5. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC = 70^{\circ}$，$∠ B = 50^{\circ}$，$AP$平分$△ ABC$的外角$∠ CAE$，$CP$平分$△ ABC$的外角$∠ ACD$，则$∠ P$的度数为.

5. 65° 解析：
∵ ∠BAC = 70°，∠B = 50°，
∴ ∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠B = 180° - 70° - 50° = 60°，
∴ ∠ACD = 180° - ∠ACB = 180° - 60° = 120°．
∵ CP 平分 ∠ACD，
∴ ∠ACP = $\frac{1}{2}$∠ACD = 60°．同理可得 ∠CAP = 55°，
∴ ∠P = 180° - ∠ACP - ∠CAP = 180° - 60° - 55° = 65°．

6. 如图，直线$l$与直角$∠ MAN$相交于点$B$、$C$，$BP$、$CP$分别平分$∠ MBC$、$∠ NCB$.
(1)$∠ BPC$的度数为.
(2)若$BQ$、$CQ$分别平分$∠ PBC$、$∠ PCB$，则$∠ BQC$的度数为.

6. (1) 45° 解析：根据题意，得 ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 90° = 90°，
∴ ∠MBC + ∠NCB = 360° - (∠ABC + ∠ACB) = 270°．
∵ BP、CP 分别平分 ∠MBC、∠NCB，
∴ ∠PBC + ∠PCB = $\frac{1}{2}$(∠MBC + ∠NCB) = 135°，
∴ ∠BPC = 180° - (∠PBC + ∠PCB) = 180° - 135° = 45°． (2) 112.5° 解析：由 (1)，得 ∠PBC + ∠PCB = 135°．又
∵ BQ、CQ 分别平分 ∠PBC、∠PCB，
∴ ∠QBC + ∠QCB = $\frac{1}{2}$(∠PBC + ∠PCB) = 67.5°，
∴ ∠BQC = 180° - (∠QBC + ∠QCB) = 180° - 67.5° = 112.5°．

7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$与外角$∠ ACD$的平分线相交于点$O$.
(1)若$∠ ABC = 60^{\circ}$，$∠ ACB = 70^{\circ}$，则$∠ BOC$的度数为.
(2)请探究$∠ BOC$和$∠ BAC$之间的数量关系，并说明理由.

7. (1) 25° 解析：
∵ ∠ACB = 70°，
∴ ∠ACD = 180° - ∠ACB = 180° - 70° = 110°．
∵ BO 平分 ∠ABC，CO 平分 ∠ACD，∠ABC = 60°，
∴ ∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°，∠OCD = $\frac{1}{2}$∠ACD = $\frac{1}{2}$×110° = 55°，
∴ ∠BOC = ∠OCD - ∠OBC = 55° - 30° = 25°． (2) ∠BOC = $\frac{1}{2}$∠BAC．理由如下：设 ∠ABC = x°，∠ACB = y°．在 △ABC 中，∠BAC = (180 - x - y)°．
∵ BO 平分 ∠ABC，
∴ ∠OBC = ($\frac{1}{2}$x)°．
∵ CO 平分 ∠ACD，
∴ ∠OCD = $\frac{1}{2}$(180 - y)°，
∴ ∠BOC = ∠OCD - ∠OBC = $\frac{1}{2}$(180 - y)° - ($\frac{1}{2}$x)° = $\frac{1}{2}$(180 - y - x)° = $\frac{1}{2}$∠BAC．

8. 小新在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧：
在$△ ABC$中，$∠ ABC$、$∠ ACB$的平分线相交于点$P$.
(1)如图 1，如果$∠ A = 80^{\circ}$，求$∠ P$的度数.
(2)在(1)的条件下，如图 2，作$△ ABC$的外角$∠ MBC$、$∠ NCB$的平分线交于点$Q$，求$∠ Q$的度数.
(3)如图 3，作$△ ABC$的外角$∠ MBC$、$∠ NCB$的平分线交于点$Q$，延长线段$BP$、$QC$交于点$E$，在$△ BQE$中，是否存在一个内角等于另一个内角的$2$倍？若存在，直接写出$∠ A$的度数；若不存在，请说明理由.

8. (1)
∵ ∠A = 80°，
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 100°．
∵ ∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 P，
∴ ∠PBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴ ∠PBC + ∠PCB = $\frac{1}{2}$∠ABC + $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = 50°，
∴ ∠P = 180° - (∠PBC + ∠PCB) = 130°． (2) 由 (1) 知 ∠ABC + ∠ACB = 100°，
∴ 180° - ∠MBC + 180° - ∠NCB = 100°，
∴ ∠MBC + ∠NCB = 260°．
∵ ∠MBC、∠NCB 的平分线交于点 Q，
∴ ∠QBC = $\frac{1}{2}$∠MBC，∠QCB = $\frac{1}{2}$∠NCB，
∴ ∠QBC + ∠QCB = $\frac{1}{2}$∠MBC + $\frac{1}{2}$∠NCB = $\frac{1}{2}$(∠MBC + ∠NCB) = 130°，
∴ ∠Q = 180° - (∠QBC + ∠QCB) = 50°． (3) 在 △BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的 2 倍，∠A 的度数为 60°或 90°或 120°．理由如下：由 (2) 知，∠Q = 180° - (∠QBC + ∠QCB) = 180° - $\frac{1}{2}$(∠MBC + ∠NCB) = 180° - $\frac{1}{2}$(180° + ∠A) = 90° - $\frac{1}{2}$∠A．
∵ ∠QCB = $\frac{1}{2}$∠NCB，∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，
∴ ∠E = ∠QCB - ∠EBC = $\frac{1}{2}$∠NCB - $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$(∠NCB - ∠ABC) = $\frac{1}{2}$∠A．
∵ BP 平分 ∠ABC，BQ 平分 ∠MBC，
∴ ∠PBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠QBC = $\frac{1}{2}$∠MBC，
∴ ∠PBQ = ∠PBC + ∠QBC = $\frac{1}{2}$∠ABC + $\frac{1}{2}$∠MBC = $\frac{1}{2}$×180° = 90°．如果 △BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的 2 倍，那么分四种情况：① 当 ∠EBQ = 2∠E = 90°时，∠E = 45°，
∴ ∠A = 90°；② 当 ∠EBQ = 2∠Q = 90°时，∠Q = 45°，
∴ ∠E = 45°，
∴ ∠A = 90°；③ 当 ∠Q = 2∠E 时，∠E = $\frac{1}{1 + 2}$×90° = 30°，
∴ ∠A = 60°；④ 当 ∠E = 2∠Q 时，∠E = $\frac{2}{1 + 2}$×90° = 60°，
∴ ∠A = 120°．综上所述，当 ∠A 的度数为 60°或 90°或 120°时，△BQE 中存在一个内角等于另一个内角的 2 倍．