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14. 如图所示,矩形OABC的顶点O,A,C的坐标分别是$(0,0),(3,0),(0,2)$,$□ OADE$与矩形OABC周长相等,$□ OADE$的面积是矩形OABC面积的一半,则点D的坐标为 （
A.$(3+\sqrt{3},1)$
B.$(3+\sqrt{2},\sqrt{2})$
C.$(5,1)$
D.$(3+\sqrt{3},\sqrt{3})$
A
）A.$(3+\sqrt{3},1)$
B.$(3+\sqrt{2},\sqrt{2})$
C.$(5,1)$
D.$(3+\sqrt{3},\sqrt{3})$
答案
14.A
解析
【分析】
解题时先从已知矩形的顶点坐标入手，先计算矩形的周长和面积；再根据平行四边形与矩形周长相等的条件，算出平行四边形OADE的邻边长度；接着利用面积关系求出平行四边形的高，得到D点的纵坐标；最后结合勾股定理和平行四边形对边平行且相等的性质，求出D点的横坐标，即可确定D点坐标。
【解析】
1. 计算矩形OABC的周长和面积：
由O(0,0)、A(3,0)、C(0,2)可得：OA=3，OC=2，
矩形周长：$C_{矩形}=2×(OA+OC)=2×(3+2)=10$，
矩形面积：$S_{矩形}=OA× OC=3×2=6$。
2. 求平行四边形OADE的相关参数：
∵平行四边形OADE周长与矩形相等，平行四边形对边相等，
∴$2×(OA + OE)=10$，代入OA=3，解得$OE=2$。
∵平行四边形面积是矩形面积的一半，
∴$S_{平行四边形OADE}=6÷2=3$。
平行四边形以OA为底时，面积=底×高，可得高$h=S_{平行四边形}÷ OA=3÷3=1$，即点E、D的纵坐标均为1。
3. 求D点坐标：
由OE=2，高为1，根据勾股定理可得E点的横坐标为$\sqrt{OE^2 - h^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$，即$E(\sqrt{3},1)$。
∵平行四边形中ED平行且等于OA，OA沿x轴正方向长度为3，
∴D点横坐标为$\sqrt{3}+3$，纵坐标与E点相同为1，即$D(3+\sqrt{3},1)$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、矩形的周长与面积计算、勾股定理
【点评】
本题是几何与坐标结合的基础综合题，将矩形和平行四边形的周长、面积公式与勾股定理结合考查，解题的核心是先确定平行四边形的高，再结合边的性质求解点坐标。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知矩形的顶点坐标入手，先计算矩形的周长和面积；再根据平行四边形与矩形周长相等的条件，算出平行四边形OADE的邻边长度；接着利用面积关系求出平行四边形的高，得到D点的纵坐标；最后结合勾股定理和平行四边形对边平行且相等的性质，求出D点的横坐标，即可确定D点坐标。
【解析】
1. 计算矩形OABC的周长和面积：
由O(0,0)、A(3,0)、C(0,2)可得：OA=3，OC=2，
矩形周长：$C_{矩形}=2×(OA+OC)=2×(3+2)=10$，
矩形面积：$S_{矩形}=OA× OC=3×2=6$。
2. 求平行四边形OADE的相关参数：
∵平行四边形OADE周长与矩形相等，平行四边形对边相等，
∴$2×(OA + OE)=10$，代入OA=3，解得$OE=2$。
∵平行四边形面积是矩形面积的一半，
∴$S_{平行四边形OADE}=6÷2=3$。
平行四边形以OA为底时，面积=底×高，可得高$h=S_{平行四边形}÷ OA=3÷3=1$，即点E、D的纵坐标均为1。
3. 求D点坐标：
由OE=2，高为1，根据勾股定理可得E点的横坐标为$\sqrt{OE^2 - h^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$，即$E(\sqrt{3},1)$。
∵平行四边形中ED平行且等于OA，OA沿x轴正方向长度为3，
∴D点横坐标为$\sqrt{3}+3$，纵坐标与E点相同为1，即$D(3+\sqrt{3},1)$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、矩形的周长与面积计算、勾股定理
【点评】
本题是几何与坐标结合的基础综合题，将矩形和平行四边形的周长、面积公式与勾股定理结合考查，解题的核心是先确定平行四边形的高，再结合边的性质求解点坐标。
【难度系数】
0.7
15.如图所示,在菱形ABCD中,$AB=4\sqrt{5}$,对角线BD的长为16,E是AD的中点,F是BD上一点,连接EF.若$BF=3$,则EF的长为
$\sqrt{85}$
.答案
15.$\sqrt{85}$
解析
【分析】
