43. 化简求值.
(1)已知 $x=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5}),y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})$,求 $x^2 -xy +y^2$ 的值；
(2)当 $a=4+\sqrt{15},b=4-\sqrt{15}$ 时,求 $a^2 +5ab +b^2 -3a -3b$ 的值.

解：
(1) 先计算$x+y$与$xy$的值：
$\because x=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5}),y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})$
$\therefore x+y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})+\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=\sqrt{7}$
$xy=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})·\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=\frac{1}{4}×[(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2]=\frac{1}{4}×(7-5)=\frac{1}{2}$
$\therefore x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=(\sqrt{7})^2 - 3×\frac{1}{2}=7-\frac{3}{2}=\frac{11}{2}$
(2) 先计算$a+b$与$ab$的值：
$\because a=4+\sqrt{15},b=4-\sqrt{15}$
$\therefore a+b=(4+\sqrt{15})+(4-\sqrt{15})=8$
$ab=(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})=4^2-(\sqrt{15})^2=16-15=1$
$\therefore a^2+5ab+b^2-3a-3b$
$=(a+b)^2 + 3ab - 3(a+b)$
$=8^2 + 3×1 - 3×8$
$=64+3-24$
$=43$

【分析】
这两道题都属于二次根式的化简求值问题，若直接将字母的取值代入待求式计算，运算量大且容易出错。观察待求式的结构，均为关于两个字母的对称式，因此可以先计算出两个字母的和与积，再利用完全平方公式将待求式变形为只含两数和、两数积的形式，最后整体代入计算即可，能大幅简化运算过程。
【解析】
(1) 先计算$x+y$与$xy$的值：
$\because x=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5}),y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})$
$\therefore x+y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})+\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=\sqrt{7}$
$xy=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})·\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=\frac{1}{4}×[(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2]=\frac{1}{4}×(7-5)=\frac{1}{2}$
将待求式变形：$x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy$
代入数值计算：原式$=(\sqrt{7})^2 - 3×\frac{1}{2}=7-\frac{3}{2}=\frac{11}{2}$
(2) 先计算$a+b$与$ab$的值：
$\because a=4+\sqrt{15},b=4-\sqrt{15}$
$\therefore a+b=(4+\sqrt{15})+(4-\sqrt{15})=8$
$ab=(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})=4^2-(\sqrt{15})^2=16-15=1$
将待求式变形：
$a^2+5ab+b^2-3a-3b=(a+b)^2 + 3ab - 3(a+b)$
代入数值计算：
原式$=8^2 + 3×1 - 3×8=64+3-24=43$
【答案】
(1) $\frac{11}{2}$；(2) $43$
【知识点】
二次根式运算，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查二次根式的化简求值，核心技巧是利用对称式的特点，先计算两数和与积，结合完全平方公式对待求式恒等变形后整体代入，有效降低运算难度，避免直接代入的复杂计算。
【难度系数】
0.7

44. 计算: $(2\sqrt{5} + 1)(\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + $$ + \dots + \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}})$

解：
先对和式中的每一项进行分母有理化：
对任意正整数$n$，有
$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
因此计算括号内的和：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\\=&(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})\\=&\sqrt{100}-1\\=&10-1\\=&9\end{aligned}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(2\sqrt{5}+1)×9\\&=18\sqrt{5}+9\end{aligned}$
最终结果：$\boldsymbol{18\sqrt{5}+9}$

