1. 在同一平面直角坐标系中，作出函数$y=\sqrt{5}x^2$，$y=x^2$和$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象，这些抛物线的共同特征是（）

A.开口向上
B.有最低点
C.$y$随$x$的增大而减小
D.顶点在原点

1. D 解析:三个函数均为$y=ax^2(a≠0)$的形式,图象顶点均为原点.故选 D.

2. (2026·上海期末)已知抛物线$y=ax^2(a≠0)$经过两个不同的点$A(m,8)$和$B(2,8)$，那么$m$的值是 ()

A.2
B.-2
C.8
D.-8

2. B 解析:
∵ 抛物线$y=ax^2(a≠0)$的对称轴为y轴,且点A(m,8)和B(2,8)的纵坐标均为8,
∴ 点A和点B关于y轴对称,
∴ m=-2.故选 B.

3. (2026·长春校级月考)若$A(-2,y_1),B(-1,y_2),C(3,y_3)$为二次函数$y=-x^2$的图象上的三点,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是 ()

A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_2＜y_1＜y_3$

3. C 解析:二次函数$y=-x^2$的图象开口向下,对称轴为y轴,
∴ 由二次函数的图象与性质可知,抛物线上的点到对称轴的距离越近,y值越大.
∵ 点$A(-2,y_1),B(-1,y_2),C(3,y_3)$到对称轴的距离分别为$|-2|=2,|-1|=1,|3|=3,1＜2＜3$,
∴ $y_3＜y_1＜y_2$.故选 C.

4. 二次函数 $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x^2$ 的图象是一条 ，它的开口方向向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而 ；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而 ；当$x=0$时，$y$有最 值，为 。

4. 抛物线 下 (0,0) y轴 减小 增大 大 0

5. (1)已知二次函数$y=(2-k)x^2$，当$x＞0$时，$y$随$x$增大而增大，则实数$k$的取值范围是。
(2)已知原点是抛物线$y=-(m+2)x^2$的最低点，则$m$的取值范围是。

5. (1) k＜2 解析:由题意得 2-k＞0,
∴ k＜2.
(2) m＜-2 解析:由题意得-(m+2)＞0,
∴ m＜-2.

6. 在同一平面直角坐标系中，二次函数①$y=ax^2$，②$y=bx^2$，③$y=cx^2$，④$y=dx^2$的图象如图所示，比较$a,b,c,d$的大小为________（用“＞”连接）。

a＞b＞d＞c 解析:设 x=1,则函数值 y 分别等于二次项系数,结合图象(如图),比较各对应点纵坐标的大小即可.
∵ 直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为(1,a),(1,b),(1,d),(1,c),
∴ a＞b＞d＞c.

7. 有一桥孔的形状是一条开口向下的抛物线$y=-\frac{1}{4}x^2$的一部分.
(1)在如图的平面直角坐标系中画出这条抛物线.
(2)当水面与抛物线顶点的距离为4 m时,利用图象求水面的宽.
(3)当水面宽为6 m时,水面与抛物线顶点的距离是多少?

7. (1)当x=-4时,$y=-\frac{1}{4}×(-4)^2=-4$,当x=-2时,$y=-\frac{1}{4}×(-2)^2=-1$,当x=0时,$y=-\frac{1}{4}×0^2=0$,当x=2时,$y=-\frac{1}{4}×2^2=-1$,当x=4时,$y=-\frac{1}{4}×4^2=-4$.
利用描点法,在平面直角坐标系中画出这条抛物线如图:
(2)当水面与抛物线顶点的距离为4 m时,则 y=-4,将y=-4代入$y=-\frac{1}{4}x^2$,得$-\frac{1}{4}x^2=-4$,解得 x=-4 或 x=4,则水面的宽为 4-(-4)=4+4=8(m).
答:水面的宽为 8 m.
(3)抛物线$y=-\frac{1}{4}x^2$的顶点坐标为(0,0),其对称轴为y轴,当水面宽为6 m时,将x=3代入$y=-\frac{1}{4}x^2$,得$y=-\frac{1}{4}×3^2=-\frac{9}{4}$,则$0-(-\frac{9}{4})=\frac{9}{4}(m)$.
答:水面与抛物线顶点的距离是$\frac{9}{4}$ m.

8. 在同一平面直角坐标系中,二次函数$y=mx^2$与一次函数$y=-mx-m$的图象可能是（）

8. C 解析:
∵ y=-mx-m=-m(x+1),
∴ 一次函数图象经过点(-1,0),
∴ 选项 B,D 不合题意;当 m＞0 时,二次函数的图象开口向上,一次函数的图象经过第二、三、四象限,无符合图象;当 m＜0 时,二次函数的图象开口向下,一次函数的图象经过第一、二、三象限,C 选项中图象符合.故选 C.

9. (2025·抚顺模拟)边长为$\sqrt{2}$的正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上. 如图，将正方形OABC绕顶点O逆时针旋转75°,使点B恰好落在抛物线$y=ax^2$上,则a的值是 ()


A.$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$-\sqrt{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$

9. D 解析:如图,连接 OB,作 BD ⊥ y 轴于点 D,
∵ 正方形OABC 边长为$\sqrt{2}$,
∴ $BC=OC=\sqrt{2},∠OCB=90°,∠AOB=45°$,
∴ $OB=\sqrt{2}OC=2$.由条件可得 OA 与 x 轴正半轴的夹角为75°,
∴ $∠AOD=90°-75°=15°$,
∴ $∠BOD=∠AOB-∠AOD=30°$,
∴ $BD=\frac{1}{2}OB=1,OD=\sqrt{3}BD=\sqrt{3}$,
∴ $B(-1,\sqrt{3})$.
∵ 点 B落在抛物线$y=ax^2$上,
∴ $\sqrt{3}=a×(-1)^2$,
∴ $a=\sqrt{3}$.故选 D.