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4下面是四位同学探究四边形的内角和时的思考过程。
(1)请把C同学的思考过程用算式表示出来:
(2)D同学列出的算式是$180°×3=540°$,对吗？写出你的判断理由。
(1)请把C同学的思考过程用算式表示出来:
$180°×4 - 360° = 360°$
。(2)D同学列出的算式是$180°×3=540°$,对吗？写出你的判断理由。
答案
4. (1)$180°×4 - 360° = 360°$
解析：根据题图，C同学把四边形分成4个三角形，但这4个三角形中，有4个角不是四边形的内角，这4个角组成了一个周角，所以四边形的内角和是$180°×4 - 360° = 360°$。
(2)
如图，$∠1$、$∠2$、$∠3$不是四边形的内角。
$∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°$
因此四边形的内角和是$180°×3 - 180° = 360°$。
答：不对。
(理由表述合理即可)
解析：根据题图，D同学把四边形分成3个三角形，但这3个三角形中，有3个角不是四边形的内角，这3个角组成了一个平角，所以四边形的内角和是$180°×3 - 180° = 360°$。
解析
【分析】
对于(1)：先观察C同学的图形，他将四边形通过两条对角线分成了4个三角形，每个三角形内角和是180°，4个三角形的内角和总和是$180°×4$，但中间的4个角组成了一个周角（360°），这部分角不属于四边形的内角，所以需要用4个三角形的内角和减去这个周角，就能得到四边形的内角和。
对于(2)：观察D同学的图形，他把四边形分成了3个三角形，直接用$180°×3$计算是错误的，因为这3个三角形中有3个角（图中的∠1、∠2、∠3）不是四边形的内角，这3个角组成一个平角（180°），所以要从3个三角形的内角和中减去这个平角，才是四边形的内角和，因此D同学的算式不对。
【解析】
(1) C同学把四边形分割为4个三角形，4个三角形的内角和为$180°×4$，由于中间的4个角构成周角$360°$，这部分不属于四边形内角，因此四边形内角和为：
$180°×4 - 360° = 360°$
(2) 不对。理由：D同学的分割方法中，3个三角形里有3个角（如图中的$∠1$、$∠2$、$∠3$）不是四边形的内角，这3个角的和为$180°$（平角），所以四边形内角和应该是$180°×3 - 180° = 360°$，因此D同学的算式$180°×3=540°$错误。
【答案】
(1) $\boldsymbol{180°×4 - 360° = 360°}$
(2) 不对。理由：
如图，$∠1$、$∠2$、$∠3$不是四边形的内角。
$∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°$
因此四边形的内角和是$180°×3 - 180° = 360°$。
【知识点】
四边形内角和，三角形内角和，平角与周角的认识
【点评】
本题通过不同的图形分割方式，考查对四边形内角和推导过程的理解，需要准确区分分割后哪些角属于四边形的内角，结合三角形内角和及特殊角（平角、周角）的度数进行计算，锻炼几何分析与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
对于(1)：先观察C同学的图形，他将四边形通过两条对角线分成了4个三角形，每个三角形内角和是180°，4个三角形的内角和总和是$180°×4$，但中间的4个角组成了一个周角（360°），这部分角不属于四边形的内角，所以需要用4个三角形的内角和减去这个周角，就能得到四边形的内角和。
对于(2)：观察D同学的图形，他把四边形分成了3个三角形，直接用$180°×3$计算是错误的，因为这3个三角形中有3个角（图中的∠1、∠2、∠3）不是四边形的内角，这3个角组成一个平角（180°），所以要从3个三角形的内角和中减去这个平角，才是四边形的内角和，因此D同学的算式不对。
【解析】
(1) C同学把四边形分割为4个三角形，4个三角形的内角和为$180°×4$，由于中间的4个角构成周角$360°$，这部分不属于四边形内角，因此四边形内角和为：
$180°×4 - 360° = 360°$
