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1. (2026·无锡校级月考)下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是 (
A.$y=ax^2 - bx$
B.$y=x(x-1)$
C.$y=\frac{1}{x^2}$
D.$y=(x-1)^2 - x^2$
B
)A.$y=ax^2 - bx$
B.$y=x(x-1)$
C.$y=\frac{1}{x^2}$
D.$y=(x-1)^2 - x^2$
答案
1. B 解析:A. $y=ax^2-bx$,若$a=0$,则不是二次函数,不符合题意;B. $y=x(x-1)=x^2-x$,满足$a=1≠0$,是二次函数,符合题意;C. $y=\frac{1}{x^2}$,等式右边分母中有未知数,不是整式,故不是二次函数,不符合题意;D. $y=(x-1)^2 - x^2=x^2-2x+1-x^2= -2x+1$,是一次函数,故不是二次函数,不符合题意.故选 B.
2. 关于函数$y=(500-10x)(40+x)$，下列说法不正确的是（
A.$y$是$x$的二次函数
B.二次项系数是$-10$
C.一次项是100
D.常数项是20 000
C
）A.$y$是$x$的二次函数
B.二次项系数是$-10$
C.一次项是100
D.常数项是20 000
答案
2. C 解析:$y=(500-10x)(40+x)=-10x^2+100x+20 000$,二次项系数为$-10$,一次项为$100x$,常数项为20 000.故选 C.
3. 某团队准备展示一个用于识别城市道路交通标志的 AI 模型.该模型第一版训练数据中有5 000张交通标志图片,之后每版的图片数量均会扩充.若第三版训练数据中有 y 张图片,每版扩充后图片数量的平均增长率均为 x,则 y 与 x 之间的函数表达式为 (
A.$y=5000(1+x)^2$
B.$y=5000+5000×2x$
C.$y=5000+5000×3x$
D.$y=5000[1+(1+x)+(1+x)^2]$
A
)A.$y=5000(1+x)^2$
B.$y=5000+5000×2x$
C.$y=5000+5000×3x$
D.$y=5000[1+(1+x)+(1+x)^2]$
答案
3. A 解析:第二版图片数量为5 000(1+x),第三版图片数量为$5 000(1+x)^2$.故选 A.
4. (2026·苏州期中)若函数$y=(m-3)x^{m^2 -7} +2026x -2027$是关于x的二次函数，则m的值为
-3
.答案
4. -3 解析:
∵ 函数 $y=(m-3)x^{m^2-7}+2 026x-2 027$ 是关于 x 的二次函数,
∴ $m^2-7=2$ 且 $m-3≠0$,解得 $m=-3$.
∵ 函数 $y=(m-3)x^{m^2-7}+2 026x-2 027$ 是关于 x 的二次函数,
∴ $m^2-7=2$ 且 $m-3≠0$,解得 $m=-3$.
5. 在下列4个不同的情境中,两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有
①设正方形的边长为$x$,面积为$y$,则$y$与$x$的函数关系;②$x$支球队参加比赛,每两支球队之间比赛一场,则比赛的场次数$y$与$x$的函数关系;③等腰三角形顶角度数为$y$,底角度数为$x$,则$y$与$x$的函数关系;④若一辆汽车以120 km/h的速度匀速行驶,则汽车行驶的里程$y$(km)与行驶时间$x$(h)的函数关系.
①②
(填序号).①设正方形的边长为$x$,面积为$y$,则$y$与$x$的函数关系;②$x$支球队参加比赛,每两支球队之间比赛一场,则比赛的场次数$y$与$x$的函数关系;③等腰三角形顶角度数为$y$,底角度数为$x$,则$y$与$x$的函数关系;④若一辆汽车以120 km/h的速度匀速行驶,则汽车行驶的里程$y$(km)与行驶时间$x$(h)的函数关系.
答案
5. ①② 解析:①依题意得 $y=x^2$,属于二次函数关系,符合题意;②依题意得 $y=\frac{1}{2}x(x-1)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x$,属于二次函数关系,符合题意;③依题意得 $y+2x=180°$,
∴ $y=180°-2x(0°＜x＜90°)$,属于一次函数关系,不符合题意;④依题意得 $y=120x$,属于一次函数关系,不符合题意.综上所述,两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有①②.
∴ $y=180°-2x(0°＜x＜90°)$,属于一次函数关系,不符合题意;④依题意得 $y=120x$,属于一次函数关系,不符合题意.综上所述,两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有①②.
6. 如图,一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m),用长为24 m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃,设花圃的一边AB的长为x(m),面积为y(m²).
(1)写出y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围.
(2)若要使围成的花圃的面积为45 m²,则AB的长应为多少?
(1)写出y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围.
(2)若要使围成的花圃的面积为45 m²,则AB的长应为多少?
答案
6. (1) 由题意可得 $y=x(24-3x)=-3x^2+24x$,$0＜24-3x≤10$,解得 $\frac{14}{3}≤x＜8$,即 y 与 x 之间的函数表达式是 $y=-3x^2+24x$$(\frac{14}{3}≤x＜8)$.
(2) 当 $y=45$ 时,$45=-3x^2+24x$,解得 $x_1=3$(舍去),$x_2=5$.故 AB 的长应为 5 m.
(2) 当 $y=45$ 时,$45=-3x^2+24x$,解得 $x_1=3$(舍去),$x_2=5$.故 AB 的长应为 5 m.
7. (2025·兰州中考)如图,在正方形ABCD中,AB=2 cm,对角线AC,BD相交于点O,动点P从点O出发,沿O→A→B方向以$\sqrt{2}$ cm/s的速度运动,同时点Q从点C出发,沿C→D方向以1 cm/s的速度运动,当点Q到达点D时,P,Q同时停止运动.若运动时间为x(s),
$△ CPQ$的面积为$y(cm^2)$,则点P分别在OA,AB上运动时,y与x的函数关系分别是(
A.均为一次函数
B.一次函数,二次函数
C.均为二次函数
D.二次函数,一次函数
$△ CPQ$的面积为$y(cm^2)$,则点P分别在OA,AB上运动时,y与x的函数关系分别是(
D
)A.均为一次函数
B.一次函数,二次函数
C.均为二次函数
D.二次函数,一次函数
答案
7. D 解析:
∵ 正方形 ABCD 中,$AB=2$ cm,
∴ $AB=BC=CD=DA=2$ cm,
∴ $AC=\sqrt{2}AD=2\sqrt{2}$ cm,$OC=OA=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$ cm.
当点 P 在 OA 上运动时,
,由题意得 $CQ=x$,$CP=OC+OP=\sqrt{2}+\sqrt{2}x$,作 $PG⊥CD$ 于点 G,∵ $∠PCG=45°$,
∴ $CG=PG=\frac{CP}{\sqrt{2}}=x+1$,
∴ $y=S_{△CPQ}=\frac{1}{2}CQ·PG=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x$,是二次函数;
当点 P 在 AB 上运动时,由题意得 $CQ=x$,
∴ $y=S_{△CPQ}=\frac{1}{2}CQ·BC=x$,是一次函数.故选 D.
