1. 如图，在$△ ABC$中，$CD$平分$∠ ACB$交$AB$于点$D$，$AH⊥ BC$，且$∠ ACB = 70^{\circ}$，$∠ ADC = 80^{\circ}$.
(1)求$∠ BAC$的度数.
(2)求$∠ BAH$的度数.

1. (1)
∵ CD 平分 ∠ACB，∠ACB = 70°，
∴ ∠ACD = $\frac{1}{2}$∠ACB = 35°．
∵ ∠ADC = 80°，
∴ ∠BAC = 180° - ∠ACD - ∠ADC = 180° - 35° - 80° = 65°． (2) 由 (1)，得 ∠BAC = 65°．
∵ AH⊥BC，
∴ ∠AHC = 90°，
∴ ∠HAC = 90° - ∠ACB = 90° - 70° = 20°，
∴ ∠BAH = ∠BAC - ∠HAC = 65° - 20° = 45°．

2. (1)如图 1，在$△ ABC$中，$AD⊥ BC$，$AE$是$∠ BAC$的平分线，若$∠ B = 20^{\circ}$，$∠ C = 60^{\circ}$，求$∠ DAE$的度数.
(2)如图 2，已知$AF$平分$∠ BAC$交边$BC$于点$E$，过点$F$作$FD⊥ BC$于点$D$，$∠ B = x^{\circ}$，$∠ C = (x + 30)^{\circ}$.
①$∠ BAC =$；(用含$x$的式子表示)
②$∠ F$的度数是否为定值？若是，直接写出$∠ F$的度数；若不是，请说明理由.

2. (1)
∵ ∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，∠B = 20°，∠C = 60°，
∴ ∠BAC = 180° - 20° - 60° = 100°．
∵ AE 是 ∠BAC 的平分线，
∴ ∠BAE = ∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = 50°．
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADC = ∠ADB = 90°，
∴ ∠CAD = 90° - ∠C = 30°，
∴ ∠DAE = ∠CAE - ∠CAD = 50° - 30° = 20°． (2) ① 150° - 2x° ② ∠F 的度数是定值，∠F = 15°，理由如下：
∵ AF 平分 ∠BAC，
∴ ∠CAF = ∠BAF = $\frac{1}{2}$∠BAC = 75° - x°．
∵ FD⊥BC，
∴ ∠EDF = 90°．
∵ ∠F + ∠EDF + ∠DEF = 180° = ∠C + ∠AEC + ∠CAE，而 ∠DEF = ∠AEC，
∴ ∠F + ∠EDF = ∠C + ∠CAE，即 ∠F + 90° = (x + 30)° + 75° - x°，
∴ ∠F = 15°．

3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线相交于点$P$.
(1)若$∠ ABC = 50^{\circ}$，$∠ ACB = 70^{\circ}$，则$∠ A$的度数为.
(2)若$∠ A = 80^{\circ}$，则$∠ BPC$的度数为.
(3)试直接写出$∠ DPC$与$∠ A$之间的数量关系：$∠ DPC =$.

3. (1) 60° 解析：
∵ ∠ABC = 50°，∠ACB = 70°，
∴ ∠A = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 50° - 70° = 60°． (2) 130° 解析：
∵ ∠ABC 与 ∠ACB 的平分线相交于点 P，
∴ ∠1 = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠2 = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴ ∠BPC = 180° - ∠1 - ∠2 = 180° - $\frac{1}{2}$∠ABC - $\frac{1}{2}$∠ACB = 180° - $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB)．
∵ ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A，
∴ ∠BPC = 180° - $\frac{1}{2}$×(180° - ∠A) = 90° + $\frac{1}{2}$∠A．
∵ ∠A = 80°，
∴ ∠BPC = 90° + $\frac{1}{2}$×80° = 130°． (3) 90° - $\frac{1}{2}$∠A 解析：由 (2)，得 ∠BPC = 90° + $\frac{1}{2}$∠A，
∴ ∠DPC = 180° - ∠BPC = 180° - (90° + $\frac{1}{2}$∠A) = 90° - $\frac{1}{2}$∠A．

4. 如图，在$△ ABC$中，点$D$、$E$分别在边$AC$、$AB$上，$BD$、$CE$相交于点$O$.若$∠ 1 = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ 2 = \frac{1}{2}∠ ACB$，则$∠ BOC$的大小与$∠ A$的大小有什么关系？若$∠ 1 = \frac{1}{3}∠ ABC$，$∠ 2 = \frac{1}{3}∠ ACB$，则$∠ BOC$与$∠ A$的大小关系如何？若$∠ 1 = \frac{1}{n}∠ ABC$，$∠ 2 = \frac{1}{n}∠ ACB$，则$∠ BOC$与$∠ A$的大小关系如何？

4.
∵ ∠1 = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠2 = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴ ∠BOC = 180° - (∠1 + ∠2) = 180° - $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = 180° - $\frac{1}{2}$(180° - ∠A)，即 ∠BOC = 90° + $\frac{1}{2}$∠A；
∵ ∠1 = $\frac{1}{3}$∠ABC，∠2 = $\frac{1}{3}$∠ACB，
∴ ∠BOC = 180° - (∠1 + ∠2) = 180° - $\frac{1}{3}$(∠ABC + ∠ACB) = 180° - $\frac{1}{3}$(180° - ∠A)，即 ∠BOC = 120° + $\frac{1}{3}$∠A；
∵ ∠1 = $\frac{1}{n}$∠ABC，∠2 = $\frac{1}{n}$∠ACB，
∴ ∠BOC = 180° - (∠1 + ∠2) = 180° - $\frac{1}{n}$(∠ABC + ∠ACB) = 180° - $\frac{1}{n}$(180° - ∠A)，即 ∠BOC = $\frac{n - 1}{n}$×180° + $\frac{1}{n}$∠A．