(2) 不对。理由：D同学的分割方法中，3个三角形里有3个角（如图中的$∠1$、$∠2$、$∠3$）不是四边形的内角，这3个角的和为$180°$（平角），所以四边形内角和应该是$180°×3 - 180° = 360°$，因此D同学的算式$180°×3=540°$错误。
【答案】
(1) $\boldsymbol{180°×4 - 360° = 360°}$
(2) 不对。理由：
如图，$∠1$、$∠2$、$∠3$不是四边形的内角。
$∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°$
因此四边形的内角和是$180°×3 - 180° = 360°$。
【知识点】
四边形内角和，三角形内角和，平角与周角的认识
【点评】
本题通过不同的图形分割方式，考查对四边形内角和推导过程的理解，需要准确区分分割后哪些角属于四边形的内角，结合三角形内角和及特殊角（平角、周角）的度数进行计算，锻炼几何分析与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
5学习了三角形与四边形的内角和之后,甲、乙、丙三位同学一起探究六边形的内角和,他们的想法如下图。
(1)你明白(
(2)小亮在探究六边形的内角和时,列式为$180°×6-360°$,
请把他的想法在右面的六边形里画出来。
智慧加油站
(1)你明白(
甲
)的想法,根据他的想法,请列式计算六边形的内角和。(2)小亮在探究六边形的内角和时,列式为$180°×6-360°$,
请把他的想法在右面的六边形里画出来。
智慧加油站
答案
5. (1)甲 $180°×4 = 720°$
或乙 $360°×2 = 720°$
或丙 $180°×2 + 360° = 720°$
解析：本题主要考查多边形的内角和。
甲：把六边形分成4个三角形，用三角形的内角和$×4$，得出六边形的内角和。
乙：把六边形分成2个四边形，用四边形的内角和$×2$，得出六边形的内角和。
丙：把六边形分成2个三角形和1个四边形，用三角形的内角和$×2 +$四边形的内角和，得出六边形的内角和。
(2)
(画法不唯一)
解析：解答本题时，从算式本身出发，倒推出每一步或每个数表示的意义，从而在六边形中画出小亮的想法。$180°×6$表示小亮把六边形分成6个三角形，在题图中分一分可以发现，中间的角不是六边形的内角，它们组成了一个周角，所以算出6个三角形的内角和后，再减去一个周角的度数，才是六边形的内角和。
解析
【分析】
对于(1)，我们可以运用转化思想，把六边形转化为已知内角和的三角形或四边形来计算：
甲的思路：将六边形分割成4个三角形，利用三角形内角和为$180°$，用$180°$乘三角形的个数就能得到六边形内角和；
乙的思路：将六边形分割成2个四边形，借助四边形内角和为$360°$，用$360°$乘四边形的个数计算六边形内角和；
丙的思路：将六边形分割成2个三角形和1个四边形，分别计算这几部分的内角和再相加，得到六边形内角和。
对于(2)，观察算式$180°×6-360°$，$180°×6$代表6个三角形的内角和，$360°$是一个周角，说明是在六边形内部选一个点，连接该点与六边形的所有顶点，形成6个三角形，再减去中间不属于六边形内角的周角，据此就能画出对应的图形。
【解析】
(1) 若选择甲的想法：
把六边形分成4个三角形，每个三角形内角和是$180°$，则六边形内角和为：
$180°×4 = 720°$
若选择乙的想法：
把六边形分成2个四边形，每个四边形内角和是$360°$，则六边形内角和为：
$360°×2 = 720°$
若选择丙的想法：
把六边形分成2个三角形和1个四边形，三角形内角和为$180°$，四边形内角和为$360°$，则六边形内角和为：
$180°×2 + 360° = 720°$
(2) 小亮的思路：在六边形内部任选一点，连接该点与六边形的6个顶点，形成6个三角形，6个三角形内角和为$180°×6$，减去中间周角$360°$（这部分不是六边形内角），得到六边形内角和。画法如下：
（画法不唯一）
【答案】
(1) 甲 $180°×4 = 720°$
或乙 $360°×2 = 720°$
或丙 $180°×2 + 360° = 720°$
(2) （画法不唯一）
【知识点】
多边形内角和计算、三角形内角和、四边形内角和
【点评】
本题借助转化思想，将未知的六边形内角和转化为已学的三角形、四边形内角和来求解，同时第二问需要从算式倒推图形，既巩固了多边形内角和的推导方法，又锻炼了学生的正向推理与逆向思维能力。
