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1. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是()
A.25
B.14
C.7
D.7或25
A.25
B.14
C.7
D.7或25
答案
D
解析
【分析】
题目给出直角三角形的两边长但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：①3和4均为直角边；②4为斜边、3为直角边，再结合勾股定理分别计算第三边长的平方即可。
【解析】
分两种情况计算：
① 当长为3和4的边都是直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理：
第三边长的平方 = $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
② 当长为4的边是斜边，长为3的边是直角边时，第三边为另一条直角边，根据勾股定理：
第三边长的平方 = $4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$
综上，第三边长的平方是7或25。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题考查勾股定理的应用，易错点是默认3和4都是直角边，漏算4为斜边的情况，解题时遇到未明确直角边、斜边的直角三角形边长问题，要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
题目给出直角三角形的两边长但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：①3和4均为直角边；②4为斜边、3为直角边，再结合勾股定理分别计算第三边长的平方即可。
【解析】
分两种情况计算：
① 当长为3和4的边都是直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理：
第三边长的平方 = $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
② 当长为4的边是斜边，长为3的边是直角边时，第三边为另一条直角边，根据勾股定理：
第三边长的平方 = $4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$
综上，第三边长的平方是7或25。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题考查勾股定理的应用，易错点是默认3和4都是直角边，漏算4为斜边的情况，解题时遇到未明确直角边、斜边的直角三角形边长问题，要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
2. 下列各组数中,以a,b,c为边的三角形不是直角三角形的是()
A.$a=1.5,b=2,c=3$
B.$a=7,b=24,c=25$
C.$a=6,b=8,c=10$
D.$a=3,b=4,c=5$
A.$a=1.5,b=2,c=3$
B.$a=7,b=24,c=25$
C.$a=6,b=8,c=10$
D.$a=3,b=4,c=5$
答案
A
解析
【分析】要判断给定三边的三角形是否为直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：如果三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，反之则不是。解题时先找到每个选项的最长边，再分别计算两条短边的平方和、最长边的平方，对比二者是否相等即可得出结论。
【解析】根据勾股定理的逆定理逐一验证各选项：
A选项：最长边为$c=3$，计算得$1.5^2+2^2=2.25+4=6.25$，$3^2=9$，由于$6.25≠9$，因此该组边长不能构成直角三角形；
B选项：最长边为$c=25$，$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，二者相等，可构成直角三角形；
C选项：最长边为$c=10$，$6^2+8^2=36+64=100$，$10^2=100$，二者相等，可构成直角三角形；
D选项：最长边为$c=5$，$3^2+4^2=9+16=25$，$5^2=25$，二者相等，可构成直角三角形。
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【点评】本题属于基础应用类题型，核心考查勾股定理逆定理的使用方法，解题时需注意先确定最长边，再验证平方和关系，避免因边的大小判断错误导致结果失误。
【难度系数】0.8
【解析】根据勾股定理的逆定理逐一验证各选项：
A选项：最长边为$c=3$，计算得$1.5^2+2^2=2.25+4=6.25$，$3^2=9$，由于$6.25≠9$，因此该组边长不能构成直角三角形；
B选项：最长边为$c=25$，$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，二者相等，可构成直角三角形；
C选项：最长边为$c=10$，$6^2+8^2=36+64=100$，$10^2=100$，二者相等，可构成直角三角形；
D选项：最长边为$c=5$，$3^2+4^2=9+16=25$，$5^2=25$，二者相等，可构成直角三角形。
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【点评】本题属于基础应用类题型，核心考查勾股定理逆定理的使用方法，解题时需注意先确定最长边，再验证平方和关系，避免因边的大小判断错误导致结果失误。
【难度系数】0.8
3. 若用线段a,b,c组成一个直角三角形,则它们的比可能为()
A.2:3:4
B.3:4:6
C.5:12:13
D.4:6:7
A.2:3:4
B.3:4:6
C.5:12:13
D.4:6:7
答案
C
解析
【分析】
