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一、填一填。
1. (1)如图,三角形ABC是(
(2)已知$∠1=30°$,那么$∠2=$(
1. (1)如图,三角形ABC是(
直角
)三角形,BC边上的高是线段(AB
),线段BD是(AC
)边上的高。(2)已知$∠1=30°$,那么$∠2=$(
60
)°。沿着彩线剪下这个三角形的直角,剩余部分的内角和是(360°
)。答案
1.(1)直角 AB AC
解析 根据直角三角形的定义可判断出三角形ABC是直角三角形。与直角边BC相对的顶点是点A，因此直角边BC上的高是线段AB；顶点B的对边是AC边，线段BD是从顶点B到AC边作的垂线段，因此线段BD是AC边上的高。
(2)60 360°
解析 因为∠B是直角，所以∠2=180° - 90° - 30° = 60°。将这个三角形沿着彩线剪下它的直角，剩余部分是一个四边形，所以剩余部分的内角和是360°。
解析 根据直角三角形的定义可判断出三角形ABC是直角三角形。与直角边BC相对的顶点是点A，因此直角边BC上的高是线段AB；顶点B的对边是AC边，线段BD是从顶点B到AC边作的垂线段，因此线段BD是AC边上的高。
(2)60 360°
解析 因为∠B是直角，所以∠2=180° - 90° - 30° = 60°。将这个三角形沿着彩线剪下它的直角，剩余部分是一个四边形，所以剩余部分的内角和是360°。
解析
【分析】
(1) 首先根据直角三角形的定义（有一个角是直角的三角形是直角三角形），观察图形可知∠B是直角，所以三角形ABC是直角三角形。再根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段就是这条边上的高。BC边的对顶点是A，所以BC边上的高是线段AB；线段BD是从顶点B向AC边作的垂线段，因此它是AC边上的高。
(2) 在直角三角形ABC中，三角形内角和为180°，已知∠B是直角（90°），∠1=30°，用内角和减去已知的两个角就能求出∠2的度数。沿着彩线剪下直角后，剩余部分是四边形，根据四边形内角和的知识，可知其内角和为360°。
【解析】
(1) 因为三角形ABC中有一个角是直角（∠B=90°），所以它是直角三角形。
根据三角形高的定义：
BC边的对顶点是A，且AB⊥BC，所以BC边上的高是线段AB；
线段BD⊥AC，所以线段BD是AC边上的高。
(2) 在△ABC中，∠B=90°，∠1=30°，根据三角形内角和为180°，可得：
∠2 = 180° - 90° - 30° = 60°
沿着彩线剪下直角后，剩余部分是四边形，四边形的内角和是360°。
【答案】
(1) 直角；AB；AC
(2) 60；360°
【知识点】
直角三角形的认识；三角形的高；多边形内角和
【点评】
本题主要考查直角三角形的定义、三角形高的概念以及三角形和四边形的内角和知识，属于基础题型，需要学生熟练掌握相关基础概念，理解三角形高的画法和多边形内角和的规律，注重对基础知识的巩固与应用。
【难度系数】
0.8
(1) 首先根据直角三角形的定义（有一个角是直角的三角形是直角三角形），观察图形可知∠B是直角，所以三角形ABC是直角三角形。再根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段就是这条边上的高。BC边的对顶点是A，所以BC边上的高是线段AB；线段BD是从顶点B向AC边作的垂线段，因此它是AC边上的高。
(2) 在直角三角形ABC中，三角形内角和为180°，已知∠B是直角（90°），∠1=30°，用内角和减去已知的两个角就能求出∠2的度数。沿着彩线剪下直角后，剩余部分是四边形，根据四边形内角和的知识，可知其内角和为360°。
【解析】
(1) 因为三角形ABC中有一个角是直角（∠B=90°），所以它是直角三角形。
根据三角形高的定义：
BC边的对顶点是A，且AB⊥BC，所以BC边上的高是线段AB；