解题时首先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，连接对角线AC交BD于点O，构造直角三角形ABO，用勾股定理求出AO的长度。接下来可以通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数计算：先写出各顶点坐标，再结合中点坐标公式得到E点坐标，根据BF的长度得到F点坐标，最后用两点间距离公式即可算出EF的长度。
【解析】
解：连接AC，交BD于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，$BO=OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×16=8$。
在$Rt△ ABO$中，$AB=4\sqrt{5}$，$BO=8$，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-8^2}=\sqrt{80-64}=\sqrt{16}=4$。
以O为原点，BD所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则：$B(-8,0)$，$D(8,0)$，$A(0,4)$。
∵E是AD的中点，
∴E点坐标为$(\frac{0+8}{2},\frac{4+0}{2})$，即$E(4,2)$。
∵F在BD上，$BF=3$，
∴F点横坐标为$-8+3=-5$，纵坐标为0，即$F(-5,0)$。
根据两点间距离公式可得：
$EF=\sqrt{[4-(-5)]^2+(2-0)^2}=\sqrt{9^2+2^2}=\sqrt{81+4}=\sqrt{85}$。
【答案】
$\sqrt{85}$
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；两点间距离公式
【点评】
本题是菱形性质与几何计算的综合题，通过建立坐标系将几何问题代数化，能有效降低解题难度，解题的核心是熟练掌握菱形对角线的特殊性质，灵活运用勾股定理进行计算。
【难度系数】
0.65
解题时首先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，连接对角线AC交BD于点O，构造直角三角形ABO，用勾股定理求出AO的长度。接下来可以通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数计算：先写出各顶点坐标，再结合中点坐标公式得到E点坐标，根据BF的长度得到F点坐标，最后用两点间距离公式即可算出EF的长度。
【解析】
解：连接AC，交BD于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，$BO=OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×16=8$。
在$Rt△ ABO$中，$AB=4\sqrt{5}$，$BO=8$，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-8^2}=\sqrt{80-64}=\sqrt{16}=4$。
以O为原点，BD所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则：$B(-8,0)$，$D(8,0)$，$A(0,4)$。
∵E是AD的中点，
∴E点坐标为$(\frac{0+8}{2},\frac{4+0}{2})$，即$E(4,2)$。
∵F在BD上，$BF=3$，
∴F点横坐标为$-8+3=-5$，纵坐标为0，即$F(-5,0)$。
根据两点间距离公式可得：
$EF=\sqrt{[4-(-5)]^2+(2-0)^2}=\sqrt{9^2+2^2}=\sqrt{81+4}=\sqrt{85}$。
【答案】
$\sqrt{85}$
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；两点间距离公式
【点评】
本题是菱形性质与几何计算的综合题，通过建立坐标系将几何问题代数化，能有效降低解题难度，解题的核心是熟练掌握菱形对角线的特殊性质，灵活运用勾股定理进行计算。
【难度系数】
0.65
16. 如图所示,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,线段AB的两个端点A，B都在格点(网格线的交点)上.
(1)在图(1)中画一个以AB为边的矩形ABCD(要求:另外两个顶点也在格点上)；
(2)在图(2)中画一个以AB为对角线的平行四边形ACBD(非正方形)(要求:另外两个顶点也在格点上).
(1)在图(1)中画一个以AB为边的矩形ABCD(要求:另外两个顶点也在格点上)；
(2)在图(2)中画一个以AB为对角线的平行四边形ACBD(非正方形)(要求:另外两个顶点也在格点上).
