8. 已知函数$y=(m^2+m-2)x^2+(m-1)x+m+1$.
(1)当$m$为________时,它是关于$x$的一次函数;
(2)当$m$满足________时,它是关于$x$的二次函数.

8. (1) -2 解析:根据一次函数的定义,得 $m^2+m-2=0$,解得 $m=1$ 或 $m=-2$.又 $m-1≠0$,
∴ $m≠1$.
∴ 当 $m=-2$ 时,这个函数是一次函数.
(2) $m≠1$ 且 $m≠-2$ 解析:根据二次函数的定义,得 $m^2+m-2≠0$,解得 $m≠1$ 且 $m≠-2$.
∴ 当 $m≠1$ 且 $m≠-2$ 时,这个函数是二次函数.

9. (2024·大庆中考改编)“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国.某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第$ x $天($ 1 ≤ x ≤ 30 $且$ x $为整数)的售价为$ y $(元/千克).当$ 1 ≤ x ≤ 20 $时，$ y = kx + b $；当$ 20 ＜ x ≤ 30 $时，$ y = 15 $.销量$ z $(千克)与$ x $之间的函数表达式为$ z = x + 10 $，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第$ x $天的销售额为$ M $(元).
(1)$ k = $，$ b = $.
(2)写出第$ x $天的销售额$ M $与$ x $之间的函数表达式.
(3)在试销售的30天中，第几天的销售额为400元？

9. (1) -1 30 解析:依题意,将$(10,20)$,$(15,15)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}10k+b=20,\\15k+b=15,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=30,\end{cases}$
∴ $y=-x+30(1≤x≤20)$.
(2) 依题意得 $y=\begin{cases}-x+30(1≤x≤20),\\15(20＜x≤30),\end{cases}$ 当 $1≤x≤20$ 时,$M=yz=(x+10)(-x+30)=-x^2+20x+300$;
当 $20＜x≤30$ 时,$M=yz=15(x+10)=15x+150$,
∴ $M=\begin{cases}-x^2+20x+300(1≤x≤20),\\15x+150(20＜x≤30).\end{cases}$
(3) 当 $1≤x≤20$ 时,$-x^2+20x+300=400$,解得 $x=10$;当 $20＜x≤30$ 时,$15x+150=400$,解得 $x=\frac{50}{3}$.
∵ $x$ 为正整数,
∴ 第 10 天的销售额为 400 元.

10. (2026·钦州模拟)如图,在平面直角坐标系中,△DOE是等腰直角三角形,∠ODE=90°,DO=DE=3,点D在x轴的负半轴上,点E在第二象限,矩形ABCO的顶点B(4,2),点C在x轴的正半轴上,点A在y轴的正半轴上.将△DOE沿x轴向右平移,得到△D'O'E'.
(1)如图①,当E'O'经过点A时,求直线O'A的函数表达式.
(2)设OO'=t,△D'O'E'与矩形ABCO重叠部分的面积为S.
①如图②,当△D'O'E'与矩形ABCO重叠部分为五边形时,D'E'与AB交于点M,E'O'分别与AB,BC交于点N,P,求重叠部分面积S(用含有t的式子表示),并直接写出t的取值范围;
②△DOE从初始位置起向右平移的过程中,当S=$\frac{5}{2}$时,直接写出t的值.

10. (1) 当E'O'经过点A时,
∵ 矩形 ABCO 的顶点 $B(4,2)$,
∴ $OA=BC=2$,由平移的性质可得 $△D'O'E'$ 为等腰直角三角形,
∴ $∠E'O'D'=45°$.
∵ $∠AOO'=90°$,
∴ $△AOO'$ 是等腰直角三角形,
∴ $OO'=OA=2$,
∴ $A(0,2)$,$O'(2,0)$.设直线 O'A 的函数表达式为 $y=kx+b$,将 $A(0,2)$,$O'(2,0)$代入,得$\begin{cases}b=2,\\2k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=2,\end{cases}$
∴ 直线 O'A 的函数表达式为 $y=-x+2$.
(2) ①当 $△D'O'E'$ 与矩形 ABCO 重叠部分为五边形时,
∵ 矩形 ABCO 中,$AB=OC=4$,$BC=OA=2$,$∠B=∠BCO=90°$,$∠E'D'C=90°$,
∴ 四边形 BCD'M 是矩形.设 $OO'=t$,
∵ $∠PCO'=90°$,$∠PO'C=45°$,
∴ $△PCO'$ 是等腰直角三角形,
∴ $CP=CO'=t-4$,
∴ $CD'=O'D'-CO'=3-(t-4)=7-t$,$BP=BC-CP=2-(t-4)=6-t$.
∵ $∠O'PC=∠BPN=∠E'O'D'=45°$,
∴ $△BPN$ 是等腰直角三角形,
∴ $BN=BP=6-t$,
∴ $S=S_{矩形BCD'M}-S_{△BPN}=BC·CD'-\frac{1}{2}BP^2=2(7-t)-\frac{1}{2}(6-t)^2=-\frac{1}{2}t^2+4t-4$.
∵ $\begin{cases}t＞4,\\t-4＜2,\end{cases}$
∴ $4＜t＜6$.
② $\frac{9}{4}$ 或 $4+\sqrt{3}$. 解析:当 $0＜t≤2$ 时,$△D'O'E'$ 与矩形 ABCO 重叠部分为三角形,重叠部分的面积为 $S=S_{△O'OF}=\frac{1}{2}O'O^2=\frac{1}{2}t^2$,
∵ $S=\frac{5}{2}$,
∴ $\frac{1}{2}t^2=\frac{5}{2}$,解得 $t=±\sqrt{5}$.
∵ $0＜t≤2$,
∴ $t=±\sqrt{5}$ 不符合题意,此时重叠部分面积不可能为 $\frac{5}{2}$.
当 $2＜t＜3$ 时,$△D'O'E'$ 与矩形 ABCO 重叠部分为四边形(梯形),则 $OD'=3-t$,$OO'=t$,$AL=AG=t-2$,
∴ $S=S_{△OLO'}-S_{△ALG}=\frac{1}{2}t^2-\frac{1}{2}(t-2)^2=2t-2$,
∴ $2t-2=\frac{5}{2}$,解得 $t=\frac{9}{4}$.
∵ $2＜t＜3$,
∴ $t=\frac{9}{4}$ 符合题意.
当 $3≤t≤4$ 时,重叠部分为梯形,$S=\frac{1}{2}×3^2-\frac{1}{2}×1^2=4$ 为定值,不能等于 $\frac{5}{2}$.
当 $4＜t＜6$ 时,$△D'O'E'$ 与矩形 ABCO 重叠部分为五边形,由①知 $S=-\frac{1}{2}t^2+4t-4$,
∴ $-\frac{1}{2}t^2+4t-4=\frac{5}{2}$,解得 $t_1=4-\sqrt{3}$(舍去),$t_2=4+\sqrt{3}$.
∵ $4＜4+\sqrt{3}＜6$,
∴ $t=4+\sqrt{3}$ 符合题意.
当 $6≤t＜7$ 时,重叠部分为矩形 BCD'F,
∵ $CD'=7-t$,
∴ $S=S_{矩形BCD'F}=BC·CD'=2(7-t)$,当 $2(7-t)=\frac{5}{2}$ 时,$t=\frac{23}{4}＜6$,不符合题意.
综上所述,满足 $S=\frac{5}{2}$ 的所有 t 的值为 $\frac{9}{4}$ 或 $4+\sqrt{3}$.