线段BD⊥AC，所以线段BD是AC边上的高。
(2) 在△ABC中，∠B=90°，∠1=30°，根据三角形内角和为180°，可得：
∠2 = 180° - 90° - 30° = 60°
沿着彩线剪下直角后，剩余部分是四边形，四边形的内角和是360°。
【答案】
(1) 直角；AB；AC
(2) 60；360°
【知识点】
直角三角形的认识；三角形的高；多边形内角和
【点评】
本题主要考查直角三角形的定义、三角形高的概念以及三角形和四边形的内角和知识，属于基础题型，需要学生熟练掌握相关基础概念，理解三角形高的画法和多边形内角和的规律，注重对基础知识的巩固与应用。
【难度系数】
0.8
2. (1)右面的衣架可以看成是一个(
(2)如果(1)题中的这个三角形最大的内角是$126°$,那么其他两个角分别是(
钝角
)三角形,还可以看成是一个(等腰
)三角形。(2)如果(1)题中的这个三角形最大的内角是$126°$,那么其他两个角分别是(
27
)°和(27
)°。答案
2.(1)钝角 等腰
解析
如图，这个衣架的形状可看作一个三角形，它有一个角是钝角，是钝角三角形；有两条边相等，是等腰三角形。
(2)27 27
解析 这个衣架可看作一个等腰三角形，如果它最大的内角是126°，那么另外两个内角的度数都是(180° - 126°)÷2 = 27°。
解析
【分析】
(1) 先观察衣架的形状特征：从角的角度看，有一个角大于90°，符合钝角三角形的定义；从边的角度看，有两条边长度相等，符合等腰三角形的定义，据此判断三角形类型。
(2) 已知最大内角是126°，结合(1)得出的等腰三角形，可知这个126°的角是等腰三角形的顶角（因为它是最大角，底角不可能大于顶角）。根据三角形内角和为180°，用内角和减去顶角的度数，再除以2，即可求出两个底角的度数。
【解析】
(1) 如图，这个衣架的形状可看作一个三角形，它有一个角是钝角，是钝角三角形；有两条边相等，是等腰三角形。
(2) 这个衣架可看作一个等腰三角形，如果它最大的内角是126°，那么另外两个内角的度数都是$(180° - 126°)÷2 = 27°$。
【答案】
(1) 钝角 等腰
(2) 27 27
【知识点】
三角形的分类、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题结合生活中的常见物品考查三角形的相关知识，需要学生将生活实物转化为几何图形，熟练掌握三角形分类标准和等腰三角形的性质，提升几何直观与知识应用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 先观察衣架的形状特征：从角的角度看，有一个角大于90°，符合钝角三角形的定义；从边的角度看，有两条边长度相等，符合等腰三角形的定义，据此判断三角形类型。
(2) 已知最大内角是126°，结合(1)得出的等腰三角形，可知这个126°的角是等腰三角形的顶角（因为它是最大角，底角不可能大于顶角）。根据三角形内角和为180°，用内角和减去顶角的度数，再除以2，即可求出两个底角的度数。
【解析】
(1) 如图，这个衣架的形状可看作一个三角形，它有一个角是钝角，是钝角三角形；有两条边相等，是等腰三角形。
(2) 这个衣架可看作一个等腰三角形，如果它最大的内角是126°，那么另外两个内角的度数都是$(180° - 126°)÷2 = 27°$。
【答案】
(1) 钝角 等腰
(2) 27 27
【知识点】
三角形的分类、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题结合生活中的常见物品考查三角形的相关知识，需要学生将生活实物转化为几何图形，熟练掌握三角形分类标准和等腰三角形的性质，提升几何直观与知识应用能力。
【难度系数】
0.8
3. 现有3 cm、4 cm、5 cm、7 cm和12 cm长的小棒各1根,从中选3根围成一个三角形。要使它的周长最大,应选择(
4
)cm、(5
)cm和(7
)cm长的小棒。答案
3. 4 5 7
