登录
1. 计算：$x^{3} · x^{5} = \_\_\_\_\_\_$.
答案
$x^{8}$
解析
【分析】
这道题考查同底数幂的乘法运算，解题时首先观察两个相乘的幂的底数，发现二者底数都是x，属于同底数幂相乘的运算，对应同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。接下来只需要将两个幂的指数3和5相加，底数保持x不变，就能得到最终结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$（m、n都是正整数），可得：
$x^3·x^5 = x^{3+5} = x^8$
【答案】
$x^{8}$
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算题，核心是牢记同底数幂的乘法法则，解题时注意区分同底数幂乘法、幂的乘方等运算的法则差异，避免指数运算出错。
【难度系数】
0.9
这道题考查同底数幂的乘法运算，解题时首先观察两个相乘的幂的底数，发现二者底数都是x，属于同底数幂相乘的运算，对应同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。接下来只需要将两个幂的指数3和5相加，底数保持x不变，就能得到最终结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$（m、n都是正整数），可得：
$x^3·x^5 = x^{3+5} = x^8$
【答案】
$x^{8}$
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算题，核心是牢记同底数幂的乘法法则，解题时注意区分同底数幂乘法、幂的乘方等运算的法则差异，避免指数运算出错。
【难度系数】
0.9
2. 计算：$(x^2)^5 = \_\_\_\_\_\_$.
答案
$x^{10}$
解析
【分析】
本题考查幂的乘方运算，解题时先回忆幂的乘方的运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。我们只需要找到式子中的底数和对应的两个指数，将指数相乘即可得到结果，注意不要和同底数幂相乘的“指数相加”法则混淆。
【解析】
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数），
在式子$(x^2)^5$中，底数$a=x$，$m=2$，$n=5$，
所以$(x^2)^5=x^{2×5}=x^{10}$。
【答案】
$x^{10}$
【知识点】
幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，核心是对幂的乘方法则的正确运用，学习时要注意区分不同幂运算的法则，避免指数运算时出现混淆。
【难度系数】
0.9
本题考查幂的乘方运算，解题时先回忆幂的乘方的运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。我们只需要找到式子中的底数和对应的两个指数，将指数相乘即可得到结果，注意不要和同底数幂相乘的“指数相加”法则混淆。
【解析】
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数），
在式子$(x^2)^5$中，底数$a=x$，$m=2$，$n=5$，
所以$(x^2)^5=x^{2×5}=x^{10}$。
【答案】
$x^{10}$
【知识点】
幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，核心是对幂的乘方法则的正确运用，学习时要注意区分不同幂运算的法则，避免指数运算时出现混淆。
【难度系数】
0.9
3. 计算：$(-2ab^{2})^{3}=$
$-8a^{3}b^{6}$
.答案
$-8a^{3}b^{6}$
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：首先回忆积的乘方运算法则：积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；再结合幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。我们先把原式中括号里的-2、a、b²三个因式分别进行3次方运算，再将结果相乘即可，计算时注意负数的奇数次幂结果为负。
【解析】
根据积的乘方运算法则展开：
$(-2ab^{2})^{3}=(-2)^{3} · a^{3} · (b^{2})^{3}$
分别计算各部分：
$(-2)^{3}=-8$，根据幂的乘方法则，$(b^{2})^{3}=b^{2×3}=b^{6}$
将各部分结果相乘得：$-8 · a^{3} · b^{6}=-8a^{3}b^{6}$
【答案】
$-8a^{3}b^{6}$
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心是对积的乘方、幂的乘方运算法则的掌握，计算时要注意负数乘方的符号，不要混淆幂运算的指数计算规则。
【难度系数】
0.9
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：首先回忆积的乘方运算法则：积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；再结合幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。我们先把原式中括号里的-2、a、b²三个因式分别进行3次方运算，再将结果相乘即可，计算时注意负数的奇数次幂结果为负。
【解析】
根据积的乘方运算法则展开：
