10. (1)(2026·连云港校级月考)如图①,在平面直角坐标系中有$M(1,2),N(3,3)$两点,如果抛物线$y=ax^2$与线段MN有公共点,那么a的取值范围是.

(2)(2025·长春期中)如图②,在平面直角坐标系中,$A(1,2),B(1,-1),C(2,2)$,若抛物线$y=ax^2(a≠0)$经过$△ ABC$区域(包括边界),则a的取值范围是.

10. (1) $\frac{1}{3}≤a≤2$ 解析:当 a＞0 时,把点 M(1,2)代入$y=ax^2$,得 a = 2;把点 N(3,3)代入$y=ax^2$,得 $a=\frac{1}{3}$,如图①,
∵ 抛物线$y=ax^2(a＞0)$与线段 MN 有公共点,
∴ a 的取值范围是$\frac{1}{3}≤a≤2$.当 a＜0 时,抛物线开口向下,与线段 MN 没有公共点.综上,a 的取值范围是$\frac{1}{3}≤a≤2$.
(2) $-1≤a＜0$ 或 $0＜a≤2$ 解析:如图②所示,分两种情况进行讨论:
当a＞0时,抛物线$y=ax^2$经过点 A(1,2)时,a=2,抛物线的开口最小,a 取得最大值 2,抛物线$y=ax^2$经过△ABC区域(包括边界),a 的取值范围是 0＜a≤2;
当a＜0时,抛物线$y=ax^2$经过点 B(1,-1)时,a=-1,抛物线的开口最小,a 取得最小值-1,抛物线$y = ax^2$ 经过△ABC区域(包括边界),a 的取值范围是$-1≤a＜0$.
综上,若抛物线$y=ax^2(a≠0)$经过△ABC区域(包括边界),则 a 的取值范围是$-1≤a＜0$ 或 $0＜a≤2$.

11. 新题型 新定义 定义:$y^2=ax$叫作函数$y=ax^2$的“伴随函数”.比如$y^2=x$就是$y=x^2$的“伴随函数”.数形结合是学习函数的一种重要方法,对于二次函数$y=ax^2$($a$为常数,且$a≠0$),若点$(m,n)$在函数$y=ax^2$的图象上,则点$(-m,n)$也在其图象上,即从数的角度可以知道它的图象关于$y$轴对称.

根据上面的定义和提示,解答下列问题:
(1)$y^2=x$的图象的对称轴是.
(2)①直接写出函数$y=2x^2$的“伴随函数”的表达式为;
②在如图所示的平面直角坐标系中画出$y=2x^2$的“伴随函数”的大致图象.
(3)若直线$y=kx-4k$($k≠0$)与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,与$y=2x^2$的“伴随函数”图象交于$C,D$两点(点$C$的横坐标小于点$D$的横坐标),过点$D$作$DE⊥x$轴,垂足为点$E$,若$△ AOB≌△ AED$,则$k$的值为.

11. (1) x轴 解析:若点$(m,n)$在函数$y^2=x$的图象上,则点$(m,-n)$也在其图象上,即从数的角度可以知道它的图象关于x轴对称,故答案为x轴.
(2) ①$y^2=2x$ 解析:由“伴随函数”的定义可得$y=2x^2$的“伴随函数”的表达式为$y^2=2x$.
②函数的大致图象如下:
(3) ±1 解析:对于$y=kx-4k$,令$y=kx-4k=0$,解得 x=4,令 x=0,则 y=-4k,即点 A(4,0),点 B(0,-4k).
∵ $△ AOB≌△AED$,
∴ OA=AE,DE=BO,则点 D(8,4k),将点 D 的坐标代入$y^2=2x$,得$(4k)^2=2×8$,解得 k=±1.

12. 新考法 研究发现,二次函数$y=ax^2(a≠0)$图象上任意一点到定点$(0,\dfrac{1}{4a})$和到定直线$y=-\dfrac{1}{4a}$的距离相等.已知在平面直角坐标系中有三个点,$A(0,2),B(1,3),C(3,6)$,以$BC$为直径作圆$M$,若点$P$是抛物线$y=\dfrac{1}{8}x^2$上一个动点,点$Q$为圆$M$上一个动点,则$PA+PQ$的最小值等于.