【难度系数】
0.6
对于(1)，我们可以运用转化思想，把六边形转化为已知内角和的三角形或四边形来计算：
甲的思路：将六边形分割成4个三角形，利用三角形内角和为$180°$，用$180°$乘三角形的个数就能得到六边形内角和；
乙的思路：将六边形分割成2个四边形，借助四边形内角和为$360°$，用$360°$乘四边形的个数计算六边形内角和；
丙的思路：将六边形分割成2个三角形和1个四边形，分别计算这几部分的内角和再相加，得到六边形内角和。
对于(2)，观察算式$180°×6-360°$，$180°×6$代表6个三角形的内角和，$360°$是一个周角，说明是在六边形内部选一个点，连接该点与六边形的所有顶点，形成6个三角形，再减去中间不属于六边形内角的周角，据此就能画出对应的图形。
【解析】
(1) 若选择甲的想法：
把六边形分成4个三角形，每个三角形内角和是$180°$，则六边形内角和为：
$180°×4 = 720°$
若选择乙的想法：
把六边形分成2个四边形，每个四边形内角和是$360°$，则六边形内角和为：
$360°×2 = 720°$
若选择丙的想法：
把六边形分成2个三角形和1个四边形，三角形内角和为$180°$，四边形内角和为$360°$，则六边形内角和为：
$180°×2 + 360° = 720°$
(2) 小亮的思路：在六边形内部任选一点，连接该点与六边形的6个顶点，形成6个三角形，6个三角形内角和为$180°×6$，减去中间周角$360°$（这部分不是六边形内角），得到六边形内角和。画法如下：
（画法不唯一）
【答案】
(1) 甲 $180°×4 = 720°$
或乙 $360°×2 = 720°$
或丙 $180°×2 + 360° = 720°$
(2)
（画法不唯一）【知识点】
多边形内角和计算、三角形内角和、四边形内角和
【点评】
本题借助转化思想，将未知的六边形内角和转化为已学的三角形、四边形内角和来求解，同时第二问需要从算式倒推图形，既巩固了多边形内角和的推导方法，又锻炼了学生的正向推理与逆向思维能力。
【难度系数】
0.6
6按照下图的方法将三角形进行折叠,那么$∠2$是多少度?
第五单元知识梳理
三角形
认识三角形
定义：由3条线段围成的图形(每相邻两条线段的端点相连)叫作三角形。
各部分名称
三角形有3个顶点,3条边,3个角和3条高。
从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线,顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高,这条对边叫作三角形的底。
三角形的稳定性
三角形具有稳定性。
两点间的距离
两点间所有连线中线段最短,这条线段的长度叫作两点间的距离。
三角形三边的关系
三角形任意两边的和大于第三边。
三角形的分类
按角分
定义:三个角都是锐角的三角形。
定义:有一个角是直角的三角形。
定义:有一个角是钝角的三角形。
注意:任意三角形至少有2个锐角。
按边分
定义:两条边相等的三角形。
特征:两个底角相等。
定义:三条边都相等的三角形,又叫作正三角形。
特征:三个角相等,都是$60°$。
内角和
三角形的内角和是$180°$,四边形的内角和是$360°$。
多边形的内角和$=180°×($边数$-2)$
第五单元知识梳理
三角形
认识三角形
定义：由3条线段围成的图形(每相邻两条线段的端点相连)叫作三角形。
各部分名称
三角形有3个顶点,3条边,3个角和3条高。
从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线,顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高,这条对边叫作三角形的底。
三角形的稳定性
三角形具有稳定性。
两点间的距离
两点间所有连线中线段最短,这条线段的长度叫作两点间的距离。
三角形三边的关系
三角形任意两边的和大于第三边。
三角形的分类
按角分
定义:三个角都是锐角的三角形。
定义:有一个角是直角的三角形。
定义:有一个角是钝角的三角形。
注意:任意三角形至少有2个锐角。
按边分
定义:两条边相等的三角形。
特征:两个底角相等。
定义:三条边都相等的三角形,又叫作正三角形。
特征:三个角相等,都是$60°$。