$(-2ab^{2})^{3}=(-2)^{3} · a^{3} · (b^{2})^{3}$
分别计算各部分：
$(-2)^{3}=-8$，根据幂的乘方法则，$(b^{2})^{3}=b^{2×3}=b^{6}$
将各部分结果相乘得：$-8 · a^{3} · b^{6}=-8a^{3}b^{6}$
【答案】
$-8a^{3}b^{6}$
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心是对积的乘方、幂的乘方运算法则的掌握，计算时要注意负数乘方的符号，不要混淆幂运算的指数计算规则。
【难度系数】
0.9
4. 计算：$(a^{3})^{2}· a^{4}=$
$a^{10}$
.答案
$a^{10}$
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题时按照运算顺序先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法即可。首先回忆幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；再回忆同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，依次代入计算就可以得到结果。
【解析】
第一步：计算幂的乘方$(a^3)^2$
根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{m× n}$，可得：
$(a^3)^2=a^{3×2}=a^6$
第二步：计算同底数幂的乘法$a^6· a^4$
根据同底数幂的乘法法则$a^m· a^n=a^{m+n}$，可得：
$a^6· a^4=a^{6+4}=a^{10}$
【答案】
$a^{10}$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法运算
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心是区分幂的相关运算法则，避免混淆指数的运算规则，熟练掌握法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查幂的相关运算，解题时按照运算顺序先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法即可。首先回忆幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；再回忆同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，依次代入计算就可以得到结果。
【解析】
第一步：计算幂的乘方$(a^3)^2$
根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{m× n}$，可得：
$(a^3)^2=a^{3×2}=a^6$
第二步：计算同底数幂的乘法$a^6· a^4$
根据同底数幂的乘法法则$a^m· a^n=a^{m+n}$，可得：
$a^6· a^4=a^{6+4}=a^{10}$
【答案】
$a^{10}$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法运算
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心是区分幂的相关运算法则，避免混淆指数的运算规则，熟练掌握法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5. 计算：$-(a^{4})^{6}=$ ______.
答案
$-a^{24}$
解析
【分析】
本题考查幂的乘方的运算，解题时先明确运算顺序：先计算括号内的幂的乘方，再处理括号外的负号。首先回忆幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。注意括号外的负号不参与乘方运算，计算完括号内的结果后再添加负号即可。
【解析】
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$为正整数），先计算$(a^4)^6$：
$(a^4)^6 = a^{4×6}=a^{24}$
再添加括号外的负号，可得：
$-(a^4)^6 = -a^{24}$
【答案】
$-a^{24}$
【知识点】
幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，重点考查幂的乘方法则的应用，解题时需要注意区分幂的乘方与同底数幂乘法的运算法则，同时注意括号外符号的处理，避免出现符号错误或指数运算错误。
【难度系数】
0.9
本题考查幂的乘方的运算，解题时先明确运算顺序：先计算括号内的幂的乘方，再处理括号外的负号。首先回忆幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。注意括号外的负号不参与乘方运算，计算完括号内的结果后再添加负号即可。
【解析】
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$为正整数），先计算$(a^4)^6$：
$(a^4)^6 = a^{4×6}=a^{24}$
再添加括号外的负号，可得：
$-(a^4)^6 = -a^{24}$
【答案】
$-a^{24}$
【知识点】
幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，重点考查幂的乘方法则的应用，解题时需要注意区分幂的乘方与同底数幂乘法的运算法则，同时注意括号外符号的处理，避免出现符号错误或指数运算错误。
【难度系数】
0.9
