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46. 阅读素材,解决下列问题.
核心素养:模型观念、应用意识、运算能力.
素材
书籍和纸张的长与宽都有固定的规格,表1和表2给出了两种常用纸张的规格.(单位:mm×mm)
表1
A型 宽×长
A5 148×210
A4 210×297
A3 297×420
A2 420×594
A1 594×841
表2
B型 宽×长
B5 182×257
B4 257×364
B3 364×515
B2 515×728
B1 728×1 030
问题解决
任务1
(1)①使用计算器求出素材中各规格纸张长与宽的比值为(保留两位小数);
②通过查阅资料,可知系列纸的长与宽的比值为一个固定的无理数.请你猜想这个无理数是.
任务2
(2)如图1所示,长方形纸片ABCD的长与宽的比值为$\sqrt{2}$.
①如图2所示,若E,F分别是长边AD,BC的中点,将纸片ABCD沿直线EF对折,得到的长方形ABFE是否仍为“长与宽的比值为$\sqrt{2}$的长方形”?为什么?
②若按图3所示的方式折叠纸片ABCD,长方形GHID是否仍为“长与宽的比值为$\sqrt{2}$的长方形”?为什么?
9
核心素养:模型观念、应用意识、运算能力.
素材
书籍和纸张的长与宽都有固定的规格,表1和表2给出了两种常用纸张的规格.(单位:mm×mm)
表1
A型 宽×长
A5 148×210
A4 210×297
A3 297×420
A2 420×594
A1 594×841
表2
B型 宽×长
B5 182×257
B4 257×364
B3 364×515
B2 515×728
B1 728×1 030
问题解决
任务1
(1)①使用计算器求出素材中各规格纸张长与宽的比值为(保留两位小数);
②通过查阅资料,可知系列纸的长与宽的比值为一个固定的无理数.请你猜想这个无理数是.
任务2
(2)如图1所示,长方形纸片ABCD的长与宽的比值为$\sqrt{2}$.
①如图2所示,若E,F分别是长边AD,BC的中点,将纸片ABCD沿直线EF对折,得到的长方形ABFE是否仍为“长与宽的比值为$\sqrt{2}$的长方形”?为什么?
②若按图3所示的方式折叠纸片ABCD,长方形GHID是否仍为“长与宽的比值为$\sqrt{2}$的长方形”?为什么?
9
答案
解：
(1)① 计算各规格纸张长与宽的比值，保留两位小数均为$\boldsymbol{1.41}$；
② 猜想这个无理数是$\boldsymbol{\sqrt{2}}$。
(2)① 是，理由如下：
设$AB = a$，由题意得$\dfrac{AD}{AB} = \sqrt{2}$，因此$AD = \sqrt{2}a$。
因为$E$是$AD$的中点，所以$AE = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{\sqrt{2}a}{2}$。
长方形$ABFE$的长为$AB = a$，宽为$AE = \dfrac{\sqrt{2}a}{2}$，
长与宽的比值为$\dfrac{a}{\dfrac{\sqrt{2}a}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，
因此得到的长方形$ABFE$仍是长与宽的比值为$\sqrt{2}$的长方形。
② 是，理由如下：
设$AB = a$，则$CD = a$，由题意得$AD = \sqrt{2}a$。
由折叠的性质可知$AG = AB = a$，
所以$GD = AD - AG = \sqrt{2}a - a$。
由折叠的性质可知，$CH = CD = a$，且$CG = BC = \sqrt{2}a$，因此$HG = CG - CH = \sqrt{2}a - a$。
因为四边形$GHID$是长方形，所以$DI = GH$，且$∠ GHI = 90°$，$△ GHI$为等腰直角三角形，可得$HI = \sqrt{2}DI$，即$GD = \sqrt{2}DI$，
因此长与宽的比值为$\dfrac{GD}{DI} = \sqrt{2}$，
因此长方形$GHID$仍是长与宽的比值为$\sqrt{2}$的长方形。
(1)① 计算各规格纸张长与宽的比值，保留两位小数均为$\boldsymbol{1.41}$；
② 猜想这个无理数是$\boldsymbol{\sqrt{2}}$。
(2)① 是，理由如下：
设$AB = a$，由题意得$\dfrac{AD}{AB} = \sqrt{2}$，因此$AD = \sqrt{2}a$。
因为$E$是$AD$的中点，所以$AE = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{\sqrt{2}a}{2}$。
长方形$ABFE$的长为$AB = a$，宽为$AE = \dfrac{\sqrt{2}a}{2}$，
长与宽的比值为$\dfrac{a}{\dfrac{\sqrt{2}a}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，
因此得到的长方形$ABFE$仍是长与宽的比值为$\sqrt{2}$的长方形。
② 是，理由如下：
设$AB = a$，则$CD = a$，由题意得$AD = \sqrt{2}a$。
由折叠的性质可知$AG = AB = a$，
所以$GD = AD - AG = \sqrt{2}a - a$。
由折叠的性质可知，$CH = CD = a$，且$CG = BC = \sqrt{2}a$，因此$HG = CG - CH = \sqrt{2}a - a$。
因为四边形$GHID$是长方形，所以$DI = GH$，且$∠ GHI = 90°$，$△ GHI$为等腰直角三角形，可得$HI = \sqrt{2}DI$，即$GD = \sqrt{2}DI$，
因此长与宽的比值为$\dfrac{GD}{DI} = \sqrt{2}$，
因此长方形$GHID$仍是长与宽的比值为$\sqrt{2}$的长方形。
解析
【分析】
任务1：①直接对每个规格纸张的长除以宽进行计算，将结果保留两位小数即可得到统一的比值；②结合计算出的比值约为1.41，回忆常见无理数的近似值，√2≈1.414，即可猜想出对应的无理数。