答案
16.解:(1)如图①所示,以 AB 为边的矩形 ABCD 即为所求(答案不唯一)：
(2)如图②所示,平行四边形 ACBD 即为所求(答案不唯一)：
解析
【分析】
(1) 要作以AB为边的矩形，需结合矩形对边平行且相等、邻边互相垂直的性质。先观察网格中AB的走向，确定与AB垂直的线段方向，找到符合要求的格点D、C，保证AD⊥AB、BC⊥AB且AD=BC，顺次连接即可得到矩形。
(2) 要作以AB为对角线的平行四边形，需结合平行四边形对角线互相平分的性质。先找到AB的中点，再找两个格点C、D，保证两点连线的中点与AB的中点重合，且组成的四边形不是正方形，顺次连接各点即可。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 观察线段AB可知，AB横向平移3格、纵向平移3格可得到对应端点，根据网格中垂直线段的特征，从A点出发，横向向右平移3格、纵向向下平移3格，得到格点D；
② 从B点出发，同样横向向右平移3格、纵向向下平移3格，得到格点C；
③ 顺次连接A、B、C、D，此时AB//CD、AD//BC，且∠BAD=90°，满足矩形的判定条件。（答案不唯一，符合矩形性质即可）
(2) 作图步骤：
① 先确定AB的中点，根据平行四边形对角线互相平分的性质，点C和点D的中点需要和AB的中点重合；
② 在网格中找到格点C、D，使两点关于AB的中点对称，且四边形ACBD不是正方形；
③ 顺次连接A、C、B、D，此时对角线AB和CD互相平分，满足平行四边形的判定条件，且不是正方形。（答案不唯一，符合条件即可）
【答案】
(1) 如图①所示,以 AB 为边的矩形 ABCD 即为所求(答案不唯一)：
(2) 如图②所示,平行四边形 ACBD 即为所求(答案不唯一)：
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质；格点作图
【点评】
本题结合网格考查特殊四边形的作图，解题核心是熟练掌握矩形、平行四边形的判定和性质，结合网格特征寻找符合要求的格点，答案具有开放性，满足题目限定条件即可。
【难度系数】
0.8
(1) 要作以AB为边的矩形，需结合矩形对边平行且相等、邻边互相垂直的性质。先观察网格中AB的走向，确定与AB垂直的线段方向，找到符合要求的格点D、C，保证AD⊥AB、BC⊥AB且AD=BC，顺次连接即可得到矩形。
(2) 要作以AB为对角线的平行四边形，需结合平行四边形对角线互相平分的性质。先找到AB的中点，再找两个格点C、D，保证两点连线的中点与AB的中点重合，且组成的四边形不是正方形，顺次连接各点即可。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 观察线段AB可知，AB横向平移3格、纵向平移3格可得到对应端点，根据网格中垂直线段的特征，从A点出发，横向向右平移3格、纵向向下平移3格，得到格点D；
② 从B点出发，同样横向向右平移3格、纵向向下平移3格，得到格点C；
③ 顺次连接A、B、C、D，此时AB//CD、AD//BC，且∠BAD=90°，满足矩形的判定条件。（答案不唯一，符合矩形性质即可）
(2) 作图步骤：
① 先确定AB的中点，根据平行四边形对角线互相平分的性质，点C和点D的中点需要和AB的中点重合；
② 在网格中找到格点C、D，使两点关于AB的中点对称，且四边形ACBD不是正方形；
③ 顺次连接A、C、B、D，此时对角线AB和CD互相平分，满足平行四边形的判定条件，且不是正方形。（答案不唯一，符合条件即可）
【答案】
(1) 如图①所示,以 AB 为边的矩形 ABCD 即为所求(答案不唯一)：
(2) 如图②所示,平行四边形 ACBD 即为所求(答案不唯一)：
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质；格点作图
【点评】
本题结合网格考查特殊四边形的作图，解题核心是熟练掌握矩形、平行四边形的判定和性质，结合网格特征寻找符合要求的格点，答案具有开放性，满足题目限定条件即可。
【难度系数】
0.8
17.已知小桐家、实验学校和博物馆依次在一条笔直的道路上.小桐从家骑自行车出发,途经学校,在学校停留一段时间后,按原来的速度继续骑车去博物馆.在博物馆停留一段时间后,又骑车返回家中.这一过程中小桐离家的距离$y$(单位:m)与所经过的时间$x$(单位:min)之间的函数关系如图所示.请根据相关信息,回答下列问题.
