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12. 已知 $ 3^a = 4 $，$ 3^b = 5 $，求 $ 3^{2a+b} $。
答案
80
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式$3^{2a+b}$的指数形式，结合学过的幂的运算法则思考：指数是和的形式，可逆用同底数幂的乘法法则，拆成两个同底数幂相乘的形式，即$3^{2a} × 3^b$；再看$3^{2a}$的指数是乘积形式，可逆用幂的乘方法则转化为$(3^a)^2$，变形后式子中恰好出现已知的$3^a$和$3^b$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：逆用幂的运算法则对所求式变形：
1. 逆用同底数幂的乘法法则$a^{m+n}=a^m · a^n$，得：
$3^{2a+b}=3^{2a} × 3^b$
2. 逆用幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，得：
$3^{2a}=(3^a)^2$
3. 将$3^a=4$，$3^b=5$代入变形后的式子计算：
原式$=(3^a)^2 × 3^b = 4^2 × 5 = 16 × 5 = 80$
【答案】
80
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂的运算性质的逆用，熟练掌握幂的相关运算法则、能根据所求式的形式灵活变形是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察所求代数式$3^{2a+b}$的指数形式，结合学过的幂的运算法则思考：指数是和的形式，可逆用同底数幂的乘法法则，拆成两个同底数幂相乘的形式，即$3^{2a} × 3^b$；再看$3^{2a}$的指数是乘积形式，可逆用幂的乘方法则转化为$(3^a)^2$，变形后式子中恰好出现已知的$3^a$和$3^b$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：逆用幂的运算法则对所求式变形：
1. 逆用同底数幂的乘法法则$a^{m+n}=a^m · a^n$，得：
$3^{2a+b}=3^{2a} × 3^b$
2. 逆用幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，得：
$3^{2a}=(3^a)^2$
3. 将$3^a=4$，$3^b=5$代入变形后的式子计算：
原式$=(3^a)^2 × 3^b = 4^2 × 5 = 16 × 5 = 80$
【答案】
80
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂的运算性质的逆用，熟练掌握幂的相关运算法则、能根据所求式的形式灵活变形是解题的关键。
【难度系数】
0.8
13. 求等式中的 $ x $ 值：$ 3^{x+1} · 2^{x+1} = 6^{2x-3} $。
答案
$x=4$
解析
【分析】
解题时先观察等式左边的结构：是两个底数不同、指数相同的幂相乘，可优先考虑逆用积的乘方运算性质，将左边合并为底数是6的幂，此时等式左右两边底数相同，根据同底数幂相等时指数相等的性质，即可将原指数方程转化为一元一次方程，再按一元一次方程的解法求解即可。
【解析】
解：对等式左边逆用积的乘方运算性质$a^n·b^n=(ab)^n$，可得：
$3^{x+1}·2^{x+1}=(3×2)^{x+1}=6^{x+1}$
则原等式可化为：
$6^{x+1}=6^{2x-3}$
因为底数$6≠0$且$6≠1$，所以两个同底数幂相等时指数相等，可得：
$x+1=2x-3$
解此一元一次方程：
移项得：$x-2x=-3-1$
合并同类项得：$-x=-4$
系数化为1得：$x=4$
【答案】
$x=4$
【知识点】
积的乘方逆运算；同底数幂的性质；一元一次方程解法
【点评】
本题是幂的运算与一元一次方程的综合应用题，解题核心是熟练运用积的乘方的逆运算将等式变形为同底数幂相等的形式，从而把陌生的指数方程转化为熟悉的整式方程求解，能有效考查学生对幂的运算性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察等式左边的结构：是两个底数不同、指数相同的幂相乘，可优先考虑逆用积的乘方运算性质，将左边合并为底数是6的幂，此时等式左右两边底数相同，根据同底数幂相等时指数相等的性质，即可将原指数方程转化为一元一次方程，再按一元一次方程的解法求解即可。