12. $\frac{13-\sqrt{13}}{2}$ 解析:如图,
∵ B(1,3),C(3,6),
∴ $BC=\sqrt{(3-1)^2+(6-3)^2}=\sqrt{13}$,$M(2,\frac{9}{2})$.由题意可得$y=\frac{1}{8}x^2$上任意一点到定点(0,2)和定直线 y=-2 的距离相等.作直线 y=-2 与 y 轴交于点 D,过点 P 作 PE ⊥ DE 于点 E,可得 PA=PE,连接 PM 交圆 M 于点 Q,当点 M,Q,P,E 共线时,PA+PQ=PE+PQ=EQ,即 PA+PQ 的最小值等于EQ 的长.
∵ $M(2,\frac{9}{2})$,
∴ E(2,-2),
∴ $EM=\frac{9}{2}+2=\frac{13}{2}$,
∴ $EQ=EM-QM=\frac{13}{2}-\frac{\sqrt{13}}{2}=\frac{13-\sqrt{13}}{2}$.

13. (2026·苏州校级月考)如图,点A,B在函数$y=\frac{1}{4}x^2$的图象上.已知A,B的横坐标分别为-2,4,直线AB与y轴交于点C,连接OA,OB.
(1)求直线AB的函数表达式;
(2)$△ AOB$的面积为;
(3)若函数$y=\frac{1}{4}x^2$的图象上存在点P,使得$△ PAB$的面积等于$△ AOB$的面积的一半,则这样的点P共有个,所有满足条件的点P的横坐标之和为.

13. (1)
∵ A,B 是抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$上的两点,
∴ 当 x=-2 时,$y=\frac{1}{4}×(-2)^2=1$;当 x=4 时,$y=\frac{1}{4}×4^2=4$,
∴ 点 A 的坐标为(-2,1),点 B 的坐标为(4,4).设直线 AB 的函数表达式为y=kx+b,把 A,B 点坐标代入,得$\begin{cases}-2k+b=1,\\4k+b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2},\\b=2,\end{cases}$
∴ 直线 AB 的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$.
(2) 6 解析:对于直线 AB:$y=\frac{1}{2}x+2$,当 x=0 时,y=2,
∴ OC=2,
∴ $S_{△AOB}=S_{△AOC}+S_{△BOC}=\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×4=6$.
(3) 4 4 解析:如图,取 OC 的中点 D,则点 D 坐标为(0,1),过点 D 作 AB 的平行线$l_1$,分别交抛物线于点$P_1,P_2$,此时$△P_1AB$的面积和$△P_2AB$的面积都等于$△AOB$的面积的一半;在点 C 上方的 y 轴取一点 E,使得 CE=CD,则点 E 坐标为(0,3),过点 E 作 AB 的平行线$l_2$,分别交抛物线于点$P_3,P_4$,此时$△P_3AB$的面积和$△P_4AB$的面积都等于$△AOB$的面积的一半,
∴ 这样的点 P 共有 4 个.
∵ 直线AB 的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$,$l_1,l_2$与 AB 平行,
∴ 可设$l_1:y=\frac{1}{2}x+b_1$,$l_2:y=\frac{1}{2}x+b_2$,将 D,E 两点坐标分别代入,可得$l_1:y=\frac{1}{2}x+1$,$l_2:y=\frac{1}{2}x+3$.联立$y=\frac{1}{4}x^2$与$y=\frac{1}{2}x+1$可得$\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-1=0$,可得$x_1+x_2=2$,即$P_1,P_2$两点横坐标之和为 2.联立$y=\frac{1}{4}x^2$与$y=\frac{1}{2}x+3$可得$\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-3=0$,可得$x_1+x_2=2$,即$P_3,P_4$两点横坐标之和为 2.故所有满足条件的点 P 的横坐标之和为 2+2=4.