【分析】
拿到这道题首先观察式子结构，括号内的每一项都是分母为两个二次根式相加的分式，直接通分计算过于繁琐，因此优先考虑对每一项做分母有理化：利用平方差公式，给分子分母同乘分母的有理化因式（两个根式的差），可将每一项拆成两个二次根式的差，相邻项相加时中间项会相互抵消（即裂项相消），先求出括号内的和，再与括号外的$(2\sqrt{5}+1)$相乘即可得到结果。
【解析】
1. 先对括号内的每一项分母有理化：
对任意正整数$n$，$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$的有理化因式为$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，因此：
$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（分母用平方差公式计算后结果为1）
2. 计算括号内的和：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\\=&(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})\end{aligned}$
观察上式，$\sqrt{2}$与$-\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$与$-\sqrt{3}$……$\sqrt{99}$与$-\sqrt{99}$均相互抵消，仅剩首尾两项：
$\sqrt{100}-1=10-1=9$
3. 代入原式计算最终结果：
$\begin{aligned}原式&=(2\sqrt{5}+1)×9\\&=2\sqrt{5}×9+1×9\\&=18\sqrt{5}+9\end{aligned}$
【答案】
$18\sqrt{5}+9$
【知识点】
分母有理化，二次根式混合运算，裂项相消法
【点评】
本题是二次根式运算的经典题型，核心考查分母有理化的方法和裂项相消的运算技巧，通过拆分分式简化求和过程，能够有效锻炼学生观察式子结构、选择简便运算方法的能力。
【难度系数】
0.7

45. 已知$4x^2 + y^2 - 4x - 6y + 10 = 0$，求$\frac{2}{3}x\sqrt{9x} - 5x\sqrt{\frac{y}{x}}$的值。

解：
对已知等式配方变形：
$\begin{aligned}4x^2 + y^2 -4x -6y +10 &= 0\\(4x^2 -4x +1) + (y^2 -6y +9) &= 0\\(2x-1)^2 + (y-3)^2 &= 0\end{aligned}$
由平方数的非负性可知：$(2x-1)^2≥0$，$(y-3)^2≥0$，
因此$2x-1=0$，$y-3=0$，
解得$x=\frac{1}{2}$，$y=3$。
化简所求代数式：
$\begin{aligned}\frac{2}{3}x\sqrt{9x} -5x\sqrt{\frac{y}{x}}&=\frac{2}{3}x· 3\sqrt{x} -5x· \frac{\sqrt{xy}}{x}\\&=2x\sqrt{x} -5\sqrt{xy}\end{aligned}$
将$x=\frac{1}{2}$，$y=3$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×\frac{1}{2}×\sqrt{\frac{1}{2}} -5\sqrt{\frac{1}{2}×3}\\&=\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{5\sqrt{6}}{2}\\&=\frac{\sqrt{2}-5\sqrt{6}}{2}\end{aligned}$

【分析】
解题思路分为三步：第一步处理已知等式，观察到等式左边是含x、y的二次多项式，可通过拆项分组配成完全平方的形式，再利用平方数的非负性（两个非负数相加为0则各自为0）求出x、y的值；第二步化简所求的二次根式代数式，先将二次根式化为最简形式，减少后续计算量；第三步将求出的x、y代入化简后的式子，计算最终结果。
【解析】
对已知等式配方变形：
$\begin{aligned}4x^2 + y^2 -4x -6y +10 &= 0\\(4x^2 -4x +1) + (y^2 -6y +9) &= 0\\(2x-1)^2 + (y-3)^2 &= 0\end{aligned}$
由平方数的非负性可知：$(2x-1)^2≥0$，$(y-3)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此$2x-1=0$，$y-3=0$，
解得$x=\frac{1}{2}$，$y=3$。
化简所求代数式：
$\begin{aligned}\frac{2}{3}x\sqrt{9x} -5x\sqrt{\frac{y}{x}}&=\frac{2}{3}x· 3\sqrt{x} -5x· \frac{\sqrt{xy}}{x}\\&=2x\sqrt{x} -5\sqrt{xy}\end{aligned}$
将$x=\frac{1}{2}$，$y=3$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×\frac{1}{2}×\sqrt{\frac{1}{2}} -5\sqrt{\frac{1}{2}×3}\\&=\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{5\sqrt{6}}{2}\\&=\frac{\sqrt{2}-5\sqrt{6}}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{\sqrt{2}-5\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
1. 配方法 2. 非负数的性质 3. 二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的经典综合题，既考查了代数式变形的配方法技巧，也涉及非负性的应用和二次根式的化简运算，解题时先求未知数值再化简代入的思路能有效降低计算错误率，需注意二次根式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.6