【解析】
解：对等式左边逆用积的乘方运算性质$a^n·b^n=(ab)^n$，可得：
$3^{x+1}·2^{x+1}=(3×2)^{x+1}=6^{x+1}$
则原等式可化为：
$6^{x+1}=6^{2x-3}$
因为底数$6≠0$且$6≠1$，所以两个同底数幂相等时指数相等，可得：
$x+1=2x-3$
解此一元一次方程：
移项得：$x-2x=-3-1$
合并同类项得：$-x=-4$
系数化为1得：$x=4$
【答案】
$x=4$
【知识点】
积的乘方逆运算；同底数幂的性质；一元一次方程解法
【点评】
本题是幂的运算与一元一次方程的综合应用题，解题核心是熟练运用积的乘方的逆运算将等式变形为同底数幂相等的形式，从而把陌生的指数方程转化为熟悉的整式方程求解，能有效考查学生对幂的运算性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
14. 已知 $ a = 3^{55} $，$ b = 4^{44} $，$ c = 5^{33} $，试将 $ a $，$ b $，$ c $ 按照从小到大的顺序排列。
答案
$c ＜ a ＜ b$
解析
【分析】
要比较指数较大的幂的大小，直接计算结果难度大，观察三个幂的指数55、44、33均为11的倍数，可逆用幂的乘方公式，将三个幂转化为指数均为11的同指数幂，再根据“指数为正整数时，同指数幂的底数越大，幂越大”的规律比较底数即可得到大小关系。
【解析】
首先利用幂的乘方的逆运算变形三个式子：
1. 对于$a=3^{55}$：
$3^{55}=3^{5×11}=(3^5)^{11}$，计算得$3^5=243$，因此$a=243^{11}$；
2. 对于$b=4^{44}$：
$4^{44}=4^{4×11}=(4^4)^{11}$，计算得$4^4=256$，因此$b=256^{11}$；
3. 对于$c=5^{33}$：
$5^{33}=5^{3×11}=(5^3)^{11}$，计算得$5^3=125$，因此$c=125^{11}$。
因为三个幂的指数均为正整数11，且$125＜243＜256$，所以$125^{11}＜243^{11}＜256^{11}$，即$c＜a＜b$。
【答案】
$c＜a＜b$
【知识点】
幂的乘方逆运算；同指数幂比较大小
【点评】
本题是幂的运算相关的典型题型，核心是灵活运用幂的乘方公式将不同指数的幂统一为相同指数，避开直接计算大数幂的繁琐，通过比较底数即可快速得到结果，解题时要注意观察指数的共同特征找到突破口。
【难度系数】
0.7
要比较指数较大的幂的大小，直接计算结果难度大，观察三个幂的指数55、44、33均为11的倍数，可逆用幂的乘方公式，将三个幂转化为指数均为11的同指数幂，再根据“指数为正整数时，同指数幂的底数越大，幂越大”的规律比较底数即可得到大小关系。
【解析】
首先利用幂的乘方的逆运算变形三个式子：
1. 对于$a=3^{55}$：
$3^{55}=3^{5×11}=(3^5)^{11}$，计算得$3^5=243$，因此$a=243^{11}$；
2. 对于$b=4^{44}$：
$4^{44}=4^{4×11}=(4^4)^{11}$，计算得$4^4=256$，因此$b=256^{11}$；
3. 对于$c=5^{33}$：
$5^{33}=5^{3×11}=(5^3)^{11}$，计算得$5^3=125$，因此$c=125^{11}$。
因为三个幂的指数均为正整数11，且$125＜243＜256$，所以$125^{11}＜243^{11}＜256^{11}$，即$c＜a＜b$。
【答案】
$c＜a＜b$
【知识点】
幂的乘方逆运算；同指数幂比较大小
【点评】
本题是幂的运算相关的典型题型，核心是灵活运用幂的乘方公式将不同指数的幂统一为相同指数，避开直接计算大数幂的繁琐，通过比较底数即可快速得到结果，解题时要注意观察指数的共同特征找到突破口。
【难度系数】
0.7
15. 阅读下面的例题：
例 求$1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{2023}$的值.