二、选择题
6. 在等式 $ a^{3} · a^{2} · (\quad) = a^{11} $ 中，括号里面的代数式应当是(
A.$ a^{7} $
B.$ a^{8} $
C.$ a^{6} $
D.$ a^{3} $
6. 在等式 $ a^{3} · a^{2} · (\quad) = a^{11} $ 中，括号里面的代数式应当是(
C
).A.$ a^{7} $
B.$ a^{8} $
C.$ a^{6} $
D.$ a^{3} $
答案
C
解析
【分析】
我们可以通过两种思路解题：第一种是先利用同底数幂的乘法法则计算出已知两个幂的乘积，再根据“因数=积÷另一个因数”，用同底数幂的除法法则算出括号内的代数式；第二种是设括号内的代数式为$a^m$，根据左右两边底数相同、幂相等则指数相等的规则列等式求解，两种方法都紧扣幂的基本运算规则，容易理解。
【解析】
方法一：
1. 计算已知幂的乘积：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^3 · a^2 = a^{3+2}=a^5$。
2. 求括号内的代数式：已知乘积为$a^{11}$，因此括号内代数式 = $a^{11} ÷ a^5$。
3. 计算除法：根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$a^{11} ÷ a^5 = a^{11-5}=a^6$。
方法二：
设括号内代数式为$a^m$，原式可写为$a^3 · a^2 · a^m = a^{11}$，左边整理得$a^{3+2+m}=a^{5+m}$。
因为左右幂相等、底数相同，所以指数相等，即$5+m=11$，解得$m=6$，即括号内为$a^6$。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.同底数幂的乘法 2.同底数幂的除法
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心考查同底数幂乘除的运算法则，解题时需注意区分不同运算对应的指数变化规律，避免将指数运算混淆。
【难度系数】
0.8
我们可以通过两种思路解题：第一种是先利用同底数幂的乘法法则计算出已知两个幂的乘积，再根据“因数=积÷另一个因数”，用同底数幂的除法法则算出括号内的代数式；第二种是设括号内的代数式为$a^m$，根据左右两边底数相同、幂相等则指数相等的规则列等式求解，两种方法都紧扣幂的基本运算规则，容易理解。
【解析】
方法一：
1. 计算已知幂的乘积：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^3 · a^2 = a^{3+2}=a^5$。
2. 求括号内的代数式：已知乘积为$a^{11}$，因此括号内代数式 = $a^{11} ÷ a^5$。
3. 计算除法：根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$a^{11} ÷ a^5 = a^{11-5}=a^6$。
方法二：
设括号内代数式为$a^m$，原式可写为$a^3 · a^2 · a^m = a^{11}$，左边整理得$a^{3+2+m}=a^{5+m}$。
因为左右幂相等、底数相同，所以指数相等，即$5+m=11$，解得$m=6$，即括号内为$a^6$。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.同底数幂的乘法 2.同底数幂的除法
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心考查同底数幂乘除的运算法则，解题时需注意区分不同运算对应的指数变化规律，避免将指数运算混淆。
【难度系数】
0.8
7. 下列计算正确的是(
A.$ a^{2} · a^{3} = a^{6} $
B.$ (ab^{3})^{2} = a^{2}b^{6} $
C.$ (a^{4})^{3} = a^{7} $
D.$ a^{4} + a^{4} = a^{8} $
B
).A.$ a^{2} · a^{3} = a^{6} $
B.$ (ab^{3})^{2} = a^{2}b^{6} $
C.$ (a^{4})^{3} = a^{7} $
D.$ a^{4} + a^{4} = a^{8} $
答案
B
解析
【分析】
本题考查整式的相关运算，解题思路是逐一回忆每个选项对应的运算法则，分别计算出正确结果，再和选项给出的结果对比，判断正误。需要用到的运算法则包括：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：根据同底数幂的乘法法则，$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5≠ a^6$，故A错误；
B选项：根据积的乘方和幂的乘方法则，$(ab^3)^2=a^2·(b^3)^2=a^2b^{3×2}=a^2b^6$，故B正确；
C选项：根据幂的乘方法则，$(a^4)^3=a^{4×3}=a^{12}≠ a^7$，故C错误；
D选项：根据合并同类项法则，$a^4+a^4=(1+1)a^4=2a^4≠ a^8$，故D错误。
综上，计算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对幂的运算法则、合并同类项法则的掌握程度，做题时要注意区分不同运算的指数处理规则，避免混淆各类法则导致错误。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的相关运算，解题思路是逐一回忆每个选项对应的运算法则，分别计算出正确结果，再和选项给出的结果对比，判断正误。需要用到的运算法则包括：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：根据同底数幂的乘法法则，$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5≠ a^6$，故A错误；