解析 本题考查三角形三边的关系。要使围成的三角形周长最大，那么三角形的三条边要最长。
第一步 看较长的3根小棒：5cm、7cm和12cm，5 + 7 = 12(cm)，12 = 12，不满足三角形三边的关系，因此不能选12cm长的小棒。
第二步 剩下的4根小棒中，3cm、4cm和5cm，3cm、5cm和7cm，4cm、5cm和7cm都满足三角形三边的关系，其中，4cm、5cm和7cm长的小棒围成的三角形的周长最大。
解析 本题考查三角形三边的关系。要使围成的三角形周长最大，那么三角形的三条边要最长。
第一步 看较长的3根小棒：5cm、7cm和12cm，5 + 7 = 12(cm)，12 = 12，不满足三角形三边的关系，因此不能选12cm长的小棒。
第二步 剩下的4根小棒中，3cm、4cm和5cm，3cm、5cm和7cm，4cm、5cm和7cm都满足三角形三边的关系，其中，4cm、5cm和7cm长的小棒围成的三角形的周长最大。
解析
【分析】
我们的目标是选出三根小棒围成周长最大的三角形。首先，周长最大需要优先考虑较长的小棒，但三角形的构成必须满足“任意两边之和大于第三边”这一核心条件。因此，我们可以先尝试最长的三根小棒，验证是否符合三边关系；若不符合，则排除最长的小棒，再从剩余小棒中找出满足三边关系且长度总和最大的组合。
【解析】
本题考查三角形三边的关系，解题步骤如下：
1. 优先尝试最长的三根小棒：5cm、7cm和12cm。根据三角形三边关系，计算较短两边的和：5 + 7 = 12(cm)，两边之和等于第三边，不满足“任意两边之和大于第三边”的条件，因此这三根小棒无法围成三角形，排除12cm的小棒。
2. 在剩余的3cm、4cm、5cm、7cm四根小棒中，能围成三角形的组合有：3cm、4cm、5cm，3cm、5cm、7cm，4cm、5cm、7cm，这三组均满足三角形三边关系。对比三组的周长，4cm、5cm和7cm围成的三角形周长最大（4+5+7=16cm）。
【答案】
4、5、7
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的实际应用，提醒学生不能仅追求小棒长度最长，必须先验证是否符合三角形的构成条件，需要结合“周长最大”的目标和“三边关系”的规则进行筛选，培养学生严谨的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
我们的目标是选出三根小棒围成周长最大的三角形。首先，周长最大需要优先考虑较长的小棒，但三角形的构成必须满足“任意两边之和大于第三边”这一核心条件。因此，我们可以先尝试最长的三根小棒，验证是否符合三边关系；若不符合，则排除最长的小棒，再从剩余小棒中找出满足三边关系且长度总和最大的组合。
【解析】
本题考查三角形三边的关系，解题步骤如下：
1. 优先尝试最长的三根小棒：5cm、7cm和12cm。根据三角形三边关系，计算较短两边的和：5 + 7 = 12(cm)，两边之和等于第三边，不满足“任意两边之和大于第三边”的条件，因此这三根小棒无法围成三角形，排除12cm的小棒。
2. 在剩余的3cm、4cm、5cm、7cm四根小棒中，能围成三角形的组合有：3cm、4cm、5cm，3cm、5cm、7cm，4cm、5cm、7cm，这三组均满足三角形三边关系。对比三组的周长，4cm、5cm和7cm围成的三角形周长最大（4+5+7=16cm）。
【答案】
4、5、7
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的实际应用，提醒学生不能仅追求小棒长度最长，必须先验证是否符合三角形的构成条件，需要结合“周长最大”的目标和“三边关系”的规则进行筛选，培养学生严谨的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
4. 一个直角三角形中,一个锐角的度数是另一个锐角的2倍,这两个锐角分别是(
60
)°和(30
)°。答案
4. 60 30