解 设$S=1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{2023}$，将等式两边同时乘以2得
$2S=2+2^2+2^3+2^4+2^5+···+2^{2024}$.
将下式减去上式得$2S - S=2^{2024}-1$，即$S=2^{2024}-1$.
因此$1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{2023}=2^{2024}-1$.
请你仿照此法计算：
(1) $1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{10}$；
(2) $1+3+3^2+3^3+3^4+···+3^{2024}$.
例 求$1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{2023}$的值.
解 设$S=1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{2023}$，将等式两边同时乘以2得
$2S=2+2^2+2^3+2^4+2^5+···+2^{2024}$.
将下式减去上式得$2S - S=2^{2024}-1$，即$S=2^{2024}-1$.
因此$1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{2023}=2^{2024}-1$.
请你仿照此法计算：
(1) $1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{10}$；
(2) $1+3+3^2+3^3+3^4+···+3^{2024}$.
答案
(1) $2^{11}-1$
(2) $\dfrac{3^{2025}-1}{2}$
(2) $\dfrac{3^{2025}-1}{2}$
解析
【分析】
本题是材料仿照类题型，解题思路可参照例题的错位相减方法：①先设要求的式子的和为S；②将等式两边同时乘以式子中幂的底数，得到新的等式；③将两个等式作差，抵消掉中间相同的项，只剩下首尾两项的差；④整理后即可求出S的值，也就是原式的结果。
【解析】
(1) 设$S=1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{10}$，
将等式两边同时乘以2得：$2S=2+2^2+2^3+2^4+···+2^{10}+2^{11}$，
用下式减去上式得：$2S - S = 2^{11} - 1$，
即$S=2^{11}-1$。
(2) 设$S=1+3+3^2+3^3+3^4+···+3^{2024}$，
将等式两边同时乘以3得：$3S=3+3^2+3^3+3^4+···+3^{2024}+3^{2025}$，
用下式减去上式得：$3S - S = 3^{2025} - 1$，
即$2S=3^{2025}-1$，
系数化为1得：$S=\dfrac{3^{2025}-1}{2}$。
【答案】
(1) $2^{11}-1$
(2) $\dfrac{3^{2025}-1}{2}$
【知识点】
错位相减法，乘方运算，整式的加减
【点评】
本题属于阅读迁移类题型，核心是理解例题给出的错位相减的计算逻辑，考查知识的迁移应用能力，解题时注意若作差后S的系数不为1，最后要将系数化为1得到最终结果。
【难度系数】
0.7
本题是材料仿照类题型，解题思路可参照例题的错位相减方法：①先设要求的式子的和为S；②将等式两边同时乘以式子中幂的底数，得到新的等式；③将两个等式作差，抵消掉中间相同的项，只剩下首尾两项的差；④整理后即可求出S的值，也就是原式的结果。
【解析】
(1) 设$S=1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{10}$，
将等式两边同时乘以2得：$2S=2+2^2+2^3+2^4+···+2^{10}+2^{11}$，
用下式减去上式得：$2S - S = 2^{11} - 1$，
即$S=2^{11}-1$。
(2) 设$S=1+3+3^2+3^3+3^4+···+3^{2024}$，
将等式两边同时乘以3得：$3S=3+3^2+3^3+3^4+···+3^{2024}+3^{2025}$，
用下式减去上式得：$3S - S = 3^{2025} - 1$，
即$2S=3^{2025}-1$，
系数化为1得：$S=\dfrac{3^{2025}-1}{2}$。
【答案】
(1) $2^{11}-1$
(2) $\dfrac{3^{2025}-1}{2}$
【知识点】
错位相减法，乘方运算，整式的加减
【点评】
本题属于阅读迁移类题型，核心是理解例题给出的错位相减的计算逻辑，考查知识的迁移应用能力，解题时注意若作差后S的系数不为1，最后要将系数化为1得到最终结果。
【难度系数】
0.7