B选项：根据积的乘方和幂的乘方法则，$(ab^3)^2=a^2·(b^3)^2=a^2b^{3×2}=a^2b^6$，故B正确；
C选项：根据幂的乘方法则，$(a^4)^3=a^{4×3}=a^{12}≠ a^7$，故C错误；
D选项：根据合并同类项法则，$a^4+a^4=(1+1)a^4=2a^4≠ a^8$，故D错误。
综上，计算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对幂的运算法则、合并同类项法则的掌握程度，做题时要注意区分不同运算的指数处理规则，避免混淆各类法则导致错误。
【难度系数】
0.8
8. $x^{2m+2}$ 可写成(
A.$2x^{m+2}$
B.$x^{2m}+x^2$
C.$x^2 · x^{m+1}$
D.$x^{2m} · x^2$
D
).A.$2x^{m+2}$
B.$x^{2m}+x^2$
C.$x^2 · x^{m+1}$
D.$x^{2m} · x^2$
答案
D
解析
【分析】
本题考查同底数幂乘法法则的应用，解题思路如下：首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，该法则可逆用，即指数相加的同底数幂可以拆成两个同底数幂相乘的形式。接下来我们将题干中的$x^{2m+2}$根据法则逆用拆分，再逐一核对四个选项，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^m · a^n = a^{m+n}$（$a≠0$，$m$、$n$为正整数），逆用可得$a^{m+n}=a^m · a^n$，因此$x^{2m+2}=x^{2m} · x^2$。
我们逐一分析选项：
A选项：$2x^{m+2}$是系数为2的单项式，与$x^{2m+2}$运算结果不相等，故A错误；
B选项：$x^{2m}$和$x^2$不是同类项，无法合并，且整式加法和幂的乘法运算规则不同，结果不等于$x^{2m+2}$，故B错误；
C选项：$x^2 · x^{m+1}=x^{2+(m+1)}=x^{m+3}≠ x^{2m+2}$，故C错误；
D选项：$x^{2m} · x^2 = x^{2m+2}$，与题干式子一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法法则；同类项的合并
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是区分同底数幂乘法和整式加法的运算规则，要熟练掌握同底数幂乘法法则的正用和逆用，避免混淆指数运算和系数运算的要求。
【难度系数】
0.8
本题考查同底数幂乘法法则的应用，解题思路如下：首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，该法则可逆用，即指数相加的同底数幂可以拆成两个同底数幂相乘的形式。接下来我们将题干中的$x^{2m+2}$根据法则逆用拆分，再逐一核对四个选项，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^m · a^n = a^{m+n}$（$a≠0$，$m$、$n$为正整数），逆用可得$a^{m+n}=a^m · a^n$，因此$x^{2m+2}=x^{2m} · x^2$。
我们逐一分析选项：
A选项：$2x^{m+2}$是系数为2的单项式，与$x^{2m+2}$运算结果不相等，故A错误；
B选项：$x^{2m}$和$x^2$不是同类项，无法合并，且整式加法和幂的乘法运算规则不同，结果不等于$x^{2m+2}$，故B错误；
C选项：$x^2 · x^{m+1}=x^{2+(m+1)}=x^{m+3}≠ x^{2m+2}$，故C错误；
D选项：$x^{2m} · x^2 = x^{2m+2}$，与题干式子一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法法则；同类项的合并
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是区分同底数幂乘法和整式加法的运算规则，要熟练掌握同底数幂乘法法则的正用和逆用，避免混淆指数运算和系数运算的要求。
【难度系数】
0.8
9. 已知 $ m $ 是正整数,则下列计算错误的是(
A.$ (a^5)^5 = a^{25} $
B.$ (x^2)^m = (x^m)^2 $
C.$ x^{2m} = (-x^m)^2 $
D.$ a^{2m} = (-a^2)^m $
D
).A.$ (a^5)^5 = a^{25} $
B.$ (x^2)^m = (x^m)^2 $
C.$ x^{2m} = (-x^m)^2 $
D.$ a^{2m} = (-a^2)^m $
答案
D
解析
【分析】
本题考查幂的运算法则的应用，解题时需结合幂的乘方、积的乘方法则，以及负数乘方的符号规律，逐个验证选项的正确性，尤其要注意正整数m可奇可偶，需考虑符号的变化情况。
【解析】
首先明确幂的相关运算法则：
1. 幂的乘方：底数不变，指数相乘，即$(a^p)^q=a^{pq}$（$p、q$为正整数）；
2. 积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即$(ab)^p=a^p b^p$（$p$为正整数）；
3. 负数的偶次幂为正，奇次幂为负。
逐个分析选项：
A. 根据幂的乘方法则，$(a^5)^5=a^{5×5}=a^{25}$，计算正确，不符合题意；