内角和
三角形的内角和是$180°$,四边形的内角和是$360°$。
多边形的内角和$=180°×($边数$-2)$
答案
6. $∠1 = 180° - 90° - 65° = 25°$
方法一：$∠2 = 180° - (180° - 25° - 25°) = 50°$
方法二：$∠2 = 360° - (180° - 25°) - 90° - 65° = 50°$
答：$∠2$是$50°$。
(任选一种方法即可)
解析：方法一
先根据三角形的内角和是$180°$，求出$∠1$和$∠3$的度数。
$∠1 = 180° - 90° - 65° = 25°$
$∠3 = 180° - 25° - 25° = 130°$
再根据平角是$180°$，求出$∠2$的度数。
$∠2 = 180° - 130° = 50°$
方法二
先根据三角形的内角和是$180°$，求出$∠1$的度数。$∠1 = 180° - 90° - 65° = 25°$
再根据平角是$180°$，求出$∠4$的度数。
$∠4 = 180° - 25° = 155°$
最后根据四边形的内角和是$360°$，求出$∠2$的度数。$∠2 = 360° - 155° - 90° - 65° = 50°$
解析
【分析】
首先，折叠前后对应的角是相等的，我们可以先利用三角形内角和为180°求出原三角形中∠1的度数。接下来有两种解题思路：方法一是借助平角为180°的性质，先算出与∠2相邻的角的度数，再用平角减去该角得到∠2；方法二是利用四边形内角和为360°，先算出折叠后旁边的角的度数，再用四边形内角和减去其他三个已知角得到∠2。
【解析】
方法一：
1. 根据三角形内角和是180°，计算∠1的度数：
$∠1 = 180° - 90° - 65° = 25°$
2. 由于折叠前后角相等，折叠后与∠1对应的角也是25°，计算与∠2相邻的角∠3的度数：
$∠3 = 180° - 25° - 25° = 130°$
3. 根据平角是180°，计算∠2的度数：
$∠2 = 180° - 130° = 50°$
方法二：
1. 根据三角形内角和是180°，计算∠1的度数：
$∠1 = 180° - 90° - 65° = 25°$
2. 根据平角是180°，计算∠4的度数：
$∠4 = 180° - 25° = 155°$
3. 根据四边形内角和是360°，计算∠2的度数：
$∠2 = 360° - 155° - 90° - 65° = 50°$
【答案】
$∠2$是$50°$
(任选一种方法即可)
【知识点】
三角形内角和，四边形内角和，平角的性质
【点评】
本题主要考查三角形、四边形内角和以及平角性质的综合应用，同时涉及折叠前后角的相等关系，需要学生灵活运用角度相关知识进行推理计算，有助于提升逻辑思维和角度计算能力。
【难度系数】
0.6
首先，折叠前后对应的角是相等的，我们可以先利用三角形内角和为180°求出原三角形中∠1的度数。接下来有两种解题思路：方法一是借助平角为180°的性质，先算出与∠2相邻的角的度数，再用平角减去该角得到∠2；方法二是利用四边形内角和为360°，先算出折叠后旁边的角的度数，再用四边形内角和减去其他三个已知角得到∠2。
【解析】
方法一：
1. 根据三角形内角和是180°，计算∠1的度数：
$∠1 = 180° - 90° - 65° = 25°$
2. 由于折叠前后角相等，折叠后与∠1对应的角也是25°，计算与∠2相邻的角∠3的度数：
$∠3 = 180° - 25° - 25° = 130°$
3. 根据平角是180°，计算∠2的度数：
$∠2 = 180° - 130° = 50°$
方法二：
1. 根据三角形内角和是180°，计算∠1的度数：
$∠1 = 180° - 90° - 65° = 25°$
2. 根据平角是180°，计算∠4的度数：
$∠4 = 180° - 25° = 155°$
3. 根据四边形内角和是360°，计算∠2的度数：
$∠2 = 360° - 155° - 90° - 65° = 50°$
【答案】
$∠2$是$50°$
(任选一种方法即可)
【知识点】
三角形内角和，四边形内角和，平角的性质
【点评】
本题主要考查三角形、四边形内角和以及平角性质的综合应用，同时涉及折叠前后角的相等关系，需要学生灵活运用角度相关知识进行推理计算，有助于提升逻辑思维和角度计算能力。
【难度系数】
0.6