解析 直角三角形中有1个角是直角，即90°；另外两个锐角的度数和是180° - 90° = 90°。
另一个锐角: └───┘
一个锐角: └───┬───┘ }90°
另一个锐角的度数 = 90°÷3 = 30°
一个锐角的度数 = 30°×2 = 60°
解析 直角三角形中有1个角是直角，即90°；另外两个锐角的度数和是180° - 90° = 90°。
另一个锐角: └───┘
一个锐角: └───┬───┘ }90°
另一个锐角的度数 = 90°÷3 = 30°
一个锐角的度数 = 30°×2 = 60°
解析
【分析】
首先，我们知道直角三角形有一个角是直角，度数为90°。根据三角形内角和是180°，可先算出另外两个锐角的度数和为180°-90°=90°。题目中一个锐角是另一个锐角的2倍，我们可以把较小的锐角看作1份，较大的锐角就是2份，总份数为3份，这3份对应的总度数是90°，先求出1份的度数（即较小锐角的度数），再根据倍数关系求出较大锐角的度数。
【解析】
1. 计算两个锐角的度数和：
因为三角形内角和为180°，直角三角形的直角为90°，所以两个锐角的度数和为：$180° - 90° = 90°$。
2. 分析两个锐角的份数关系：
将较小的锐角看作1份，较大的锐角是它的2倍，即2份，总份数为$1+2=3$份。
3. 计算较小锐角的度数：
较小锐角的度数为：$90°÷3 = 30°$。
4. 计算较大锐角的度数：
较大锐角的度数为：$30°×2 = 60°$。
【答案】
60、30
【知识点】
直角三角形内角和、和倍问题应用
【点评】
本题考查直角三角形的内角性质与和倍问题的结合应用，需先利用三角形内角和定理求出两个锐角的度数和，再通过份数关系求解角度，理清倍数关系是解题核心，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先，我们知道直角三角形有一个角是直角，度数为90°。根据三角形内角和是180°，可先算出另外两个锐角的度数和为180°-90°=90°。题目中一个锐角是另一个锐角的2倍，我们可以把较小的锐角看作1份，较大的锐角就是2份，总份数为3份，这3份对应的总度数是90°，先求出1份的度数（即较小锐角的度数），再根据倍数关系求出较大锐角的度数。
【解析】
1. 计算两个锐角的度数和：
因为三角形内角和为180°，直角三角形的直角为90°，所以两个锐角的度数和为：$180° - 90° = 90°$。
2. 分析两个锐角的份数关系：
将较小的锐角看作1份，较大的锐角是它的2倍，即2份，总份数为$1+2=3$份。
3. 计算较小锐角的度数：
较小锐角的度数为：$90°÷3 = 30°$。
4. 计算较大锐角的度数：
较大锐角的度数为：$30°×2 = 60°$。
【答案】
60、30
【知识点】
直角三角形内角和、和倍问题应用
【点评】
本题考查直角三角形的内角性质与和倍问题的结合应用，需先利用三角形内角和定理求出两个锐角的度数和，再通过份数关系求解角度，理清倍数关系是解题核心，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 如右图,三角形ABC是等边三角形,三角形BCD是等腰三角形。如果所有边的长度都是整厘米数,那么三角形ABC的周长最大是(
69
)cm。答案
5. 69
解析 第一步 根据三角形三边的关系可知，12cm + BC边的长度＞12cm，12cm + 12cm＞BC边的长度，所以等腰三角形BCD中BC边的长度要大于0cm且小于24cm。
第二步 要使等边三角形ABC的周长最大，那么BC边的长度应为最大，是23cm，所以三角形ABC的周长最大是23 + 23 + 23 = 69(cm)。
解析 第一步 根据三角形三边的关系可知，12cm + BC边的长度＞12cm，12cm + 12cm＞BC边的长度，所以等腰三角形BCD中BC边的长度要大于0cm且小于24cm。