任务2：两个小问都通过设参数的方法推导：先设原长方形的宽AB为a，根据原长方形长宽比为√2表示出长AD的长度。①先求出对折后长方形ABFE的长和宽，再计算二者的比值，判断是否为√2即可；②利用折叠前后对应边相等的性质，先求出长方形GHID的长和宽，再计算二者的比值，判断是否为√2即可。
【解析】
(1)①分别计算各规格纸张长与宽的比值：
A5：210÷148≈1.41，A4：297÷210≈1.41，A3：420÷297≈1.41，A2：594÷420≈1.41，A1：841÷594≈1.41；
B5：257÷182≈1.41，B4：364÷257≈1.41，B3：515÷364≈1.41，B2：728÷515≈1.41，B1：1030÷728≈1.41，故保留两位小数均为1.41。
②因为√2≈1.414，与计算结果接近，故猜想这个无理数是√2。
(2)①是，理由如下：
设$AB = a$，由题意得$\dfrac{AD}{AB} = \sqrt{2}$，因此$AD = \sqrt{2}a$。
因为$E$是$AD$的中点，所以$AE = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{\sqrt{2}a}{2}$。
长方形$ABFE$的长为$AB = a$，宽为$AE = \dfrac{\sqrt{2}a}{2}$，
长与宽的比值为$\dfrac{a}{\dfrac{\sqrt{2}a}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，
因此得到的长方形$ABFE$仍是长与宽的比值为$\sqrt{2}$的长方形。
②是，理由如下：
设$AB = a$，则$CD = a$，由题意得$AD = \sqrt{2}a$。
由折叠的性质可知$AG = AB = a$，
所以$GD = AD - AG = \sqrt{2}a - a$。
由折叠的性质可知，$CH = CD = a$，且$CG = BC = \sqrt{2}a$，因此$HG = CG - CH = \sqrt{2}a - a$。
因为四边形$GHID$是长方形，所以$DI = GH$，且$∠ GHI = 90°$，$△ GHI$为等腰直角三角形，可得$HI = \sqrt{2}DI$，即$GD = \sqrt{2}DI$，
因此长与宽的比值为$\dfrac{GD}{DI} = \sqrt{2}$，
因此长方形$GHID$仍是长与宽的比值为$\sqrt{2}$的长方形。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{1.41}$；②$\boldsymbol{\sqrt{2}}$
(2)①是，理由见解析；②是，理由见解析
【知识点】
二次根式运算、矩形的性质、折叠的性质
【点评】
本题结合生活中常见的纸张规格设置问题，将无理数的认识、矩形性质、折叠变换与二次根式运算相结合，既贴近生活实际，又能有效考查学生对基础知识的综合应用能力，引导学生学会用数学知识解决生活中的实际问题。
【难度系数】
0.7
任务1：①直接对每个规格纸张的长除以宽进行计算，将结果保留两位小数即可得到统一的比值；②结合计算出的比值约为1.41，回忆常见无理数的近似值，√2≈1.414，即可猜想出对应的无理数。
任务2：两个小问都通过设参数的方法推导：先设原长方形的宽AB为a，根据原长方形长宽比为√2表示出长AD的长度。①先求出对折后长方形ABFE的长和宽，再计算二者的比值，判断是否为√2即可；②利用折叠前后对应边相等的性质，先求出长方形GHID的长和宽，再计算二者的比值，判断是否为√2即可。
【解析】
(1)①分别计算各规格纸张长与宽的比值：
A5：210÷148≈1.41，A4：297÷210≈1.41，A3：420÷297≈1.41，A2：594÷420≈1.41，A1：841÷594≈1.41；
B5：257÷182≈1.41，B4：364÷257≈1.41，B3：515÷364≈1.41，B2：728÷515≈1.41，B1：1030÷728≈1.41，故保留两位小数均为1.41。
②因为√2≈1.414，与计算结果接近，故猜想这个无理数是√2。
(2)①是，理由如下：
设$AB = a$，由题意得$\dfrac{AD}{AB} = \sqrt{2}$，因此$AD = \sqrt{2}a$。
因为$E$是$AD$的中点，所以$AE = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{\sqrt{2}a}{2}$。
长方形$ABFE$的长为$AB = a$，宽为$AE = \dfrac{\sqrt{2}a}{2}$，
长与宽的比值为$\dfrac{a}{\dfrac{\sqrt{2}a}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，
因此得到的长方形$ABFE$仍是长与宽的比值为$\sqrt{2}$的长方形。
②是，理由如下：
设$AB = a$，则$CD = a$，由题意得$AD = \sqrt{2}a$。
由折叠的性质可知$AG = AB = a$，
所以$GD = AD - AG = \sqrt{2}a - a$。
由折叠的性质可知，$CH = CD = a$，且$CG = BC = \sqrt{2}a$，因此$HG = CG - CH = \sqrt{2}a - a$。
因为四边形$GHID$是长方形，所以$DI = GH$，且$∠ GHI = 90°$，$△ GHI$为等腰直角三角形，可得$HI = \sqrt{2}DI$，即$GD = \sqrt{2}DI$，
因此长与宽的比值为$\dfrac{GD}{DI} = \sqrt{2}$，
因此长方形$GHID$仍是长与宽的比值为$\sqrt{2}$的长方形。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{1.41}$；②$\boldsymbol{\sqrt{2}}$
(2)①是，理由见解析；②是，理由见解析
【知识点】
二次根式运算、矩形的性质、折叠的性质
【点评】
本题结合生活中常见的纸张规格设置问题，将无理数的认识、矩形性质、折叠变换与二次根式运算相结合，既贴近生活实际，又能有效考查学生对基础知识的综合应用能力，引导学生学会用数学知识解决生活中的实际问题。
【难度系数】
0.7