(1)填表:
| 所经过的时间$x/\mathrm{min}$ | $1$ | $11$ | $13$ | $23$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 小桐离家的距离$y/\mathrm{m}$ |
(2)填空:小桐在博物馆停留的时间为
(3)当$21{≤}x{≤}64$时,请直接写出小桐离家的距离$y$关于时间$x$的函数解析式.
(1)填表:
| 所经过的时间$x/\mathrm{min}$ | $1$ | $11$ | $13$ | $23$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 小桐离家的距离$y/\mathrm{m}$ |
200
| $2200$ | 2200
| 2600
|(2)填空:小桐在博物馆停留的时间为
25
$\mathrm{min}$;(3)当$21{≤}x{≤}64$时,请直接写出小桐离家的距离$y$关于时间$x$的函数解析式.
答案
17.(1)200 2 200 2 600
(2)25
(3)解:当 $21≤ x≤29$ 时,由(1),可知函数解析式为 $y=200x-2\ 000$；
当 $29＜x＜54$ 时,函数解析式为 $y=3\ 800$；
当 $54≤ x≤64$ 时,设函数解析式为 $y=mx+n$，
则$\begin{cases}3\ 800=54m+n,\\0=64m+n,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}n=24\ 320,\\m=-380,\end{cases}$
$\therefore$ 函数解析式为 $y=-380x+24\ 320$.
$\therefore$ 当 $21≤ x≤64$ 时,小桐离家的距离 $y$ 关于时间 $x$ 的函数解析式为
$y=\begin{cases}200x-2\ 000(21≤ x≤29),\\3\ 800(29＜x＜54),\\-380x+24\ 320(54≤ x≤64).\end{cases}$
(2)25
(3)解:当 $21≤ x≤29$ 时,由(1),可知函数解析式为 $y=200x-2\ 000$；
当 $29＜x＜54$ 时,函数解析式为 $y=3\ 800$；
当 $54≤ x≤64$ 时,设函数解析式为 $y=mx+n$，
则$\begin{cases}3\ 800=54m+n,\\0=64m+n,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}n=24\ 320,\\m=-380,\end{cases}$
$\therefore$ 函数解析式为 $y=-380x+24\ 320$.
$\therefore$ 当 $21≤ x≤64$ 时,小桐离家的距离 $y$ 关于时间 $x$ 的函数解析式为
$y=\begin{cases}200x-2\ 000(21≤ x≤29),\\3\ 800(29＜x＜54),\\-380x+24\ 320(54≤ x≤64).\end{cases}$
解析
【分析】
这是一道结合行程场景的一次函数图像应用题，解题思路如下：1. 先根据已知的x=11min时y=2200m，算出小桐骑车的速度，再结合不同时间点的行程状态（行驶/停留）计算对应y值，解决第(1)问；2. 先计算小桐到达博物馆的时间，结合开始返程的时间，相减得到停留时长，解决第(2)问；3. 对21≤x≤64的时间段按行程状态分成三段：去博物馆的路上、博物馆停留、返程回家，分别用待定系数法或行程公式求每段的函数解析式即可。
【解析】
首先计算小桐骑车的速度：由x=11min时y=2200m，且前11min小桐一直在骑行，速度$v=2200÷11=200(\mathrm{m/min})$。
(1) ①x=1min时，小桐持续骑行，$y=200×1=200\mathrm{m}$；
②小桐11min到达学校后停留到21min，x=13min时仍在学校停留，距离不变，$y=2200\mathrm{m}$；
③x=23min时，已经从学校出发了$23-21=2\mathrm{min}$，新增骑行路程为$200×2=400\mathrm{m}$，总距离$y=2200+400=2600\mathrm{m}$。