B. 左边：$(x^2)^m=x^{2×m}=x^{2m}$，右边：$(x^m)^2=x^{m×2}=x^{2m}$，左右两边相等，计算正确，不符合题意；
C. 右边根据积的乘方法则：$(-x^m)^2=(-1)^2·(x^m)^2=1·x^{2m}=x^{2m}$，和左边相等，计算正确，不符合题意；
D. 右边根据积的乘方法则：$(-a^2)^m=(-1)^m·(a^2)^m=(-1)^m a^{2m}$，当$m$为奇数时，$(-1)^m=-1$，此时右边为$-a^{2m}$，和左边$a^{2m}$不相等，计算错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方运算；积的乘方运算；乘方符号法则
【点评】
本题重点考查幂的运算法则的灵活应用，易错点是忽略参数m的奇偶性对负数乘方结果符号的影响，解题时需注意考虑参数的所有可能取值情况，避免漏判。
【难度系数】
0.7
本题考查幂的运算法则的应用，解题时需结合幂的乘方、积的乘方法则，以及负数乘方的符号规律，逐个验证选项的正确性，尤其要注意正整数m可奇可偶，需考虑符号的变化情况。
【解析】
首先明确幂的相关运算法则：
1. 幂的乘方：底数不变，指数相乘，即$(a^p)^q=a^{pq}$（$p、q$为正整数）；
2. 积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即$(ab)^p=a^p b^p$（$p$为正整数）；
3. 负数的偶次幂为正，奇次幂为负。
逐个分析选项：
A. 根据幂的乘方法则，$(a^5)^5=a^{5×5}=a^{25}$，计算正确，不符合题意；
B. 左边：$(x^2)^m=x^{2×m}=x^{2m}$，右边：$(x^m)^2=x^{m×2}=x^{2m}$，左右两边相等，计算正确，不符合题意；
C. 右边根据积的乘方法则：$(-x^m)^2=(-1)^2·(x^m)^2=1·x^{2m}=x^{2m}$，和左边相等，计算正确，不符合题意；
D. 右边根据积的乘方法则：$(-a^2)^m=(-1)^m·(a^2)^m=(-1)^m a^{2m}$，当$m$为奇数时，$(-1)^m=-1$，此时右边为$-a^{2m}$，和左边$a^{2m}$不相等，计算错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方运算；积的乘方运算；乘方符号法则
【点评】
本题重点考查幂的运算法则的灵活应用，易错点是忽略参数m的奇偶性对负数乘方结果符号的影响，解题时需注意考虑参数的所有可能取值情况，避免漏判。
【难度系数】
0.7
10. 若 $ x $，$ y $ 为正整数，且 $ 2^x · 2^y = 2^5 $，则 $ x $，$ y $ 的值有（
A.4对
B.3对
C.2对
D.1对
A
）。A.4对
B.3对
C.2对
D.1对
答案
A
解析
【分析】
解题时首先运用同底数幂的乘法法则对等式左边进行化简，根据底数相同的幂相等则指数相等的性质，得到x与y的数量关系，再结合x、y是正整数的条件，枚举所有符合条件的解，统计解的对数即可。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$2^x · 2^y = 2^{x+y}$
已知$2^x · 2^y = 2^5$，因此$2^{x+y}=2^5$，可得$x+y=5$。
又因为x、y是正整数，即$x≥1$，$y≥1$，且x、y均为整数，符合条件的解有：
①$\begin{cases}x=1\\y=4\end{cases}$ ②$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$ ③$\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}$ ④$\begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}$
共4对解。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法；二元一次方程的正整数解
【点评】
本题属于基础题，重点考查同底数幂乘法法则的应用，解题时要注意题目要求x、y是正整数，不能计入x或y为0的情况，枚举解时要按顺序列举，避免漏解或重复计数。
【难度系数】
0.8
解题时首先运用同底数幂的乘法法则对等式左边进行化简，根据底数相同的幂相等则指数相等的性质，得到x与y的数量关系，再结合x、y是正整数的条件，枚举所有符合条件的解，统计解的对数即可。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$2^x · 2^y = 2^{x+y}$
已知$2^x · 2^y = 2^5$，因此$2^{x+y}=2^5$，可得$x+y=5$。
又因为x、y是正整数，即$x≥1$，$y≥1$，且x、y均为整数，符合条件的解有：
①$\begin{cases}x=1\\y=4\end{cases}$ ②$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$ ③$\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}$ ④$\begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}$
共4对解。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法；二元一次方程的正整数解
【点评】
本题属于基础题，重点考查同底数幂乘法法则的应用，解题时要注意题目要求x、y是正整数，不能计入x或y为0的情况，枚举解时要按顺序列举，避免漏解或重复计数。