第二步 要使等边三角形ABC的周长最大，那么BC边的长度应为最大，是23cm，所以三角形ABC的周长最大是23 + 23 + 23 = 69(cm)。
解析
【分析】
要解决这个问题，需先利用三角形三边关系确定等腰三角形BCD中BC边的取值范围，再结合等边三角形的周长计算方法求出最大周长。首先，等腰三角形BCD中BD=CD=12cm，根据三角形“任意两边之和大于第三边”的性质，可得出BC边的长度限制；由于三角形ABC是等边三角形，其周长为3倍的BC长度，因此要使周长最大，需找到BC能取到的最大整数值，最后计算周长即可。
【解析】
1. 确定BC边的取值范围：
在等腰三角形BCD中，已知BD=CD=12cm，根据三角形三边关系：
任意两边之和大于第三边，可得$12 + 12 ＞ BC$，即$BC ＜ 24\mathrm{cm}$；
同时$BC + 12 ＞ 12$，即$BC ＞ 0\mathrm{cm}$。
又因为所有边的长度都是整厘米数，所以BC最大可取23cm。
2. 计算等边三角形ABC的最大周长：
因为三角形ABC是等边三角形，三条边长度相等，所以周长为$3×BC = 3×23 = 69\mathrm{cm}$。
【答案】
69
【知识点】
三角形三边关系；等边三角形周长计算
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的应用与等边三角形周长的计算，解题关键是明确要使等边三角形周长最大，需先根据三边关系确定等腰三角形中BC边的最大整数值，核心是熟练运用三角形三边关系判断边长的取值范围。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先利用三角形三边关系确定等腰三角形BCD中BC边的取值范围，再结合等边三角形的周长计算方法求出最大周长。首先，等腰三角形BCD中BD=CD=12cm，根据三角形“任意两边之和大于第三边”的性质，可得出BC边的长度限制；由于三角形ABC是等边三角形，其周长为3倍的BC长度，因此要使周长最大，需找到BC能取到的最大整数值，最后计算周长即可。
【解析】
1. 确定BC边的取值范围：
在等腰三角形BCD中，已知BD=CD=12cm，根据三角形三边关系：
任意两边之和大于第三边，可得$12 + 12 ＞ BC$，即$BC ＜ 24\mathrm{cm}$；
同时$BC + 12 ＞ 12$，即$BC ＞ 0\mathrm{cm}$。
又因为所有边的长度都是整厘米数，所以BC最大可取23cm。
2. 计算等边三角形ABC的最大周长：
因为三角形ABC是等边三角形，三条边长度相等，所以周长为$3×BC = 3×23 = 69\mathrm{cm}$。
【答案】
69
【知识点】
三角形三边关系；等边三角形周长计算
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的应用与等边三角形周长的计算，解题关键是明确要使等边三角形周长最大，需先根据三边关系确定等腰三角形中BC边的最大整数值，核心是熟练运用三角形三边关系判断边长的取值范围。
【难度系数】
0.6
二、选一选。
1. 如图,在台风来临前,园林部门对城区的行道树进行加固,这是运用了三角形的(
A.易变性
B.稳定性
C.封闭性
D.唯一性
1. 如图,在台风来临前,园林部门对城区的行道树进行加固,这是运用了三角形的(
B
)。A.易变性
B.稳定性
C.封闭性
D.唯一性
答案
1. B
解析 本题考查三角形的稳定性在现实生活中的应用。支撑架、树木和地面形成了三角形，三角形具有稳定性，可以起到加固的作用，避免台风来临时行道树被台风刮倒。
解析 本题考查三角形的稳定性在现实生活中的应用。支撑架、树木和地面形成了三角形，三角形具有稳定性，可以起到加固的作用，避免台风来临时行道树被台风刮倒。
解析
【分析】
首先回忆三角形的各类特性：三角形具有稳定性，而易变性是四边形的特性，封闭性是所有多边形共有的特性，唯一性并非本题涉及的特性。再观察题目中的加固方式，支撑架、树木与地面形成了三角形结构，其目的是加固行道树，防止台风刮倒，由此思考哪种三角形特性能实现稳固的作用，进而确定答案。