要判断三组线段的比能否组成直角三角形，需用到勾股定理的逆定理：若三角形三边长满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。由于比例表示的是三边的倍数关系，我们可以直接用比例对应的数值计算（三边同乘相同正数，平方和的等量关系不变），对每个选项依次验证即可：先找到每组比中最大的数作为斜边对应的值，再计算另外两个数的平方和，对比其是否等于最大数的平方。
【解析】
设每份线段长度为k（k＞0），则各选项的三边长分别为对应比值乘k，验证时k²可约去，直接计算比值的平方即可：
A选项：两短边平方和为$2^2+3^2=4+9=13$，最长边平方为$4^2=16$，$13≠16$，不能组成直角三角形；
B选项：两短边平方和为$3^2+4^2=9+16=25$，最长边平方为$6^2=36$，$25≠36$，不能组成直角三角形；
C选项：两短边平方和为$5^2+12^2=25+144=169$，最长边平方为$13^2=169$，二者相等，可以组成直角三角形；
D选项：两短边平方和为$4^2+6^2=16+36=52$，最长边平方为$7^2=49$，$52≠49$，不能组成直角三角形。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理，比的性质
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题时需注意先确定最长边作为斜边对应的量，再验证平方和的关系，计算时要细心避免平方计算错误。
【难度系数】
0.8
要判断三组线段的比能否组成直角三角形，需用到勾股定理的逆定理：若三角形三边长满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。由于比例表示的是三边的倍数关系，我们可以直接用比例对应的数值计算（三边同乘相同正数，平方和的等量关系不变），对每个选项依次验证即可：先找到每组比中最大的数作为斜边对应的值，再计算另外两个数的平方和，对比其是否等于最大数的平方。
【解析】
设每份线段长度为k（k＞0），则各选项的三边长分别为对应比值乘k，验证时k²可约去，直接计算比值的平方即可：
A选项：两短边平方和为$2^2+3^2=4+9=13$，最长边平方为$4^2=16$，$13≠16$，不能组成直角三角形；
B选项：两短边平方和为$3^2+4^2=9+16=25$，最长边平方为$6^2=36$，$25≠36$，不能组成直角三角形；
C选项：两短边平方和为$5^2+12^2=25+144=169$，最长边平方为$13^2=169$，二者相等，可以组成直角三角形；
D选项：两短边平方和为$4^2+6^2=16+36=52$，最长边平方为$7^2=49$，$52≠49$，不能组成直角三角形。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理，比的性质
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题时需注意先确定最长边作为斜边对应的量，再验证平方和的关系，计算时要细心避免平方计算错误。
【难度系数】
0.8
4. $△ ABC$中，$AB=6$，$AC=8$，$BC=10$，则该三角形为()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
答案
B
解析
【分析】
要判断三角形的形状，已知三边长度时优先用勾股定理的逆定理分析：第一步先确定三边中的最长边，第二步分别计算两条短边的平方和与最长边的平方，第三步对比两个结果：若短边平方和等于长边平方则为直角三角形，大于则为锐角三角形，小于则为钝角三角形；同时结合边长是否相等判断是否为等腰三角形，即可排除错误选项。
【解析】
解：已知△ABC三边长为AB=6，AC=8，BC=10，首先确定最长边为BC=10。
计算两条短边的平方和：$AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
计算最长边的平方：$BC^2 = 10^2 = 100$
可得$AB^2 + AC^2 = BC^2$，根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形。
又因为三边长度互不相等，所以不是等腰直角三角形，故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题关键是先锁定最长边，再通过计算三边的平方关系判断三角形形状，熟练掌握逆定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要判断三角形的形状，已知三边长度时优先用勾股定理的逆定理分析：第一步先确定三边中的最长边，第二步分别计算两条短边的平方和与最长边的平方，第三步对比两个结果：若短边平方和等于长边平方则为直角三角形，大于则为锐角三角形，小于则为钝角三角形；同时结合边长是否相等判断是否为等腰三角形，即可排除错误选项。
【解析】
解：已知△ABC三边长为AB=6，AC=8，BC=10，首先确定最长边为BC=10。
计算两条短边的平方和：$AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
计算最长边的平方：$BC^2 = 10^2 = 100$
可得$AB^2 + AC^2 = BC^2$，根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形。
又因为三边长度互不相等，所以不是等腰直角三角形，故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题关键是先锁定最长边，再通过计算三边的平方关系判断三角形形状，熟练掌握逆定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
5. 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,若a=5,b=12,则c=.