【难度系数】
0.8
11. 计算：
(1) $(-a)^{3} · (-a^{2}) · (-a)^{5}$；
(2) $(-3x^{3}y^{2})^{2}$；
(3) $(x - y)^{3} · (x - y)^{2}$；
(4) $0.125^{16} × (-8)^{17}$。
(1) $(-a)^{3} · (-a^{2}) · (-a)^{5}$；
(2) $(-3x^{3}y^{2})^{2}$；
(3) $(x - y)^{3} · (x - y)^{2}$；
(4) $0.125^{16} × (-8)^{17}$。
答案
(1) $-a^{10}$
(2) $9x^{6}y^{4}$
(3) $(x-y)^{5}$
(4) $-8$
(2) $9x^{6}y^{4}$
(3) $(x-y)^{5}$
(4) $-8$
解析
【分析】
这四道题均属于幂的运算类计算题，解题前先明确对应的运算法则：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②积的乘方等于把积中的每个因式分别乘方，再将所得的幂相乘；③幂的乘方，底数不变，指数相乘；④逆用积的乘方法则可简化底数互为倒数类的运算。具体解题思路如下：
(1) 先确定每个因式的符号，再将所有含a的幂按同底数幂乘法法则计算；
(2) 直接运用积的乘方、幂的乘方法则分别计算每个因式的乘方即可；
(3) 将$(x-y)$看作一个整体，直接运用同底数幂乘法法则计算；
(4) 先将指数统一为16，逆用积的乘方法则简化计算。
【解析】
(1) 先处理各因式的符号，再合并同底数幂：
$\begin{aligned}(-a)^{3} · (-a^{2}) · (-a)^{5}&=(-a^3)·(-a^2)·(-a^5)\\&= - (a^3·a^2·a^5)\\&= -a^{3+2+5}\\&=-a^{10}\end{aligned}$
(2) 运用积的乘方、幂的乘方法则计算：
$\begin{aligned}(-3x^{3}y^{2})^{2}&=(-3)^2·(x^3)^2·(y^2)^2\\&=9·x^{3×2}·y^{2×2}\\&=9x^6y^4\end{aligned}$
(3) 将$(x-y)$看作整体，运用同底数幂乘法法则：
$\begin{aligned}(x - y)^{3} · (x - y)^{2}&=(x-y)^{3+2}\\&=(x-y)^5\end{aligned}$
(4) 拆分指数，逆用积的乘方法则计算：
$\begin{aligned}0.125^{16} × (-8)^{17}&=0.125^{16}×(-8)^{16}×(-8)\\&=[0.125×(-8)]^{16}×(-8)\\&=(-1)^{16}×(-8)\\&=1×(-8)\\&=-8\end{aligned}$
【答案】
(1) $-a^{10}$；(2) $9x^{6}y^{4}$；(3) $(x-y)^{5}$；(4) $-8$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；积的乘方的逆用
【点评】
本题是幂的运算的常规基础题型，重点考察幂的运算法则的掌握程度，以及整体思想、简便运算技巧的运用，计算时要格外注意符号的处理，避免因符号判断失误出错。
【难度系数】
0.7
这四道题均属于幂的运算类计算题，解题前先明确对应的运算法则：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②积的乘方等于把积中的每个因式分别乘方，再将所得的幂相乘；③幂的乘方，底数不变，指数相乘；④逆用积的乘方法则可简化底数互为倒数类的运算。具体解题思路如下：
(1) 先确定每个因式的符号，再将所有含a的幂按同底数幂乘法法则计算；
(2) 直接运用积的乘方、幂的乘方法则分别计算每个因式的乘方即可；
(3) 将$(x-y)$看作一个整体，直接运用同底数幂乘法法则计算；
(4) 先将指数统一为16，逆用积的乘方法则简化计算。
【解析】
(1) 先处理各因式的符号，再合并同底数幂：
$\begin{aligned}(-a)^{3} · (-a^{2}) · (-a)^{5}&=(-a^3)·(-a^2)·(-a^5)\\&= - (a^3·a^2·a^5)\\&= -a^{3+2+5}\\&=-a^{10}\end{aligned}$
(2) 运用积的乘方、幂的乘方法则计算：
$\begin{aligned}(-3x^{3}y^{2})^{2}&=(-3)^2·(x^3)^2·(y^2)^2\\&=9·x^{3×2}·y^{2×2}\\&=9x^6y^4\end{aligned}$
(3) 将$(x-y)$看作整体，运用同底数幂乘法法则：
$\begin{aligned}(x - y)^{3} · (x - y)^{2}&=(x-y)^{3+2}\\&=(x-y)^5\end{aligned}$
(4) 拆分指数，逆用积的乘方法则计算：
$\begin{aligned}0.125^{16} × (-8)^{17}&=0.125^{16}×(-8)^{16}×(-8)\\&=[0.125×(-8)]^{16}×(-8)\\&=(-1)^{16}×(-8)\\&=1×(-8)\\&=-8\end{aligned}$
【答案】
(1) $-a^{10}$；(2) $9x^{6}y^{4}$；(3) $(x-y)^{5}$；(4) $-8$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；积的乘方的逆用
【点评】
本题是幂的运算的常规基础题型，重点考察幂的运算法则的掌握程度，以及整体思想、简便运算技巧的运用，计算时要格外注意符号的处理，避免因符号判断失误出错。
【难度系数】
0.7
