
平方差公式，三角形面积公式
【点评】
本题通过图形面积的转化，结合代数公式求解，考查了对图形的观察能力和代数变形能力，关键是将阴影面积转化为两个三角形的面积差，再利用平方差公式的变形进行计算。
【难度系数】
0.4

10. 完全平方公式:$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$,
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$是多项式乘法
中的重要公式之一,它经过适当变形可
以解决很多数学问题。
例如:若$a+b=2$,$ab=1$,求$a^2+b^2$的值。
解:$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=2^2-2×1=2$。
根据以上信息回答下列问题:
(1)若$m+n=3$,$m^2+n^2=5^2$,求mn的值;
(2)若$a-2b=3$,$ab=1$,求$a^2+4b^2$的值;
(3)如图,E,F分别是正方形ABCD的边AD与AB上的点,以AE,AF为边在正方形内部作面积为8的长方形AFGE,再分别以FG,EG为边作正方形FGPH和正方形GRQE。若图中阴影部分的面积为20,求长方形AFGE的周长。
自我反思
存在的问题:
改进的措施:

10.(1)解:因为$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$,
所以$2mn=(m+n)^2-(m^2+n^2)$,
又因为$m+n=3,m^2+n^2=5^2$,
所以$2mn=3^2-5^2=-16$,
所以$mn=-8;$
(2)因为$a-2b=3$,
所以$(a-2b)^2=3^2$,
所以$a^2-4ab+4b^2=9$,
所以$a^2+4b^2=9+4ab$。
因为$ab=1$,
所以$a^2+4b^2=9+4ab=13;$
(3)设$AE=a,EG=b$。
因为长方形AFGE的面积为8,
所以$ab=8$。
又因为四边形FGPH和GRQE均为正方形,且面积之和为20,
所以$a^2+b^2=20$。
因为$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$,
所以$(a+b)^2=20+2×8=36$。
因为$a,b$均为正数,
所以$a+b=6$,
所以长方形AFGE的周长为$2(a+b)=12$。

【分析】
1. 第(1)问：已知两数和与两数平方和，求两数乘积，可利用完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$变形，将$mn$表示为$\frac{(m+n)^2-(m^2+n^2)}{2}$，代入已知数值计算即可。
2. 第(2)问：要求$a^2+4b^2$，观察到其与$(a-2b)^2$的展开式相关，将$(a-2b)^2$展开后变形得到$a^2+4b^2=(a-2b)^2+4ab$，再代入已知的$a-2b$和$ab$的值计算。
3. 第(3)问：先设长方形AFGE的两边长为$a$、$b$，根据长方形面积得$ab=8$，阴影部分是两个正方形面积和，即$a^2+b^2=20$。长方形周长为$2(a+b)$，利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$求出$a+b$的值，进而计算周长。
【解析】
(1) 解：因为$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，
所以$2mn=(m+n)^2-(m^2+n^2)$，
又因为$m+n=3$，$m^2+n^2=5^2=25$，
所以$2mn=3^2-25=9-25=-16$，
所以$mn=-8$；
(2) 解：因为$a-2b=3$，
所以$(a-2b)^2=3^2=9$，
展开得$a^2-4ab+4b^2=9$，
移项得$a^2+4b^2=9+4ab$，
因为$ab=1$，
所以$a^2+4b^2=9+4×1=13$；
(3) 解：设$AE=a$，$EG=b$。
因为长方形AFGE的面积为8，
所以$ab=8$。
又因为正方形FGPH和GRQE的面积之和为20，
所以$a^2+b^2=20$。
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
代入得$(a+b)^2=20+2×8=36$，
因为$a$、$b$均为正数，
所以$a+b=6$，
则长方形AFGE的周长为$2(a+b)=2×6=12$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{mn=-8}$；(2) $\boldsymbol{a^2+4b^2=13}$；(3) $\boldsymbol{12}$
【知识点】
1. 完全平方公式变形应用
2. 长方形与正方形的面积周长计算
【点评】
本题围绕完全平方公式的变形展开，结合代数计算与几何图形的面积、周长问题，考查学生对完全平方公式的灵活运用能力，以及将几何问题转化为代数问题的思维能力。解题关键在于准确识别已知条件与所求量之间的关系，通过公式变形建立等式求解。
【难度系数】
0.6