答案
$\boldsymbol{13}$
解析
【分析】
本题已知直角三角形的两条直角边长度，要求斜边长，解题核心是运用勾股定理。首先根据∠C=90°确定c是斜边，a、b为直角边，再代入勾股定理公式计算，最后结合边长为正的特点取正的平方根即可。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴c为斜边，根据勾股定理得：
$c^2=a^2+b^2$
将a=5，b=12代入上式：
$c^2=5^2+12^2=25+144=169$
∵三角形边长为正数，即c＞0，
∴$c=\sqrt{169}=13$
【答案】
$\boldsymbol{13}$
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，解题的关键是准确判断直角所对的斜边，正确代入公式计算，注意最终边长要取正的算术平方根。
【难度系数】
0.9
本题已知直角三角形的两条直角边长度，要求斜边长，解题核心是运用勾股定理。首先根据∠C=90°确定c是斜边，a、b为直角边，再代入勾股定理公式计算，最后结合边长为正的特点取正的平方根即可。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴c为斜边，根据勾股定理得：
$c^2=a^2+b^2$
将a=5，b=12代入上式：
$c^2=5^2+12^2=25+144=169$
∵三角形边长为正数，即c＞0，
∴$c=\sqrt{169}=13$
【答案】
$\boldsymbol{13}$
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，解题的关键是准确判断直角所对的斜边，正确代入公式计算，注意最终边长要取正的算术平方根。
【难度系数】
0.9
6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，若$a:b = 3:4$，$c = 10$，则$S_{\mathrm{Rt}△ ABC} =$.
答案
$\boldsymbol{24}$
解析
【分析】
本题是直角三角形边长与面积的计算问题，解题思路如下：首先题目给出了两直角边的比例关系和斜边长度，我们可以利用比例设参数的方法，将两条直角边用含同一个参数的式子表示，再结合勾股定理列方程求出参数的值，进而得到两条直角边的长度，最后根据直角三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a:b=3:4$
∴ 可设$a=3k$，$b=4k$（$k＞0$，$k$为常数）
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$a^2+b^2=c^2$
代入$a=3k$，$b=4k$，$c=10$得：
$(3k)^2+(4k)^2=10^2$
$9k^2+16k^2=100$
$25k^2=100$
$k^2=4$
∵ $k＞0$，
∴ $k=2$
∴ $a=3×2=6$，$b=4×2=8$
∴ $S_{\mathrm{Rt}△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×6×8=24$
【答案】
$\boldsymbol{24}$
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算；按比例设参
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，核心考查对勾股定理的掌握情况，以及利用比例设参数解决几何计算问题的能力，是勾股定理相关考点中的常见基础题，熟练掌握设参方法和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形边长与面积的计算问题，解题思路如下：首先题目给出了两直角边的比例关系和斜边长度，我们可以利用比例设参数的方法，将两条直角边用含同一个参数的式子表示，再结合勾股定理列方程求出参数的值，进而得到两条直角边的长度，最后根据直角三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a:b=3:4$
∴ 可设$a=3k$，$b=4k$（$k＞0$，$k$为常数）
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$a^2+b^2=c^2$
代入$a=3k$，$b=4k$，$c=10$得：
$(3k)^2+(4k)^2=10^2$
$9k^2+16k^2=100$
$25k^2=100$
$k^2=4$
∵ $k＞0$，
∴ $k=2$
∴ $a=3×2=6$，$b=4×2=8$
∴ $S_{\mathrm{Rt}△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×6×8=24$
【答案】
$\boldsymbol{24}$
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算；按比例设参
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，核心考查对勾股定理的掌握情况，以及利用比例设参数解决几何计算问题的能力，是勾股定理相关考点中的常见基础题，熟练掌握设参方法和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 直角三角形两直角边边长分别为5和12,则它斜边上的高为.