(2) 家到博物馆总距离为3800m，从学校到博物馆的距离为$3800-2200=1600\mathrm{m}$，所需骑行时间为$1600÷200=8\mathrm{min}$，因此到达博物馆的时间为$21+8=29\mathrm{min}$；由行程规律可知54min开始返程，故停留时间为$54-29=25\mathrm{min}$。
(3) 分三段讨论：
①当$21≤ x≤29$时，小桐从学校出发骑往博物馆，x=21时y=2200，因此解析式为$y=2200+200(x-21)=200x-2000$；
②当$29＜x＜54$时，小桐在博物馆停留，离家距离不变，故$y=3800$；
③当$54≤ x≤64$时，小桐从博物馆返程，设解析式为$y=mx+n$，将$(54,3800)$、$(64,0)$代入得：
$\begin{cases}3800=54m+n\\0=64m+n\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-380\\n=24320\end{cases}$，故解析式为$y=-380x+24320$。
【答案】
(1)$200$；$2200$；$2600$
(2)$25$
(3)$y=\begin{cases}200x-2000&(21≤ x≤29)\\3800&(29＜x＜54)\\-380x+24320&(54≤ x≤64)\end{cases}$
【知识点】
一次函数的应用、待定系数法求解析式、行程问题
【点评】
本题结合实际行程场景考查一次函数的分段应用，解题关键是明确不同时间段对应的行程状态，结合速度、时间、路程的关系逐步推导即可。
【难度系数】
0.65
这是一道结合行程场景的一次函数图像应用题，解题思路如下：1. 先根据已知的x=11min时y=2200m，算出小桐骑车的速度，再结合不同时间点的行程状态（行驶/停留）计算对应y值，解决第(1)问；2. 先计算小桐到达博物馆的时间，结合开始返程的时间，相减得到停留时长，解决第(2)问；3. 对21≤x≤64的时间段按行程状态分成三段：去博物馆的路上、博物馆停留、返程回家，分别用待定系数法或行程公式求每段的函数解析式即可。
【解析】
首先计算小桐骑车的速度：由x=11min时y=2200m，且前11min小桐一直在骑行，速度$v=2200÷11=200(\mathrm{m/min})$。
(1) ①x=1min时，小桐持续骑行，$y=200×1=200\mathrm{m}$；
②小桐11min到达学校后停留到21min，x=13min时仍在学校停留，距离不变，$y=2200\mathrm{m}$；
③x=23min时，已经从学校出发了$23-21=2\mathrm{min}$，新增骑行路程为$200×2=400\mathrm{m}$，总距离$y=2200+400=2600\mathrm{m}$。
(2) 家到博物馆总距离为3800m，从学校到博物馆的距离为$3800-2200=1600\mathrm{m}$，所需骑行时间为$1600÷200=8\mathrm{min}$，因此到达博物馆的时间为$21+8=29\mathrm{min}$；由行程规律可知54min开始返程，故停留时间为$54-29=25\mathrm{min}$。
(3) 分三段讨论：
①当$21≤ x≤29$时，小桐从学校出发骑往博物馆，x=21时y=2200，因此解析式为$y=2200+200(x-21)=200x-2000$；
②当$29＜x＜54$时，小桐在博物馆停留，离家距离不变，故$y=3800$；
③当$54≤ x≤64$时，小桐从博物馆返程，设解析式为$y=mx+n$，将$(54,3800)$、$(64,0)$代入得：
$\begin{cases}3800=54m+n\\0=64m+n\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-380\\n=24320\end{cases}$，故解析式为$y=-380x+24320$。
【答案】
(1)$200$；$2200$；$2600$
(2)$25$
(3)$y=\begin{cases}200x-2000&(21≤ x≤29)\\3800&(29＜x＜54)\\-380x+24320&(54≤ x≤64)\end{cases}$
【知识点】
一次函数的应用、待定系数法求解析式、行程问题
【点评】
本题结合实际行程场景考查一次函数的分段应用，解题关键是明确不同时间段对应的行程状态，结合速度、时间、路程的关系逐步推导即可。
【难度系数】
0.65