【解析】
从图中可知，行道树的支撑架、树木与地面构成了三角形结构。三角形具有稳定性，这种结构能够增强行道树的稳固性，避免台风来临时树木被刮倒，所以园林部门的这种做法运用了三角形的稳定性，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活实际考查三角形稳定性的应用，需要理解三角形稳定性的特点，同时能将数学知识与生活场景结合，体现了数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.9
首先回忆三角形的各类特性：三角形具有稳定性，而易变性是四边形的特性，封闭性是所有多边形共有的特性，唯一性并非本题涉及的特性。再观察题目中的加固方式，支撑架、树木与地面形成了三角形结构，其目的是加固行道树，防止台风刮倒，由此思考哪种三角形特性能实现稳固的作用，进而确定答案。
【解析】
从图中可知，行道树的支撑架、树木与地面构成了三角形结构。三角形具有稳定性，这种结构能够增强行道树的稳固性，避免台风来临时树木被刮倒，所以园林部门的这种做法运用了三角形的稳定性，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活实际考查三角形稳定性的应用，需要理解三角形稳定性的特点，同时能将数学知识与生活场景结合，体现了数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.9
2. 如图,江江家位于点A处,图书馆位于点B处,江江从家出发去图书馆,按路线(
A.$A \to D \to B$
B.$A \to E \to F \to B$
C.$A \to F \to B$
D.$A \to C \to B$
C
)走最近。A.$A \to D \to B$
B.$A \to E \to F \to B$
C.$A \to F \to B$
D.$A \to C \to B$
答案
2. C
解析 本题考查两点间的距离。江江家到图书馆有4条路线可以走，因为两点间所有连线中线段最短，所以路线A→F→B最近。
解析 本题考查两点间的距离。江江家到图书馆有4条路线可以走，因为两点间所有连线中线段最短，所以路线A→F→B最近。
解析
【分析】
首先回忆两点间距离的核心知识点：两点之间所有连线中，线段最短。接着观察题目中的四条路线：$A \to D \to B$是曲线，$A \to E \to F \to B$是折线，$A \to F \to B$是连接A、B的线段类路线，$A \to C \to B$是折线。结合“两点之间线段最短”的原理，即可判断出最短路线。
【解析】
本题考查两点间的距离。江江家到图书馆有4条路线可选，根据“两点间所有连线中线段最短”的结论，路线$A \to F \to B$是连接A、B两点的线段相关路线，是四条路线里最短的，因此该路线最近。
【答案】
C
【知识点】
两点之间线段最短
【点评】
本题考查几何基础概念，属于入门级题目，只要牢记“两点之间线段最短”的核心知识点，就能快速判断出正确选项。
【难度系数】
0.9
首先回忆两点间距离的核心知识点：两点之间所有连线中，线段最短。接着观察题目中的四条路线：$A \to D \to B$是曲线，$A \to E \to F \to B$是折线，$A \to F \to B$是连接A、B的线段类路线，$A \to C \to B$是折线。结合“两点之间线段最短”的原理，即可判断出最短路线。
【解析】
本题考查两点间的距离。江江家到图书馆有4条路线可选，根据“两点间所有连线中线段最短”的结论，路线$A \to F \to B$是连接A、B两点的线段相关路线，是四条路线里最短的，因此该路线最近。
【答案】
C
【知识点】
两点之间线段最短
【点评】
本题考查几何基础概念，属于入门级题目，只要牢记“两点之间线段最短”的核心知识点，就能快速判断出正确选项。
【难度系数】
0.9