答案
$\boldsymbol{\frac{60}{13}}$
解析
【分析】
这是直角三角形中求斜边上高的基础题，解题思路清晰可分为两步：第一步，已知直角三角形的两条直角边，先借助勾股定理求出斜边的长度；第二步，利用直角三角形面积的两种计算方式建立等量关系：一是两直角边乘积的一半，二是斜边与斜边上高乘积的一半，两种算法得到的面积相等，据此列等式即可求出斜边上的高。
【解析】
1. 求斜边长度：
设直角三角形的斜边为$c$，两条直角边分别为$a=5$、$b=12$，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，可得：
$c=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
2. 用面积法求斜边上的高：
设斜边上的高为$h$，直角三角形面积$S$可通过两种方式计算：
$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×5×12=30$
同时$S=\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}×13× h$
由于面积相等，列等式得：$\frac{1}{2}×13× h=30$，解得$h=\frac{60}{13}$
【答案】
$\frac{60}{13}$
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理应用的典型基础题，核心考查面积法的运用，通过同一图形面积的不同表达形式建立等量关系，是几何计算中常用的解题技巧。
【难度系数】
0.7
这是直角三角形中求斜边上高的基础题，解题思路清晰可分为两步：第一步，已知直角三角形的两条直角边，先借助勾股定理求出斜边的长度；第二步，利用直角三角形面积的两种计算方式建立等量关系：一是两直角边乘积的一半，二是斜边与斜边上高乘积的一半，两种算法得到的面积相等，据此列等式即可求出斜边上的高。
【解析】
1. 求斜边长度：
设直角三角形的斜边为$c$，两条直角边分别为$a=5$、$b=12$，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，可得：
$c=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
2. 用面积法求斜边上的高：
设斜边上的高为$h$，直角三角形面积$S$可通过两种方式计算：
$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×5×12=30$
同时$S=\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}×13× h$
由于面积相等，列等式得：$\frac{1}{2}×13× h=30$，解得$h=\frac{60}{13}$
【答案】
$\frac{60}{13}$
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理应用的典型基础题，核心考查面积法的运用，通过同一图形面积的不同表达形式建立等量关系，是几何计算中常用的解题技巧。
【难度系数】
0.7
8.若一个直角三角形两直角边的比为$5:12$,则它的斜边上的高与斜边的比为（）
A.$60:13$
B.$5:12$
C.$12:13$
D.$60:169$
A.$60:13$
B.$5:12$
C.$12:13$
D.$60:169$
答案
D
解析
【分析】
遇到给出直角三角形边长比例的问题，可先通过设参数的方式表示各边长度，再结合勾股定理和面积法求解：①先根据两直角边的比例设出边长参数；②用勾股定理求出斜边长度；③利用直角三角形面积的两种计算方法（两直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半）列等式，求出斜边上的高；④最后计算高与斜边的比值即可。
【解析】
设该直角三角形的两直角边长分别为$5k$、$12k$（$k＞0$），斜边长为$c$，斜边上的高为$h$。
1. 由勾股定理求斜边：
$c=\sqrt{(5k)^2+(12k)^2}=\sqrt{25k^2+144k^2}=\sqrt{169k^2}=13k$
2. 由面积相等求斜边上的高：
直角三角形面积可表示为$\frac{1}{2}×$两直角边的乘积，也可表示为$\frac{1}{2}×$斜边$×$斜边上的高，因此：
$\frac{1}{2}×5k×12k=\frac{1}{2}×13k× h$
两边同时约去$\frac{1}{2}$和不为0的$k$，可得：$60k=13h$，解得$h=\frac{60k}{13}$
3. 求斜边上的高与斜边的比：
$h:c=\frac{60k}{13}:13k=\frac{60}{13}:13=60:169$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算；比例运算
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，核心解题技巧是参数法和面积法的结合，计算比值时参数会自动消去，不需要求出参数的具体值，解题时要注意区分“高的长度”和“高与斜边的比”，避免粗心错选。
【难度系数】
0.6
遇到给出直角三角形边长比例的问题，可先通过设参数的方式表示各边长度，再结合勾股定理和面积法求解：①先根据两直角边的比例设出边长参数；②用勾股定理求出斜边长度；③利用直角三角形面积的两种计算方法（两直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半）列等式，求出斜边上的高；④最后计算高与斜边的比值即可。
【解析】
设该直角三角形的两直角边长分别为$5k$、$12k$（$k＞0$），斜边长为$c$，斜边上的高为$h$。
1. 由勾股定理求斜边：
$c=\sqrt{(5k)^2+(12k)^2}=\sqrt{25k^2+144k^2}=\sqrt{169k^2}=13k$
2. 由面积相等求斜边上的高：
直角三角形面积可表示为$\frac{1}{2}×$两直角边的乘积，也可表示为$\frac{1}{2}×$斜边$×$斜边上的高，因此：
$\frac{1}{2}×5k×12k=\frac{1}{2}×13k× h$
两边同时约去$\frac{1}{2}$和不为0的$k$，可得：$60k=13h$，解得$h=\frac{60k}{13}$
3. 求斜边上的高与斜边的比：
$h:c=\frac{60k}{13}:13k=\frac{60}{13}:13=60:169$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算；比例运算
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，核心解题技巧是参数法和面积法的结合，计算比值时参数会自动消去，不需要求出参数的具体值，解题时要注意区分“高的长度”和“高与斜边的比”，避免粗心错选。
【难度系数】
0.6
